结构随机振动响应的工程简化分析
第19卷 第1期2002年3月
应用力学学报Vol . 19 No . 1Mar . 2002
C HINESE JOUR NAL OF AP PLIED MECHA NICS
文章编号:1000-4939(2001) 01-0103-03
结构随机振动响应的工程简化分析
姚 军1 姚起杭2
12
(北京航空航天大学 北京 100083) (中国飞机强度研究所 西安 710072)
摘要:鉴于结构随机振动响应有限元分析的复杂性, 本文提出了一种工程简化分析方法, 以便于工
程人员应用。它可以直接利用结构模型试验数据, 从而保证分析结果具有足够的精度。关键词:随机振动; 响应分析
中图分类号:V216. 2, V216. 8 文献标识码: A
有关的问题上, 如飞机结构突风响应、滑跑响应等已
经有过一些简易的工程估计公式, 在航空、航天振动环境方面也曾基于对振动测量数据进行统计回归分析给出过经验公式, 但一般而言, 这类公式又过于简单、粗糙。
本文试图在上述两种处理方法之间作出某种折衷, 提出一种既保持结构随机振动响应分析特点, 又能为工程人员易于掌握应用的简化方法, 特别是本方法可以直接引用结构模态试验或模态参数识别结果, 包括用于修改简化的分析模型和用于进行简易的响应分析, 从而保证了本文方法分析结果的精度。
1 引 言
现代交通运输工具、能源动力装置, 航空航天飞行器以及各类建筑物等, 在使用中大多会产生或经受复杂的振动激励, 特别是随机振动激励, 由之会引起相关的振动环境问题, 即设备适应性与人员舒适性、可靠性问题, 及结构振动疲劳与耐久性问题等。为了在设计中对这些问题加以分析预计并进行必要的验证性试验, 往往需要对有关机械结构或其部件进行随机振动响应分析; 亦即要求给出结构关键部位的均方应力响应分布或均方加速度响应分布, 以便据以进行结构的动力学设计、振动疲劳校核或耐振检验性试验。
关于结构的随机振动响应分析, 各类振动书籍和有关文献中已经介绍了多种频域、时域分析方法; 国内外也据以研制发展了多种以有限元为基础的分析软件; 但鉴于一些工程设计及试验人员不一定具备随机振动与有限元分析软件使用的专门知识, 而且在结构简化、动力学建模等方面也要求具备足够的经验, 从而导致这些软件难以正确推广应用。特别是由于随机振动的激励和响应都是某种估计结果, 相关的环境条件、结构疲劳与耐久性数据也具有较大的分散性, 因而进行并不一定精确的复杂分析将会事倍功半。所以实践中希望能对结构随机振动响应分析给出某种简单、直观而又能够满足工程应用精度的分析方法; 实际上, 在某些与随机振动响应
来稿日期:2000-09-20 修回日期:2001-02-20
2 简化假定及处理方法
2. 1 简化假定
1) 假定所考虑结构为线性结构, 并符合比例阻尼
假设, 因而具有在实模态座标系中的正交性质。2) 假定结构所受随机振动载荷具有平稳、正态及各态历经性, 这样结构响应也具有同样性质, 故可以只对时间平均数据进行分析, 也可以只计算响应随机过程二阶矩的特征量—均方响应。2. 2 结构简化
由于像飞机突风及滑跑响应、气动力引起的抖振响应, 许多冲击引起的随机响应及地震响应等, 其主要频率分量多为低频分量(例如小于300Hz ) , 结构振动疲劳及耐久性问题也主要关心低频响应。并且有限元随机振动响应分析, 一般也只能在这一频
, 男, , .
