2015湖南益阳中考数学试卷
2015年湖南省益阳市中考数学试卷
（满分150分，考试时间90分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. （2015湖南省益阳市，1，5分）下列实数中，是无理数的为
1
A
B ． C ．0 D ．-3
3
【答案】A
A 。
2. （2015湖南省益阳市，2，5分）下列运算正确的是 A ．x 2⋅x 3=x 6 B ．(x 3) 2=x 5
C ．(xy 2) 3=x 3y 6
故A 错；B.
D ．x 6÷x 3=x 2
故B 错；
【答案】C 【解析】A.
D
．故D 错，所以只选C 。
3. （2015湖南省益阳市，3，5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
A ．中位数是4，平均数是3.75 B ．众数是4，平均数是3.75 D ．众数是2，平均数是3.8
而中位数是4，故选C
C ．中位数是4，平均数是3.8 【答案】C 【解析】
4. （2015湖南省益阳市，4，5分）一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体是 A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．圆柱 D ．长方体
图
2
图
1
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
【答案】B 【解析】
5. （2015湖南省益阳市，5，5分）如图2，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误的是 ．．A ．∠ABC =90︒ B ．AC =BD
C ．OA =OB D ．OA =AD 【答案】D
【解析】本题考查矩形的性质：
6. （2015湖南省益阳市，6，5分）下列等式成立的是
12321 A．+= B ． =
a b a +b 2a +b a +b ab a a a
C． D ．==-
ab -b 2a -b -a +b a +b
ab a
【答案】C =
ab -b 2a -b
【解析】
ab ab a
== 2
ab -b b (a -b ) a -b ∵故C 成立
7. （2015湖南省益阳市，7，5）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为
A ．20(1+2x ) =80 C ．20(1+x 2) =80 【答案】D
B ．2×20(1+x ) =80 D ．20(1+x ) 2 =80
现量是80，原量是20，故选
【解析】 利用增长率公式解：现量=原量D ；
8. （2015湖南省益阳市，7，5分）若抛物线y =(x -m ) 2+(m +1) 的顶点在第一象限，则m 的取值范围为 A ．m ＞1 B ．m ＞0 C ．m ＞-1 D ．-1＜m ＜0 【答案】B
【解析】∵顶点为（m ，m+1）而它在第一象限；∴
∴
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应8后的横 ．．．
线上）
9. （2015湖南省益阳市，9，5分） ．
【答案】4
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
【解析】=
10. （2015湖南省益阳市，10，5分）已知y 是x 的反比例函数，当x > 0时，y 随x 的增
大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ． ．．【答案】
(答案不唯一)
【解析】∵当x > 0时，y 随x 的增大而减小∴反比例函数图像在一，三象限；故
11. （2015湖南省益阳市，11，5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没
有站在中间的概率为 ． 【答案】
【解析】枚举法：甲乙丙；甲丙乙；乙甲丙；乙丙甲；丙甲乙；丙乙甲；共8种情况； 甲在中间的情况有2中，故
.
12. （2015湖南省益阳市，12，5分）如图3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半
AB 的长为 径为1，则
【答案】
图3
图4
【解析】连接OA ，OB 。∵正六边形的边长等于半径；∴OA=OB=AB=1∴∠AOB=60
∴
13. （2015湖南省益阳市，13，5分）图4是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图
案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，„，则第n 个图案中有
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
根小棒． 【答案】
【解析】∵第一个为6个；第2个为11个；第3个为16个说明每个图形小棒比前一个多5∴第n 个为1+5n
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
14. （2015湖南省益阳市，14，8分）化简：(x +1) 2-x (x +1) ． 【答案】x+1
【解析】解：原式=x 2+2x +1-x 2-x =x +1.
15. （2015湖南省益阳市，15，8分）如图5，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，∠1=65︒，求∠2的度数. 【答案】
【解析】解：∵AB ∥CD ，
∴∠ABC =∠1=65︒，∠ABD +∠BDC =180︒. ∵BC 平分∠ABD ，
∴∠ABD =2∠ABC =130︒， ∴∠BDC =180︒-∠ABD =50︒， ∴∠2=∠BDC =50︒．
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
图
5
16. （2015湖南省益阳市，16，10分）如图6，直线l 上有一点P 1(2，1) ，将点P 1先向
右平
移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P 2，点 P 2恰好在直线l 上． （1）写出点P 2的坐标；
（2）求直线l 所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个
单位得到像点P 3．请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．
图6
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
【答案】(1) P2(3，3);(2) 直线l 所表示的一次函数的表达式为y =2x -3;(3) 点P 3在直线l 上
【解析】解：（1）P 2(3，3) ．
（2）设直线l 所表示的一次函数的表达式为y =kx +b (k ≠0) ，
∵点P 1(2，1) ，P 2(3，3) 在直线l 上，
⎧2k +b =1，⎧k =2， ∴⎨，解得⎨.
3k +b =3b =-3⎩⎩
∴直线l 所表示的一次函数的表达式为y =2x -3. （3）点P 3在直线l 上．
由题意知点P 3的坐标为(6，9) ，∴2⨯6-3=9，∴点P 3在直线l 上．
17. （2015湖南省益阳市，17，10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产
业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，图7表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题：
图7
（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？ （2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整； （3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数. 【答案】（1）1250亿元；（2）550亿元；（3）158.4
【解析】解:（1）237.5÷19%=1250(亿元) ；
（2）第二产业的增加值为1250-237.5-462.5=550(亿元) ，画图如下：
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为
550
⨯360︒=158.4︒． 1250
18. （2015湖南省益阳市，18，10分）如图8，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于
点O ，
∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求证：AC ⊥BD ；
（2）若AB =14，cos ∠CAB =
7
，求线段OE 的长． 8
图8
【答案】（1）证明略；（2）；
【解析】解：（1）∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，
∴□ABCD 是菱形．
∴AC ⊥BD ．
AO 7
（2）在Rt △AOB 中，cos ∠OAB ==，AB =14，
AB 8
749
∴AO =14⨯=，
84
AB 7
在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ==，AB =14，
AE 8
8
∴AE =AB =16，
74915
∴OE =AE -AO =16-=．
44五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
19. （2015湖南省益阳市，19，12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料
若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须
补充原材料？
【答案】（1）初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨；（2）最多再生产10天后必须补充原材料． 【解析】解：（1）设初期购得原材料a 吨，每天所耗费的原材料为b 吨，
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
⎧a -6b =36，
根据题意得：⎨.
