2017高考理科数学新课标模拟卷

2017高考（新课标）模拟卷

理科数学

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分150分，考试

时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足A ． 1 B

． C

．

D ．

=i，则z 的模是（ ）

2. 化简cos15︒cos 45︒-cos 75︒sin 45︒的值为 A.

1

2

B.

2

C.-

1

2

D.-

2

3. 命题“对任意x ∈R 都有x 2≥1”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2

2

C ．存在x 0∈R ，使得x 0≥1

B ．不存在x ∈R ，使得x 2

2

D ．存在x 0∈R ，使得x 0

31

4. 设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则

44

P(ξ＝3) 等于( ) 13311331

A ．C 32(2× B ．C 32(2×() C ．() 2×( D ．() 2×)

44444444

y 2

=1的左. 右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使5. 设F 1. F 2是双曲线x -4

2

(OP +OF 2) ⋅F 2P =0（O 为坐标原点）且|PF 1|=λ|PF 2|则λ的值为（ ）

A.2 B.

1 2

C.3 D.

1 3

6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C．338石 D．1365石

7. 如果O 是∆ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA +OB +OC =0，那么（ ）

A. AO =OD

B. AO =2OD C. AO =3OD D. 2AO =OD

8. 设函数f （x ）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）且f （﹣x ）=f（x ），则（ ） A f （x ）在C f （x ）在（0，

单调递减 B f （x ）在（）单调递增 D f （x ）在（

，，

的最小正周期为π，

）单调递减 ）单调递增

9. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A 16 B 25 C 36 D 49

10. (1+2x ) 6(1+y ) 4的展开式中xy 2项的系数为

A 45 B 72 C 60 D 120

11

）

正视图

侧视图

A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 12. 已知函数f （x ）是定义在R

俯视图

上的奇函数，当x ≥0时，

f (x ) =

1

2

(x |-2a +|) x -|2a 2-2|a 3R , f ) (x . -1) ≤f (x ), 则实数a 的取值范围为若∀x ∈

（ ）

A.

[-, ] B. [116

611

C. [-, ]

D. [

33

第II 卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。 13. 已知函数f (x ) =x ) ，若实数a , b 满足f (a -1) +f (b =) ，0则

a +b =______

x 2y 2

14. 已知双曲线C ：2-2=1(a＞0，b ＞0) 的一条渐近线与直线l ：x =0垂直，C

a

b

的一个焦点到l 的距离为1，则C 的方程为__________________. 15. 已知实数x 、y 满足|x|≥|y|+1，则

的取值范围是．

16. 如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各

边的长度（单位：km ）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,

如图所示，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ．

三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3. （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

18. 如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3. 点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF =2FB ，CG =

2GB .

PE ⊥FG （1）证明：； （2）求二面角P -AD -C 的正切值；

（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.

图2

（1）求y 关于t 的线性回归方程；

（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =

∧

∑(t -)(y -)

i

i

i =1

n

∑(t -)

i i =1

n

，

2

ˆ ˆ=-a

x 2y 2

1)和点A (m ，n )(m ≠0)都20. 已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)，点P (0，

a b

在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．

（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；

（2）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM =∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

21. 设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e x -ax ，其中a 为实数．

（1）若f (x ) 在(1, +∞) 上是单调减函数，且g (x ) 在(1, +∞) 上有最小值，求a 的取值范围； （2）若g (x ) 在(-1, +∞) 上是单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．

请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22. 选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O 过平行四边形ABCT 的三个顶点B ，C ，T ，且与AT 相切，交AB 的延长线于点D.

(1)求证：AT 2＝BT·AD ；

(2)E、F 是BC 的三等分点，且DE ＝DF ，求∠A.

23. 选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相

⎧x ＝t 2,

同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为⎨（t 为参数），直线l 的极坐

⎩y ＝2t .

