匈牙利算法
匈牙利算法
问题简介
设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备，完美匹配。
算法描述
求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。 由增广路的定义可以推出下述三个结论：
1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。 2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。 3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。 算法轮廓：
(1)置M为空
(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
时间空间复杂度
时间复杂度 邻接矩阵：最坏为O(n^3) 邻接表：O(mn)
空间复杂度 邻接矩阵：O(n^2) 邻接表：O(m+n)
样例程序
格式说明
输入格式:
第1行3个整数,V1,V2的节点数目n1,n2,G的边数m
第2-m+1行，每行两个整数t1,t2,代表V1中编号为t1的点和V2中编号为t2的点之间有边相连
输出格式:
1个整数ans,代表最大匹配数
邻接矩阵-C
#include
#include
int n1, n2, m, ans;
int result[101]; //记录V2中的点匹配的点的编号
bool state [101]; //记录V2中的每个点是否被搜索过
bool data[101][101];//邻接矩阵 true代表有边相连
void init()
{
int t1, t2;
memset(data, 0, sizeof(data));
memset(result, 0, sizeof(result));
ans = 0;
scanf(
for (int i = 1; i
{
scanf(
data[t1][t2] = true;
}
return;
}
bool find(int a)
{
for (int i = 1; i
{
if (data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过 {
state[i] = true; //标记i为已查找过
if (result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中
|| find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路 {
result[i] = a; //记录查找成功记录
return true; //返回查找成功
}
}
}
return false;
}
int main()
{
init();
for (int i = 1; i
{
memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记
if (find(i)) ans++; //从节点i尝试扩展
}
printf(
return 0;
}
邻接表-C++
#include
#include
using namespace std;
//定义链表
struct link
{
int data; //存放数据
link* next; //指向下一个节点
link(int=0);
};
link::link(int n)
{
data=n;
next=NULL;
}
int n1,n2,m,ans=0;
int result[101]; //记录n1中的点匹配的点的编号
bool state [101]; //记录n1中的每个点是否被搜索过
link *head [101]; //记录n2中的点的邻接节点
link *last [101]; //邻接表的终止位置记录
//判断能否找到从节点n开始的增广路
bool find(const int n)
{
link* t=head[n];
while (t!=NULL) //n仍有未查找的邻接节点时
{
if (!(state[t->data])) //如果邻接点t->data未被查找过
{
state[t->data]=true; //标记t->data为已经被找过
if ((result[t->data]==0) || //如果t->data不属于前一个匹配M
(find(result[t->data]))) //如果t->data匹配到的节点可以寻找到增广路 {
result[t->data]=n; //那么可以更新匹配M',其中n1中的点t->data匹配n return true; //返回匹配成功的标志
}
}
t=t->next; //继续查找下一个n的邻接节点
}
return false;
}
int main()
{
int t1=0, t2=0;
cin>>n1>>n2>>m;
for (int i=0; i
{
cin>>t1>>t2;
if (last[t1]==NULL)
last[t1]=head[t1]
=new link(t2);
else
last[t1]=last[t1]->next
=new link(t2);
}
for (int i=1; i
memset(state, 0, sizeof(state)); if (find(i)) ans++;
}
cout
return 0;
}