初高中数学知识衔接

初高中知识衔接

1.1.1．绝对值

1. 绝对值的意义：

代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零. 即

（a ≥0）⎧a ⎧a , a >0,

⎪⎪|a |=⎨0, a =0, 或a =⎨

⎪-a , a

几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

2. 两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离. 例. 解不等式：x -+x -3＞4.

解：（法一）

由x -1=0，得x =1；由x -3=0，得x =3； ①若x 4， 即-2x +4＞4，解得x ＜0， 又x ＜1，∴x ＜0；

②若1≤x 4，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ；

③若x ≥3，不等式可变为(x -1) +(x -3) >4， 即2x -4＞4， 解得x ＞4. 又x ≥3，∴x ＞4.

综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4.

（法二）如图1，x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|.

所以，不等式x -+x -3＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4. 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧，则x ＜0，或x ＞4.

|x 3|

|x －1|

图1

练习：

1．填空：（1）若x =-4，则x =_________； （2）如果a +b =5，且a =-1，则b ＝________；

（3）若-c =2，则c ＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是（ ）

A 、若a =b ，则a =b B 、若a >b ，则a >b C 、若a

3．化简：|x －5|－|2x －13|（5

4、解答题：已知a -3+2b -4+(c +5) 2=0，求 a +b +c 的值.

1.1.2. 乘法公式

1. 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

22

(a +b )(a -b ) =a -b （1）平方差公式 ；

222(a ±b ) =a ±2ab +b (2）完全平方公式 2a (3) 提取公因式 +ab =a (a +b )

22

(a +b ) =(a -b ) +4ab 变形公式：

2. 高中需要用到的新公式：

（1）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3；

（2）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3； （3）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； （4）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； （5）两数差立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3

例1 计算：(x +1)(x -1)(x 2-x +1)(x 2+x +1)

2226242

⎤(x +1) -x x -1 解法一：原式=(x 2-1) ⎡==(x -1)(x +x +1) ⎣⎦

解法二：原式=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1) =(x 3+1)(x 3-1) =x 6-1

例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2的值

解： a 2+b 2+c 2=(a +b +c ) 2-2(ab +bc +ac ) =8

练习： 1．填空：

1111

（1）a 2-b 2=(b +a ) （ ）；

9423

（2）(4m +) 2=16m 2+4m +() ； (3)(a +2b -c ) 2=a 2+4b 2+c 2+()

2．选择题：

1

（1）若x 2+mx +k 是一个完全平方式，则k 等于（ ）

2

111

A 、m 2 B、m 2 C、m 2 D、m 2

4163

（2）不论a ，b 为何实数，a 2+b 2-2a -4b +8的值（ ）

A 、总是正数B 、总是负数 C、可以是零D 、可以是正数也可以是负数

3、计算：

（1）103×97 （2）1998-1997⨯1999（3）(1－2x )(1＋2x )(1+4x )(1+16x )

4、找规律与为什么

观察下列等式：1-0=1，2-1=3，3-2=5，4-3=7，…… 用含自然数n 的等式表示这种规律:_______________________________ 思考：你能证明这一规律吗？ 5、 2已知：=2，求：的值。 2