标方程为2ρsin（

π

－θ3

（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）设曲线C 与直线l 的交点为A 、B 两点，求△OAB （O 为坐标原点）的面积．

24. 选修4－5:不等式选讲. 已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

（1）当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

答案解析

1. 【答案】C 【解析】： 解：由

∴2. 【答案】A 3. 【答案】D 4. 【答案】 C 5. 【答案】A 6. 【答案】B

【解析】由题意，这批米内夹谷约为7. 【答案】A 8. 【答案】A

，

=i，得（1+i）z=i， ∴

． ∴选C ．

，

28

≈169石， ∴选：B ． 254

【解析】由于f （x ）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=∵该函数的最小正周期为π=

，得出ω=2，

又根据f （﹣x ）=f（x ），得φ+

=若x ∈若x ∈（

，

cos2x ，

=+kπ（k ∈Z ），以及|φ|

＜，得出φ=．∴f （x ）

，则2x ∈（0，π），从而f （x ）在），则2x ∈（

，

单调递减，

） 该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，

D 都错，A 正确．∴选A ． 9. 【答案】C 【解析】s=0,i=1,n=1；s=1,i=2,n=3；s=4,i=3,n=5；s=9,i=4,n=7；s=16,i=5,n=9；s=25,i=6,n=11,s=36终止循环故选C. 10. 【答案】B 11. 【答案】D 12. 【答案】B 13. 【答案】1

y 2

=1 14. 【答案】x -3

2

15. 【答案】[﹣2，2]

【解析】画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：

，

设z=

，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z 最小为﹣2，

当直线过（1，0）时，z 最大为2 ∴﹣2≤z≤2， ∴答案为：[﹣2，2]． 16. 【答案】7

【解析】因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D +∠B =π，在 ABC 和 ADC 中，由余弦定理可得：

82+52-2⨯8⨯5⨯cos (π-D )=32+52-2⨯3⨯5⨯cos D

⎛1⎫1222

AC =3+5-2⨯3⨯5⨯cos D =- -⎪=49

⎝2⎭2代入可得将，故答案为7.

17. 【答案】（1）a n =⎨

⎧3, n =1, 132n +1

T =- （2） n n -1n -1

124⋅3⎩3, n >1.

1

(3+3) =3， 2

【解析】（1）由2S n =3n +3可得a 1=S 1=

a n =S n -S n -1=

1n 1

(3+3) -(3n -1+3) =3n -1(n ≥2) 22

而a 1=3≠31-1，则a n =⎨

⎧3, n =1,

n -1

⎩3, n >1.

⎧1

, n =1,

⎧3, n =1, log 3a n ⎪⎪3

=⎨（2）由a n b n =log 3a n 及a n =⎨n -1可得b n =

n -1a 3, n >1. ⎩n ⎪, n >1. n -1⎪3⎩1123n -11

T n =++2+3+ +n -1. T n =

333333

112

+++223333

3n -2n -1

+ ++n 4n -1333

2111111n -1111111n -1

T n =+-2+2+3+ +n -1-n =-2+(+2+3+ +n -1) -n [**************]

11- 2n n -1213n -1132n +1=+-n =+--n =-91-3922⋅3n 3182⋅3n

3132n +1-∴T n = n -1124⋅3

18. 【答案】（1）见解析；（2

（3

【解析】（1）证明：∵ PD =PC 且点E 为CD 的中点，

∴ PE ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD =CD ，PE ⊂平面PDC ，

∴ PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥FG ；

（2）∵ ABCD 是矩形，

∴ AD ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且

=C D 平面PDC 平面A B C D ，AD ⊂平面

A B C D ，

∴ AD ⊥平面PCD ，又CD 、PD ⊂平面PDC ， ∴ AD ⊥DC ，AD ⊥PD ， ∴ ∠PDC 即为二面角P -AD -C 的平面角， 在Rt ∆PDE 中，PD =4，DE =

E

C 1

AB =

3，2

F

PE ==

∴

tan ∠PDC =

PE =P -AD -

C DE （3）如右图所示，连接AC ，

AF CG

==2， ∴ AC //FG ， FB GB

∴ ∠PAC 为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，

∵ AF =2FB ，CG =2GB 即

在∆

PAC 中，PA ==

5，AC =

2

2

2

=

2

5+-42PA +AC -PC ==由余弦定理可得

cos ∠PAC =

2PA ⋅AC ∴ 直线PA 与直线

FG 19. 【答案】 y =0.5t +2.3

【解析】（1） 由所给数据计算得t =

2

1

（1+2+3+4+5+6+7）=4 7

1

y =（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3

7

∑(t

t =1

7

1

-t ) 2=9+4+1+0+1+4+9=28

∑(t

t =1

7

1

（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6 -t )(y 1-y ) =

=14.