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段内应用。对于中高频段, 需要采用统计能量分析(SEA ) 及其它方法, 所以本文也只考虑较低频段内的分析。
假定可将原结构简化为适当的多自由度系统, 有: m ¨x +c ﹒x +kx =F (1) 式中质量矩阵m 可由质量分配算出, 刚度矩阵k 可由计算或试验给出, 阻尼矩阵c 一般凭经验假定, 它们均可用模态试验结果进行修改。
设由模态试验给出结构的模态矩阵Υ, 则记模态坐标为q , 取: x =Υq
即有: M r ¨q +c r ﹒q +k r q =ΥF =F
T
基础加速度激励相对位移响应或基础加速度激励绝对加速度响应等频响函数[1], 再参照下节中方法进
行分析。
2) 将基础激励转换为等效的力激励, 设基础位移激励为U , 则在模态坐标系中等效的模态广义激励力可写为: F =[k r -2πf c r ]U (4) 式中, f 为频率, 以此代入(3) 式即可参照下节中方法进行分析。
(2) (3)
3 线性单自由度系统在随机激励
下的位移均方响应分析
3. 1 有限带宽平谱激励的均方响应
力激励下单自由度系统位移响应的频响函数为[1]:
H (i f )=1/[1-(f /f n ) A 2+i2ξ(f /f n ) ](5) 式中, f n 为自然频率, ξ为阻尼系数。若激励力谱为在0到∞频段上为无限带宽平谐, 谐值为W E , 则根据单自由度系统随机响应的输入输出关系, 其位移
[2]
响应均方值σ:r 为
∞πf n 22
σ|H (i f ) |W E d f =E (6) r =04ξ
上式中M r , k r , c r 为结构第r 阶模态参数, 可以选用
试验数据。这样只需求出上式中各单自由度系统在广义随机载荷作用下的均方响应, 再利用(2) 式即可求出(1) 式表示的多自由度系统在物理坐标下的均方响应。2. 3 激励简化
通常, 随机激励多用其功率谱密度表示, 显然(3) 式右端的广义激励谱也将表面为类似的功率谱图形。
设典型的激励功率谱密度图如图1所示, 可以将它简化为图2所示的计算谱图, 即将图1分解为若干分段平谱和若干窄带峰谱之和; 只要分别求出(3) 式中各单自由度系统对每一分段平谱、窄带峰谱的均方响应, 将它们求和就给出各单自由度系统的总均方响应值。下节将专门介绍线性单自由度系统在有限带宽平谱与窄带峰谱激励下的均方响应计算方法
。
∫
如果激励谱如图2(a ) 中某一有限带宽平谱, 即:
W E f 1≤f ≤f 2
W E (f (7)
0 其它处
Crandall [2]给出了这种情况下的单自由度系统位移均方响应表达式为:
πr n W E f 2f 12
σI , ξ) -I , ξ) ]r =4ξf n f n 式中:
2
) +2f n I =ln [22π1-ξ) -2
f n
2ξf n -1
tg []π2
1-)
f n
曲线以供应用。3. 2 窄带峰谱激励的均方响应
对于图2(b ) 中示出的典型窄带峰谱, 本文设计一种形状相近且具有通用拟合功能的拟合函数S (f ) , 取:
222
S (f )=(A f /f 0g 2) /{[1-(f /f 0) ]+(f /f 0g ) }
)
1-ξ+1
f n
]+
1-ξ+1f n
(8)
(9)
图1 典型的激励功率谱图
2. 4 对基础激励的处理
实践中经常遇到基础随机激励的情况, 如飞机的滑跑响应、建筑物地震响应、结构在振动台上受随机振动激励等, 而机翼外挂件的响应则属于基础(机翼) 与力(外挂动态气动力) 的联合激励问题。由于下节中将只讨论力激励问题, 对于基础激
励建议应用下列两种方法之一来处理。
1 可将函数I 相对于常用的f 与ξ计算成表格或
第1期 姚军, 等:结构随机振动响应的工程简化分析105
则可得到(13) 式的积分结果:
f 0A ln (z 2-mz +1)+(B +2g 2-12) g tg [g (z -) ]+2ln [) -+22b b b 2b
tg -1[Q -z
1]+[D +]}|(15) z 22]1b 2b 2b b
这就是计算窄带峰谱均方响应的一般公式, 也
2σr =
可以对典型峰谱计算出图形或表格以供应用。实践中有时需要考虑f n 接近于f 0的情况, 此时偏于严重可近似取f n =f 0, 则有:
图2 简化的计算谱图
b =1, m =2-(1/g 2) , n =2-(1/Q 2) ,
2
Δ=(n -m ) , A =1/(n -m ) ,
(11)
0 其它处
上式:f 0为窄带峰谱的峰值频率; A 为窄带峰谱的峰值谱密度; g 称为窄带峰谱的锐度因子, 它等于f 0除
以两个半峰值) 点之间的带宽。
2
选取函数S (f ) 是因为它至少保证有三点(峰值与半峰值点) 及半峰值带宽与原曲线一致, 可保证则有:
W E (f )=
拟合误差较小, 并且它具有可调整参数A 及g , 从而
具有对任意窄带峰的拟合功能。
以(11) 式代入(6) 式, 便有此窄带峰谱激励的均方响应:
σf =
2
S (f ) f 1≤f ≤f 2
B =-m /(n -m ) , C =-1/(n -m ) , D =n /(n -m )
代入(15) 式有:
2
σr
f n A Q 2
=ln (z 2-m z +1) - 22{4(Q -g ) ln (z 2-nz +1) -mg tg -1[g (z -) ]+
2
z 2
nQ tg -1[Q (z -) ]}|(16) z 1
2
由于n 与m 之差只是一个小量, 并且一般Q 及g 并非很小, 这样n 、m 均近似等于2, 并近似有:
2σr
∫
2
f
f 1
|H (i f ) |S (f ) d f =
2) d f f 0g
2
∫～
2
f
f 1
f n A Q 2z
tg -1[g (z -1) ]|z 2
12(Q +g )
(17)
只要窄带峰谱并非极窄带宽, 这时z 的取值将近似于1, 因此可近似有:
2σf n A Q 2/2(Q +g ) r π而对于极窄带宽情况, 由(6) 式近似有:
22σ|H (i f 0) |W E (f 2-f 1) r
22222
