2017年初升高函数模型及其应用教案
3.4.2 函数模型及其应用
课标知识与能力目标
1. 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.
2. 结合社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数)实例,了解函数模型的广泛应用.
知识点1 函数模型及其应用
1.几种不同函数模型的增长差异:
分别作出函数y =2x ,y =log 2x ,y =x 2在第一象限的图象如
图.函数y =log 2x 刚开始增长得最快,随后增长的速度越来越慢;函
数y =2刚开始增长得较慢,随后增长的速度越来越快;函数y =x 增
长的速度也是越来越快,但越来越不如y =2增长得快.函数y =2和x x x 2
y =x 2的图象有两个交点(2,4)和(4,16).在x ∈(2,4)时,
l o g 2x <x 2,在x ∈(0,2)∪(4,+∞) 时,log 2x <x 2<2x ,所以2x <
当x>4时,log 2x <x <2.
一般地,在区间(0,+∞) 上,尽管函数y =a (a>1),x 2x
y =log a x (a>1)和y =x α(α>0)都是增函数,但它们的增长速度不
同,而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大,y =a (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y =x (α>0)的增长速度,而y =log a x (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x 0,使当x >x 0时,就有log a x <x α<a x . 这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长.
2.几类常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx +b (k、b 为常数,k ≠0) ;
k (2)反比例函数模型:f(x)=+b (k、b 为常数,k ≠0) ; x
(3)二次函数模型:f(x)=ax +bx +c (a、b 、c 为常数,a ≠0) ;
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.
(4)指数函数模型:f(x)=ab +c (a、b 、c 为常数,a ≠0,b>0,b ≠1) ;
(5)对数函数模型:f(x)=mlog a x +n (m、n 、a 为常数,a>0,a ≠1) ;
说明:随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色.
(6)幂函数模型:f(x)=ax +b(a、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠1) ;
(7)分段函数模型:这个模型实际是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
n x 2x α
3.函数建模解决问题的一般过程如下:
(1)收集数据;
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点;
(3)根据点的分布特征,选择一个能刻画其特征的函数模型;
(4)选择其中的几组数据求出函数模型;
(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看其是否符合实际,若不符合实际,则重复步骤(3)(4)(5);若符合实际,则进入下一步;
(6)用求得的函数模型去解决实际问题.
典型例题
考点1:一次函数模型
例1 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算) 内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能获得的利润.
考点2:二次函数模型
例1 渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x 小于m ,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值) 的乘积成正比,比例系数为k (k >0).
(1)写出y 关于x 的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群年增长量达到最大时,求k 的取值范围.
考点3:分段函数模型
例1 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元) 与时间t (天) 组成有
序数对(t ,P ) ,点(t ,P ) 落在图中的两条线段上.该股票在30天内(包
括30天) 的日交易量Q (万股) 与时间t (天) 的部分数据如下表所示:
(1)P (元) 与时
间t (天) 所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股) 与时间t (天) 的一次函数关系式;
(3)用y (万元) 表示该股票日交易额,写出y 关于t 的函数关系式,并求出这30天中第几天日交易额最大,最大值为多少?
考点4:指数函数模型