南师大中北学院高数下
南京师范大学中北学院
《高等数学》(下册) 期末考试试卷1(4学时) 学号 姓名 班级 成绩
一、填空题（4' ⨯6=24'）：
1、已知直线过点P (1,-3,2) , 且与平面4x +2y +z =7垂直, 则直线方程为 ．
⎧z =x 2
2、曲线⎨绕z 轴旋转所得的曲面方程为 ． y =0⎩
3、反常积分⎰+∞
11dx 当 p 时收敛． x p
1x
004、设二次积分I =⎰dx ⎰f (x , y ) dy ，则交换积分次序后得I= ．
5、已知级数∑u n =2，则级数∑(u n +
n =1n =1∞∞1) = 2n
6、微分方程2y ''+y '-y =2e x 的特解可设为．
二、选择题（3' ⨯5＝15' ）：
1、设a 和b 是向量，则(a +b ) ⨯(a +2b ) = （ ）． （A ）a ⨯b ；
（C ）b ⨯a ； （B ）3a ⨯b ； 2 2（D ）a +3a ⨯b +b ．
2、微分方程y " y ' +(y ") 3+y 4-3x =0的阶数是 （ ）．
（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．
∂2z 3、已知z =ln(x +y ), 则． = （ ）∂x ∂y 2
（A ）-2x x x 1-； （B ）； （C ）； （D ）． (x 2+y ) 2(x 2+y ) 2(x 2+y ) 2(x 2+y ) 2
4、设f x ' (x 0, y 0) =0，f y ' (x 0, y 0) =0，则在点(x 0, y 0) 处函数f (x , y ) （ ）．
（A ）连续；
（C ）可能取得极值； （B ）一定取得极值； （D ）全微分为零．
5、设积分区域D :x 2+y 2≤3，则二重积分⎰⎰(-3) dxdy （ ）．
D
（A ）-9π；
（C ）3π；
三、计算题（6' ⨯4=24'）： （B ）-3π； （D ）9π．
∂z ； ∂x 1、已知z =(1+xy ) x +y ，求函数z 在点P (1,1)处的偏导数
x z ∂z ∂z 2、设-ln =0，求z -y ； z y ∂x ∂y
(x -3) n
3、求幂级数∑的收敛域； 2n n =1∞
4、将函数f (x ) =ln(4-x ) 在x =1处展开成幂级数．
四、（7' ） 求微分方程xy ' +2y =3x 的通解．
五、计算二重积分：（7' ⨯2=14' ）
1、计算⎰⎰y 2d σ，其中D 是由直线y =x , y =2x 及y =2所围成的闭区域．
D
y 2、计算⎰⎰arctan σ，其中D 是由圆x 2+y 2=1, x 2+y 2=4及直线y =0, y =x 所x D
围成的第一象限部分．
六、应用题：（8' ⨯2=16' ）
1、某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？
2、求由曲线y =x 2, y 2=8x , 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．