2

变式：=2，求：的值。2

112

再变：x +2=2，求：x +的值。 x x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

1x -

x

1x +

x

1x +

x

1x +

x

1.1.3．二次根式

a ≥0) 的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式。 例如

3a

2b ，等是无理式，

而2+

x +

1，2

x 2+

y 2

1. 分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。

为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

与

，

与

，

与

，

b 与b 互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用

=a ≥0, b ≥0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

2

=a =⎨

⎧a , a ≥0,

-a , a

例1 将下列式子化为最简二次根式

（1

（2

a ≥0) ；（3

x

解：（1

=（2

==a ≥0) ； （3

=2x =-2x x

例2

(3

(3

(3

1

2

例3试比较下列各组数的大小：

（1

（2

解：（1

=

，

==

1=

，

==

>

== 又 4＞2，∴6＋4＞6＋22，

例4

化简：2004⋅2005

（2

）∵=

解：2004⋅

2005＝2004⋅-2004⋅-

＝⎡⋅⎤

⎣⎦

2004

⋅＝12004⋅-

例 5 化简：（1

（2

原式=

=

=

=

2=2

111

原式

=x -，∵01>x ，所以，原式＝-x

x x x

解：∵x +y =

例6

已知x =3x 2-5xy +3y 2的值 y =

=2+2=10，

=1， 3x 2-5xy +3y 2=3(x +y ) 2-11xy =3⨯102-11=289 xy =

练习1．填空：（1

__ ___；（2

）=__ （3

=(x -x 的取值范围是； （4

）若x =

=______ __ 2

成立的条件是_____________ =

3．比较大小：25－4（填“＞”，或“＜”）

11x 2+xy +y 2

, y =4、解答：设x =，求代数式的值

x +y 3-23+2

1.1.4分式

A A

的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式. B B

A A ⨯M A A ÷M A

当M ≠0时，分式具有下列基本性质：=；=

B B ⨯M B B ÷M . B

1．分式的意义：形如

a

m +n +p

2．繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c +d

n +p

5x +4A B

例1 若，求常数A , B 的值. =+

x (x +2) x x +2A B A (x +2) +Bx (A +B ) x +2A 5x +4

===解：∵+，

x x +2x (x +2) x (x +2) x (x +2)

⎧A =2⎧A +B =5,

∴⎨ 解得⎨.

2A =4, B =3⎩⎩

111

=-例2（1）试证：（其中n 是正整数）；

n (n +1) n n +1111++ +（2）计算：； 1⨯22⨯39⨯10

1111++ +

2⨯33⨯4n (n +1) 2

11111(n +1) -n 1

=-==（1）证明：∵-，∴（其中n 是正整数）成立

n (n +1) n n +1n n +1n (n +1) n (n +1)

1911111111

++ +=(1-) +(-) + +(-) =1-＝ （2）解：由（1）可知

10101⨯22⨯39⨯10223910

111++ +（3）证明：∵

2⨯33⨯4n (n +1)

11111111

) ＝-＝(-) +(-) + +(-，

2n +12334n n +11

又n ≥2，且n 是正整数，∴一定为正数，

n ＋11111

++ +∴＜ . 2⨯33⨯4n (n +1) 2

c

例3. 设ρ=，且ρ>1，2c 2-5ac +2a 2=0，求ρ的值.

a

解：在2c 2-5ac +2a 2=0两边同除以2a 2，得2ρ2-5ρ+2=0， ∴(2ρ－1)( ρ－2) ＝0，

1

∴ρ＝ ＜1（舍去），或ρ＝2∴ρ＝2

2

练习

1．对任意的正整数n ，2．若

111

) ； =(-

n n +2n (n +2)

2x -y 2x

=，则＝（ ） x +y 3y

546

（A ）１（B ）（C ）（D ）

545

x -y

3．正数x , y 满足x 2-y 2=2xy ，求的值

x +y

4x a b

=-4、若2，则a 2+b 2的值是 x -4x +2x -21111+++... +5、计算 1⨯22⨯33⨯499⨯100

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法. 一、提取公因式法

例：（1）a 2(b -5)+a (5-b ) （2）x 3+9+3x 2+3x 解：（1）a 2(b -5)+a (5-b )=a 2(b -5)-a (b -5)=a (b -5)(a -1) （2）x 3+9+3x 2+3x =(x 3+3x 2) +(3x +9) 2 =x (x +3) +3(x +3) =(x +3)(x 2+3) .

或x 3+9+3x 2+3x ＝(x 3+3x 2+3x +1) +8 ＝(x +1) 3+8＝(x +1) 3+23

＝[(x +1) +2][(x +1) 2-(x +1) ⨯2+22] ＝(x +3)(x 2+3) .