a -10b =30⎩
⎧a =45，解得⎨．
b =1.5⎩
答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨．
（2）设再生产x 天后必须补充原材料，
依题意得：45-16⨯1.5-1.5(1+20%)x ≤3， 解得：x ≥10.
答: 最多再生产10天后必须补充原材料．
20. （2015湖南省益阳市，20，12分）已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，
且AP
角α(0︒
（3）如图9-3，过BP 的中点E 作l 1⊥BP ，过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2，l 1与l 2交于
点Q ，连接PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ．
图9-1 图9-2 图
9-3
【答案】（1）90；(2)(3)证明略；
【解析】解：（1）由旋转的性质得：AP = AP 1，BP = BP 2．
∵α=90︒， ∴△PAP 1和△PBP 2均为等腰直角三角形,
∴∠APP 1=∠BPP 2=45︒，
∴∠PPP 12=180︒-∠APP 1-∠BPP 2=90︒.
（2）由旋转的性质可知△APP 1和△BPP 2均为顶角为α的等腰三角形，
∴∠APP 1=∠BPP 2=90︒-
α
2
，
∴∠PPP ) =α. 12=180︒-(∠APP 1+∠BPP 2) =180︒-2(90︒-
2
α
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
在△P 2PP 1和△P 2PA 中，∠PPP 12=∠PAP 2=α， 又∠PP 2P 1=∠AP 2P ， ∴△P 2PP 1∽△P 2PA ．
（3）如图，连接QB .
∵l 1，l 2分别为PB ，P 2B 的中垂线，
11
∴EB =BP ，FB =BP 2.
22
又BP =BP 2，
∴EB =FB ． 在Rt △QBE 和Rt △QBF 中，
20题解图 EB =FB ，QB =QB ，
∴Rt △QBE ≌Rt △QBF ，
1α
∴∠QBE =∠QBF =∠PBP 2=．
22
由中垂线性质得:QP =QB ， ∴∠QPB =∠QBE =
α
2
．
由（2）知∠APP 1=90︒-
α
2
,
∴∠PPQ =180︒-∠APP 11-∠QPB =180︒-(90︒-即 P 1P ⊥PQ ．
六、解答题（本题满分15分）
α
2
) -
α
2
=90︒,
21. （2015湖南省益阳市，21，15分）已知抛物线E 1：y =x 2经过点A (1，m ) ，以原点
为顶点的抛物线E 2经过点B (2，2) ，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A '、B '． （1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图10-1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B '为顶
点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图10-2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连接OP 并延长
与抛物线E 2相交于点P
'，求∆PAA '与∆P 'BB '的面积之比．
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
图10-1 图10-2
【答案】（1）m=1，抛物线E 2所对应的二次函数表达式为y =点Q 坐标为(2，4) 与
3) ．（3）
S ∆PAA '1
= S ∆P 'BB '4
12
（2）存在符合条件的x ；2
【解析】解：（1）∵抛物线E 1经过点A (1，m ) ，
∴m =12=1．
∵抛物线E 2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y =ax 2(a ≠0) ，
1
又点B (2，2) 在抛物线E 2上，∴2=a ⨯22，解得:a =，
2
1
∴抛物线E 2所对应的二次函数表达式为y =x 2．
2
（2）假设在第一象限内 ，抛物线E 1上存在点Q ，使得△QB 'B 为直角三角形，
由图象可知直角顶点只能为点B 或点Q ．
①当点B 为直角顶点时，过B 作BQ ⊥B 'B 交抛物线E 1于Q ，
则点Q 与B 的横坐标相等且为2，将x =2代入y =x 2得y =4 ， ∴点Q 的坐标为(2，4) ． ②当点Q 为直角顶点时，则有QB '2+QB 2=B 'B 2，过点Q 作QG ⊥BB '于G ， 设点Q 的坐标为(t ，t 2)( t >0) ，
则有(t +2)+(t 2-2)+(2-t )+(t 2-2)=42，
2
2
2
2
整理得：t 4-3t 2=0,
∵t >0, ∴t 2-3=
0，解得t 1
t 2=舍去) ，
∴点Q 的坐标为
3) ，
综合①②，存在符合条件的点Q 坐标为(2，4) 与
3) ．
（3）过点P 作PC ⊥x 轴, 垂足为点C ，PC 交直线A 'A 于点E ，过点P '作P 'D ⊥x 轴, 垂足
为点D ，P 'D 交直线B 'B 于点F ，
1
依题意可设P (c ，c 2) 、P '(d ，d 2) (c >0，c ≠1) ，
2
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢
12d c =∵tan ∠POC =tan ∠P 'OD ，∴ ，∴d =2c ． c d
又A 'A =2，B 'B =4，
11AA '⋅PE ⨯2⨯c 2-1c 2-1S ∆PAA '1====∴． 2
12S ∆P 'BB '1BB '⋅P 'F 142⨯2c -2⨯4⨯d -2
222
2
21题解图1 21题解图2
精品资源
JSCM 中考团队
合作共赢