数轴与绝对值培优
数轴与绝对值培优
例1(1)如图,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C 所表示的数最接近
的整数是( )
例2(1)在数轴上有A 、B 、C 三点,若点A 对应的数是﹣2,且A ,B 两点间的距离为3,C 为AB 中点,则AB 中点C 所对应的数是 .
(2)点A 、B 分别是数﹣3,﹣在数轴上对应的点.使线段AB 沿数轴向右移动到A ′B ′,且线段A ′B ′的中点对应的数是3,则点A ′对应的数是 ,点A 移动的距离是 .
例3如图,数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c .
则:a ﹣b 0,a+c 0,b ﹣c 0.(用<或>或=号填空) 你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗?能的话,求出最后结果.
例4在数轴上,已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面.
(1)若1表示的点与﹣1表示的点重合,则﹣2表示的点与数表示的点重合;
(2)若﹣1表示的点与3表示的点重合,5表示的点与数表示的点重合;
(3)若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度,点A 表示的有理数是a ,并且A 、B 两点经折叠后重合,请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少?
例5如图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为3个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了数字0,1,2)上:先让原点与圆周上0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,…所对应的点重合,这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.
(1)圆周上数字a 与数轴上的数5对应,则a= ;
(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是 (用含n 的代数式表示).
例6 先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床工作,我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题先“退”到比较简单的情形.
如图(1),如果直线上有2台机床时,很明显设在A 1和A 2之间的任何地方都行,因为甲和乙所走的距离之和等于A 1到A 2的距离.
如图(2),如果直线上有3台机床时,不难判断,供应站设在中间一台机床,A 2处最合适,因为如果P 不放在A 2处,甲和丙所走的距离之和恰好是A 1到A 3的距离,可是乙还得走从A 2到P 的这一段,这是多出来的,因此P 放在A 2处最佳选择.
不难知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第二台与第3台之间的任何地方,有5台机床,P 应设在第3台位置.
问题:(1)有n 台机床时,P 应设在何处?
(2)根据(1)的结论,求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值.
【全能突破】
1.下列说法正确的是( )
①0是绝对值最小的有理数
②相反数大于本身的数是负数
③数轴上原点两侧的数互为相反数
数的相反数,c 是绝对值最小的有理数,请问:a 、b 、c 三数之和为多少?
”你能回答主持人
3.已知+=0,则的值为 .
4.已知|x+3|+|y﹣4|=0,则x+2y的值为.
5.若|x|+3=|x﹣3|,则x 的取值范围是.
6. 代数式|ab+3|﹣3的最小值是.
7.如果|a|=2,|b|=1,且a <b ,求a ,b 的值.
8.已知|m﹣n|=n﹣m ,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)的值.
9.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图:
(1)判断正负,用“>”或“<”填空:b ﹣c 0,
a+b0,c ﹣a 0.
(2)化简:|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|.
10. (1)比较下列格式的大小(用<或>或=连接)
①|﹣2|+|3| |﹣2+3|;②|﹣|+|﹣| |﹣﹣|
③|6|+|﹣3|﹣3|;④|0|+|﹣8|﹣8|
(2)通过以上比较,请你分析、归纳出当a 、b 为有理数时,|a|+|b|与|a+b|的大小关系.
(3)根据(2)中得出的结论,当|x|+2014=|x﹣2014|时,则x 的取值范围是 .如|a1+a2|+|a3+a4|=15,|a1+a2+a3+a4|=5,则a 1+a2= .
2
11.如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A ,B 是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题.
(1)如果点A 表示数﹣3,将点A 向右移动7个单位长度,那么终点B 表示的数
是 ,A ,B 两点间的距离是 ;
(2)如果点A 表示数3,将A 点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点表示的数是 ,A ,B 两点间的距离为 ;
(3)如果点A 表示数﹣4,将A 点向右移动168个单位长度,再向左移动256个单位长度,那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;
(4)一般地,如果A 点表示的数为m ,将A 点向右移动n 个单位长度,再向左移动p 个单位长度,那么请你猜想终点B 表示什么数?A ,B 两点间的距离为多少?
12. 已知:如图数轴上有一根木棒AB 重合在数轴上,当点A 移动到点B 原来的位置时,点B 移动到的位置对应的数是20,当点B 移动到点A 原来的位置时,点A 移动到的位置对应的数是5(单位是cm ).
(1)这根木棒有多长?
(2)请你借助数轴解决问题:一天,小红去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要40年才出生呢,你若是我这么大的话,我就125岁了”,你能求出爷爷的年龄吗?
13.在一条南北方向的公路上,有一辆出租车停在A 地,乘车的第一位客人向南走3千米下车;该车继续向南开,又走了2千米后,上来第二位客人,第二位客人乘车向北走7千米下车,此时恰好有第三位客人上车,先向北走3千米,又调头向南走,结果下车时出租车恰好到了A 地.
(1)如果以A 地为原点,向北方向为正方向,用1个单位表示1千米,在数轴上表示出第一位客人和第二位客人下车的位置;
(2)第三位客人乘车走了多少千米?
(3)规定出租车的收费标准是4千米内付7元,超过4千米的部分每千米加付1元(不足1千米按1千米算),那么该出租车司机在这三位客人中共收了多少钱?
14.小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题:
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x 的取值范围是,最小值是 ”.
小红说:“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”小明说:“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段:x <﹣1,﹣1≤x ≤2和x >2,经研究发现,当﹣1≤x ≤2时,值最小为3. 请你根据他们的解题解决下面的问题:
(1)当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x 的取值范围是 ,最小值是 .
(2)已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x 的取值范围及y 的最大值.写出解答过程.
15.(1)阅读下面材料:
点A ,B 在数轴上分别表示实数a ,b ,A ,B 两点之间的距离表示为|AB|.
当A ,B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|; 当A ,B 两点都不在原点时,
①如图(2),点A ,B 都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如图(3),点A ,B 都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b ﹣(﹣a )=|a﹣b|; ③如图(4),点A ,B 在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b )=|a﹣b|; 综上,数轴上A ,B 两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ;
②数轴上表示x 和﹣1的两点A 和B 之间的距离是|AB|=2,那么x 为 ;
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x 的取值范围是.
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.