练习：

（一）、填空题：

1、多项式6x 2y -2xy 2+4xyz 中各项的公因式是_______________

2、m (x -y )+n (y -x )=(x -y )∙__________________

3、m (x -y )2+n (y -x )2=(x -y )2∙____________________

4、m (x -y -z )+n (y +z -x )=(x -y -z )∙_____________________ 5、m (x -y -z )-x +y +z =(x -y -z )∙______________________

6、-13ab 2x 6-39a 3b 2x 5分解因式得_____________________ 7．计算992+99= （二）、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、2a 2b -4ab 2=2ab (a -b )（ ） 2、am +bm +m =m (a +b )（3、-3x 3+6x 2-15x =-3x (x 2+2x -5)

（ ） 4、x n +x n -1=x n -1(x +1)（

二、公式法

例（分解因式）

（1）-a 4+16 （2）(3x +2y )2-(x -y )2

解：(1)-a 4+16=42-(a 2) 2=(4+a 2)(4-a 2) =(4+a 2)(2+a )(2-a )

(2)(3x +2y )2-(x -y )2=(3x +2y +x -y )(3x +2y -x +y ) =(4x +y )(2x +3y ) 练习 （一）、a 2-2ab +b 2，a 2-b 2，a 3-b 3的公因式是_____________ （二）、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ） 2

1、49x 2-0. 01=⎛ 2⎝3x ⎫⎪⎭-(0. 1)2

=⎛ 2⎝3x +0. 1⎫⎪⎭ ⎛ 2⎝3x -0. 1⎫⎪⎭

（ ）

2、9a 2-8b 2=(3a )2-(4b )2

=(3a +4b )( 3a -4b )（ ） 3、25a 2-16b =((5a +4b )()

5a -4b )（ ） 4、-x 2-y 2=-x 2-y 2=-(x +y )( x -y )（ ）

5、a 2-(b +c )2

=(a +b +c )( a -b +c )（ ）

） ）

（三）、把下列各式分解

1

1、-9(m -n )2+(m +n )2 2、3x 2-

3

3、4-x 2-4x +2 4、x 4-2x 2+1

三、分组分解法

例4 （1）x 2-xy +3y -3x （2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6

x 2-xy +3y -3x =（x 2-xy ）+（3y -3x ）=x （x -y ）-（3x -y ）=（x -y ）∙（x -3）或x 2-xy +3y -3x = （x 2-3x ）+（-xy +3y ）=x （x -3）-y （x -3）=（x -3）∙（x -y ）（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=2x 2+(y -4) x -y 2+5y -6 =2x 2+(y -4) x -(y -2)(y -3) =(2x -y +2)(x +y -3) . 或2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=(2x 2+xy -y 2) -(4x -5y ) -6 =(2x -y )(x +y ) -(4x -5y ) -6 =(2x -y +2)(x +y -3) .

练习：用分组分解法分解多项式

（1）x 2-y 2+a 2-b 2+2ax +2by （2）a 2-4ab +4b 2-6a +12b +9 四、十字相乘法（分解因式）

例（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12； （3）x 2-(a +b ) xy +aby 2； （4）xy -1+x -y

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)( x －2)

()

2

x x

－1 －2

1 1

－1 －2

1 1

－2 6

x x

－ay －by

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）.

（2）由图1．1－3，得x ＋4x －12＝(x －2)( x ＋6) （3）由图1．1－4，得x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by )

2

x y

－1 1

图1．1－5

（4）xy -1+x -y ＝x y ＋(x －y ) －1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）. 练习 （一）、填空题：1、把下列各式分解因式：

（1）x 2+5x -6=________________（2）x 2-5x +6=____________________ （3）x 2+5x +6=________________（4）x 2-5x -6=____________________ （5）x 2-(a +1)x +a =____________（6）x 2-11x +18=__________________ （7）6x 2+7x +2=_______________（8）4m 2-12m +9=_________________ （9）5+7x -6x 2=_______________（10）12x 2+xy -6y 2=_______________ 2、x 2-4x + =(x +3)(x + ) 3、若x 2+ax +b =(x +2)(x -4)则a =，b = （二）、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）x 2+7x +6（2）x 2+4x +3（3）x 2+6x +8（4）x 2+7x +10，（5）x 2+15x +44中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5） 2、分解因式a 2+8ab -33b 2得（ ） A 、(a +11)( a -3) B、(a +11b )( a -3b ) C 、(a -11b )( a -3b ) D、(a -11b )( a +3b ) 3、(a +b )2+8(a +b )-20分解因式得（ ） A 、(a +b +10)( a +b -2)B 、(a +b +5)( a +b -4) C 、(a +b +2)( a +b -10)D 、(a +b +4)( a +b -5)