{[1-) ]+) }{[1-) ]+) }
f 0gf 0f n Qf n
(12)
式中, Q =为单自由度系统的共振放大因子。2ξ2
令(f /f 0) =z , 有:
f 0A z 22
σ～r =
2g 2z 1
(13) f 022f 02
[(1-z ) +]{[1-z ]+) }f n ) g Q f n
(18)
上式是在f 0与f n 接近时一个偏严的近似结果。
(19) (20)
若f 0近似于系统自然频率, 则:
σr Q W E (f 2-f 1)=Q σE
2
2
2
22
其中σE 为极窄带宽激励谱的均方值。
利用本文方法给出的结构随机振动响应均方值, 可比较方便直观的予估各种随机振动响应分布, 从而可进一步用于进行结构的振动疲劳分析[3]。
参
工业出版社, 1976
2 S . H . Crandall and W . D . Mark , Random Vibration in Mechanical Sys -
再令, m =2-
f 022-2, b 2, n =b (f n ) , g Q
考文献
并记:
Δ=(
A B =[C 1 J . S . 贝达特, A . C . 皮尔索著凌福根译,《随机数据分析方法》, 国防
)
tems , Academic Press Inc , 1963
3 姚起杭, 结构振动疲劳问题的特点与分析方法(待发表)
Ⅹ
C HI NESE JOUR NAL OF APPLIED ME CHANICS Vol . 19
Three -Dimensional Semi -analytic Algorithm Based on the Finite Element Method of Lines (FEMOL )
Wang Zhenhai SunQ in YanCongnian
1
1
2
12
(Applied Mathematics Depart ment of Northwestem Pol ytechnical Universit y , Xi ' an710072) (Institute of Airplane Des igning , Xi ' an 710089)
A bstract :Based on the algorithm of 2-dimensional FE MOL , with theessential thought of Finite Layer Method (FLM ) , a new scheme of 3-dimensional semi -analytic algorithm is developed in this paper . The studied elastic solid can be divided into a number of layers , and in ever y la yer , the displacement is supposed to be continuous . In the implementation of the method , the graduation of reseau ma y be simplified , and the workload of data inputislessened . The numerical results have shown that the method has good pr ecision and efficienc y .
Keywords :semi -analytic , finite layer method , FE MO L .
A Simple Analysis Method for Random Vibration Response
Yao Jun Yao Qihang
(Beijing Aeronautics &Astronautics University , Beijing , 100083)
A bstract :As the random vibration response for finite element method is quite complex , a simple analysis method is pre -sentedin this paper . It can directly use the tested structural mode date to assure analysis precision enough . Keywords :random vibration , response analysis .
Nonlinear Three -Dimensional Finite Element Analysis
of Radial Truck Tires
Yan Xiangqiao
(Harbin Institute of Technol ogy , Harbin 150001)
A bstract :The finite element modelof tire structure analysis was developed in this paper . The model included the geometric nonlinearity due to lar ge defor mation , material nonlinearity , incompr essibility constrainton defor -mation of elastomers , the
anisotropy of cord rubber composites as wellas the non -linear boundar y conditions re -sulting from both tire rim contact and tire foundation c ontact . Numerical results showed that the model was very efficient and reliable . Keyword :Finite element model , nonlinearity , tire c ontact constraint .