=b

∑(t

t =1

7

1

-t )(y 1-y )

=

1

∑(t

t =1

7

-t ) 2

14 =y - b t ==0.5 a 4. 3-0. 5⨯4=. 2. 3

28

所求回归方程为 y =0.5t +2.3.

（2）由（1）知，b=0.5﹥0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2020年的年份代号t=11带入（I ）中的回归方程，得预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元. 20. 【答案】（1）

x 2

,0) （2）存在Q （0，y 0） +y 2=1 M (

1-n 2

m

x 2y 2

1)【解析】（1）由于椭圆C ：2+2=1(a >b >0)过点P

(0，，

a b

1

b 2

c 2a 2-b 2112

=1, b =1, e =2==1-=，a =2，椭圆C 的方程为22

2a a a

2

2

x 2

2

+y 2=1.

P (0,1),A (m , n ) , 直线PA 的方程为：y =

n -1m

x +1，令y =0, x =，m 1-n

∴M (,0) ；

1-n

（2）∵p （0,1），B(m，-n) ，直线PB 的方程：y=x=

m

1+n

x+1，直线PB 与x 轴交与点N, 令y=0，m

m m ，则N （,0） 1+n 1+n

设Q （0，y 0）

m

y 0y (1+n ) m

tan ∠OQM==，tan ∠ONQ=， =0

y 0(1-n ) y 0m 1+n

∵∠OQM=∠ONQ, ∴tan ∠OQM=tan∠ONQ,

y 0(1+n ) m m 2m 22

则∠OQM=，所以y 0=（注:点A （m,n ）（m≠0）=2=2，=2

m 1-n (1-n ) y 0m

2

m 2

+n 2=

1，则y 0=Q （0

，OQM=∠ONQ 在椭圆C 上，2

21. 【答案】（1）a ＞e （2）见解析 【解析】（1）f '(x ) =

11

-a ≤0在(1, +∞) 上恒成立，则a ≥，x ∈(1，+∞) ．

x x

x

x

故：a ≥1． g '(x ) =e -a ， 若1≤a ≤e，则g '(x ) =e -a ≥0在(1, +∞) 上恒成立， 此时，g (x ) =e -ax 在(1, +∞) 上是单调增函数，无最小值，不合；

若a ＞e ，则g (x ) =e -ax 在(1，ln a ) 上是单调减函数，在(lna ，+∞) 上是单调增函数，

x

x

g min (x ) =g (ln a ) ，满足．

故a 的取值范围为：a ＞e ． （2）g '(x ) =e -a ≥0

x

在(-1, +∞) 上恒成立，则

a ≤ex ， 故：

a ≤e ． f '(x ) =

1

11-ax

-a =x x

(x >0) ．

111

(ⅰ) 若0＜a ≤，令f '(x ) ＞0得增区间为(0， ) ； 令f '(x ) ＜0得减区间为( ，﹢∞)．

e a a 11

当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 当x 时，f() ＝﹣lna －1≥0，当且

a a 111

仅当a ＝时取等号．∴当a ＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜时，f(x)有2个零点．

e e e (ⅱ) 若a ＝0，则f(x)＝﹣lnx ，易得f(x)有1个零点． (ⅲ) 若a ＜0，则f '(x ) =

1

-a >0在(0，+∞) 上恒成立， x

即：f (x ) =ln x -ax 在(0，+∞) 上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．

11

综上所述：当a ＝或a ＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜ 时，f (x)有2个零点．

e e 22. 【答案】（1）见解析 （2）∠A=45°

【解析】（1）证明：因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ，∴∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT. 又∵AT 2＝AB ⋅AD ，所以AT 2＝BT ⋅AD

（2）取BC 中点M ，连接DM ，TM ．

由（1）知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．

∵DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ． ∴O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径．

∴∠ABT ＝∠DBT ＝90︒. ∴∠A ＝∠A TB ＝45︒.

⎧x =t 2

2

23. 【答案】（1）由⎨，得曲线C 的普通方程为y =4x

⎩y =2t

（2）-3≤a ≤0 }；

24. 【答案】（1）x x ≤1, 或x ≥4

{

x ≤2⎧⎪-2x +5

12

不等式f(x)≥3的解集为{x x ≤1, 或x ≥4}

(2) |x + a| + |x－2|≤|x－4|，有|x + a| ≤|x－4|－|x－2|， 当x ∈[1, 2]有|x + a| ≤(4－x) －(2－x)=2, 即-3≤a ≤