4、若多项式x 2-3x +a 可分解为(x -5)(x -b )，则a 、b 的值是（ ） A 、a =10，b =2 B、a =10，b =-2 C、a =-10，b =-2 D、a =-10，b =2 5、若x 2+mx -10=(x +a )( x +b )其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B、±3 C、±9 D、±3或±9 （三）、把下列各式分解因式

2

1、6(2p -q )-11(q -2p )+3 2、a 3-5a 2b +6ab 2

3、2y 2-4y -6 4、b 4-2b 2-8

五、关于x 的二次三项式ax 2+b x +c (a ≠0) 的因式分解.

若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，

则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为a (x -x 1)(x -x 2)

例：把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）x 2+2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2

解：（1）令x 2+2x -1=0

，则解得x 1=-1

x 2=-1，

⎤⎡⎤∴x 2+2x -

1=⎡⎣x -(-1⎦⎣x -(-1⎦

=(x +1x +1

（2）令x 2+4xy -4y 2=0

，则解得x 1=(-2+

y ，∴x 2+4xy -

4y 2=[x +2(1y ][x +2(1y ] 练习

1．选择题：多项式2x 2-xy -15y 2的一个因式为（ （A ）2x -5y （B ）x -3y （C ）x +3y 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8= （2）8a 3－b 3= （3）x 2－2x －1（4）4(x -y +1) +y (y -2x )

x 1=(-2-y ， ） （D ）x -5y

2.1 .1 一元二次方程根的判别式与韦达定理

1. 求方程的根：

一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示. 对于一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相ax ＋b x ＋c ＝0等的实数根x

1, 2

b

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－；

2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.

例1 . 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0； （3）x 2－ax ＋(a －1) ＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1) ＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的

2

实数根x 1=

，x 2=

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1) ＝a 2－4a ＋4＝(a －2) 2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1 （4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a ) ，所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1

时，方程有两个不相等的实数根x 1=1

x 2=1

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根. 2. 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

b

如果ax 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1, x 2，那么x 1+x 2＝-，

a

c

这一关系也被称为韦达定理. x 1⋅x 2＝a .

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0，若x 1, x 2是其两根，由韦达定理可知，x 1+x 2＝－p ，x 1⋅x 2＝q ，即p ＝－(x 1+x 2) ，q ＝x 1⋅x 2，

所以，方程x 2＋p x ＋q ＝0可化为x 2－(x 1+x 2) x ＋x 1⋅x 2＝0，由于x 1, x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1+x 2) x ＋x 1⋅x 2＝0。因此有以两个数x 1, x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1+x 2) x ＋x 1⋅x 2＝0.

例2:已知方程5x +kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.

解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7

3

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－

5

2

36

解法二：设方程的另一个根为x 2，则 2x 2＝－，∴x 2＝－

55

3k

由（－）＋2＝－，得 k ＝－7

55

3

所以，方程的另一个根为－，k 的值为－7

5

例3已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值.

解：设x 1, x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1+x 2＝－2(m －2) ，x 1⋅x 2＝m 2＋4

∵x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝21，∴(x 1+x 2) 2－3x 1⋅x 2＝21，

即[－2(m －2)]2－3(m 2＋4) ＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去 综上，m ＝17

例4. 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数.

（1）⎧x +y =4

y 解法一：设这两个数分别是x ，，则⎨

xy =-12（2）⎩

22

⎧x =-2, ⎧x 2=6,

解得：⎨1，⎨因此，这两个数是－2和6

⎩y 1=6, ⎩y 2=-2.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根 解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6 所以，这两个数是－2和6

例5. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根.

1133

（1）求|x 1－x 2|的值； （2）求2+2的值；（3）x 1＋x 2。

x 1x 2解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，

53

∴x 1+x 2=-，x 1x 2=-

222222

∵|－|＝x x x 1+ x2－2x 1⋅x 2＝(x 1+x 2) －4x 1⋅x 212（1） 532549＝(-) 2-4⨯(-) ＝＋6＝，

2244

7

∴|x 1-x 2|＝

2

52325(-) -2⨯(-) +3

x 12+x 22(x 1+x 2) 2-2x 1x 21137=（2）2+2=22= ==2

x 1x 2x 1⋅x 2(x 1x 2) 9(-) 224

3322

（3）x 1＋x 2＝(x 1+x 22)(x 1－x 1⋅x 2＋x 2) ＝(x 1+x 2)[ (x 1+x 2) 2－3x 1⋅x 2]

553215＝(－)×[(－) 2－3×(-)]＝－

8222

例6. 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零， 求实数a 的取值范围。

解：设x 1, x 2是方程的两根，则x 1⋅x 2＝a －4＜0，且Δ＝(－1) 2－4(a －4) ＞0

17

由①得a ＜4，由②得a ＜

4

∴a 的取值范围是a ＜4 练习

1. 选择题：

（1

）方程x 2-+3k 2=0的根的情况是（ ） (A)有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根

（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1) x ＋m ＝0有两个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围是（ ）

11

（A ）m ＜ （B ）m ＞－

4411

（C ）m ＜，且m ≠0 （D ）m ＞－，且m ≠0

442．填空:

（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2， 11

则+＝。 x 1x 2

（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 （3）以－3和1为根的一元二次方程是

3.

|b -1|=0，当k 取何值时，方程k x 2＋a x ＋b ＝0有两 个不相等实数根？

4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)(x 2－3) 的值.

2.2.1 一次函数、二次函数的图象和性质

一、一次函数的图像和性质

画图y=x、y=-x、y=2x+2、y=-3x-1（步骤） 二、二次函数的图像和性质

1. 函数y ＝a x 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？

1

画出y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象(列表，描

2

点，连线)

二次函数y ＝a x 2 (a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到。在二次函数y ＝a x 2 (a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.

2. 函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k 与y ＝a x 2的图象之间存在怎样的关系？

作出函数y ＝2(x ＋1) 2＋1与y ＝2x 2（y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1) 2＋1）的图象

二次函数y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”.

b 4ac -b 22

) ，对称（1）当a ＞0时，函数y ＝a x ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为(-,

2a 4a

b b b

轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大

2a 2a 2a b 4ac -b 2

而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝

2a 4a .

b 4ac -b 2

) ， （2）当a ＜0时，函数y ＝a x ＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为(-,

2a 4a

b b b

对称轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的

2a 2a 2a b 4ac -b 2

增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝

2a 4a .

2

例1 求二次函数y ＝－x 2－2x ＋3图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），

并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.

解：∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1) 2＋4，

∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4) ； 当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4)) ，与x 轴交于点B （-3，0）和 C （1，0），与y 轴的交点为D (0，3) ，过这五点画出图象.

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.

函数y ＝a x 2＋bx ＋c 图象作图要领： ①确定开口方向：由二次项系数a 决定.

b

②确定对称轴：对称轴方程为x =-

2a

③确定图象与x 轴的交点情况，若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程 x 2＋bx ＋c=0求出; 若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程 x 2＋bx ＋c=0求出; 若△

④确定图象与y 轴的交点情况, 令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c ） ⑤由以上各要素出草图.

练习：作出以下二次函数的草图：

（1）y =x 2-x -6 (2)y =x 2+2x +1 (3)y =-x 2+1

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120) ，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.

解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b ，将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代

⎧k =-1⎧70=130k +b ,

入方程，有⎨解得⎨∴y ＝－x ＋200

50=150k +b , b =200⎩⎩

设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120) ＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160) 2＋1600，

∴当x ＝160时，z 取最大值1600

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值.

b 2b 2

解法一：y ＝x ＋bx ＋c ＝(x +) +c -，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4

42

b b 22

个单位，得到y =(x ++4) +c -+2的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，

24

⎧b

--4=0, ⎪⎪2

所以， ⎨ 解得b ＝－8，c ＝14. 2

b ⎪c -+2=0, ