一次函数学习要点

函数学习要点

学习要求：会判断函数，会求取值范围，会利用图像读取信息，会列函数解析式。 一. 掌握一次函数的概念、图象和性质． [例题1] 已知：y =(m -3) x m

2

-8

+m +1是一次函数，求m 的值.

变式：已知一次函数 y =(6+3m ) x +n +4. 求：（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）m ，n 满足什么条件时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方；（3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m ，n 满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.

EX: （1）下面图像中，不可能是关于x 的一次函数y =mx -(m -3) 的图象的是（ ）

（2）已知直线y =kx +b (k ≠0) 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：① k >0, b >0；② k >0, b 0；④k

（3）已知一次函数y ＝（5m ＋2）x －m ＋3的图象经过一、二、四象限，则m 的取值范围是 ．

（4）已知一次函数y ＝（m ＋2）x ＋（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且该函数的图像与x 轴的交点在原点的右侧，则m 的取值范围是 .

（5）已知一次函数的图像是一条直线，该直线经过(0,0)，(2,－a) ，(a,－3) 三点，且函数值随自变量x 值的增大而减小，则此函数的解析式 。

[例题2] 已知，直线y =(k -1) x +b 与y =3x -2平行，且过点（1，-2），请问直线y =bx -k 不经过哪个象限？ 1 k、b 的意义；○2平行条件；④在y 轴上 共点条件， ⑤k ≠0的条件. 注意： ○

EX :求下列一次函数的解析式：（1）图像过点（1，－1）且与直线2x +y =5 平行； （2）图像和直线y =-3x +2在y 轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

二. 会画函数图像：求直线与坐标轴的交点：①赋零法：令y=0求直线（函数）与x 轴交点，令x=0求直线与y 轴交点。②双零法

EX:（1）如果一次函数y=mx+2与y=nx-3的图象交于x 轴上一点，那么m ∶n 的值为 。

（2）已知一次函数的图象交x 轴于（2,0），交y 轴于（0,3）, 当y>0时，x 的取值范围是 。（两法） 三. 求函数解析式：例3：已知一次函数y =kx +b 的图象经过点A(-3，-2) 及点B(1,6)，求此函数解析式并画出图象．(“设、代、解、表”法)

EX: 1.已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式.

2. 如图，某计算装置有一数据输入口A 和一数据输出口B ，下表是小川输入的数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，如果小川输入8，得到的结果是（ ） 3. 已知一次函数的图象经过点（－4,0），并且与两个坐标轴围成的直角三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式。

4. 已知y +5与3x +4成正比例，并且当x =1时，y =2，写出y 与x 之间的函数关系式是 ；当x =-1时，y = ；当

y =-1时，x = ；当x 满足 时，y ＞0；当x 满足 时，y =0；当x 满足 时，y ＜0

四、一次函数的应用：（1）算术解法：（2）待定系数法

例4. 某城TAXI 收费标准如下：5千米以内（包括5千米）收费5元，超出5千米时每千米收费1.4元，求：（1）TAXI 应收车费

（元）与行驶路程x （千米）之间的函数关系。

（2）王巧从某城出发去10千米处的竹林村需要多少钱？去20千米的前童古镇带20元够了吗？

解：

2. 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y 万元，荔枝的产量为x 吨（0＜x ＜200）．

（1）请写出y 关于x 的函数关系式；

（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y 值的范围．

解:.

五、数形结合：Rt △ OAB的腰OA =OB =6，将它放在平面直角坐标系内，如图. 点P 、Q 分别是AB 、OA 上的点，点P 的坐标是（x 、y ），OQ =4. 记△OPQ 的面积为S ，回答下列问题： （1） 写出S 与y 的函数关系式，自变量的取值范围是什么？ （2） y 与x 是什么函数关系？

（3） 写出S 与x 的函数关系，并求出当S =10时，点P 的坐标. 六、方案设计：（见《生活》）

EX:1. 父亲节，学校文苑专栏登出了某同学回忆父亲的一首小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还. ”如果用纵轴y 表示父亲学子在行进中离家的距离，横轴x 表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致相吻合的图象是（ ）

2. 高高兴兴上学去，开开心心回家来“王林放学后，17

时从学校出发，回家途中离家的路程S （百米）与所走的时间他（分钟）之间的函数关系如图所示，那这天到家的时间为（ ）A 、17时15分 B、17时14分 C、17时12分 D、17时11分

3. 某种储蓄的月利率是0.6%,存入100之本金, 求本息和y(元) 与所存月数x 之间的函数关系式, 并计算存满4个月时的本息和。

4. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y （cm ）与饭碗数x （个）之间的一次函数解析式；

（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

5. 已知点M （3,2），N （1，－1），试在y 轴上求一点P ，使PM ＋PN 最短。画出图形，写出点P 的坐标。

6. 已知点P 是一次函数y=3x-6的图象上的一点，并且点P 到x 轴、y 轴的距离相等，求点P 的坐标。

7.

函数y =

x 的取值范围是 。y =

13x -1

中，自变量x 的取值范围是 。

8. 已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；③当x

(第12题图）

不等式k 2x >k 1x +b 的解集为 ．

10. 如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y （米）与时间x （天）之间的关系图象．根据图象提供的信息，可知该公路的长度是 米．

11. 声音在空气中传播的速度y （m/s）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：

（1）求（2）气温x =23℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？

12. 如图11，直线l 1的解析表达式为y =-3x +3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点

A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．

（1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△A D C 的面积；

图11

（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△A D P 与△A D C 的面积相等，请直接写出点P

的坐标． ．．

13. 某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

（1）设分配给甲店A 型产品x 件，这家公司卖出这100件产品的总利润为

W （元），求W 关于x 的函数关系式，

并求出x 的取值范围；

（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A 型产品让利销售，每件让利a 元，但让利后A 型产品的每件利润仍高于甲店

B 型产品的每件利润．甲店的B 型产品以及乙店的A ，B 型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，

使总利润达到最大？

14. “一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据右表提供的信息，解答下列问题：

（1）设装运食品的车辆数为x ，装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式；

（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆， 那么车辆的安排有几种方案? 并写出每种安排方案；

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案? 并求出最少总运费．

15. 某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元。

⑴求y 关于x 的函数关系式？

⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）

某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x

（天）之间的函数关系式如图10所示． （1）第20天的总用水量为多少米3？

（2）当x 20时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？

图10

(天)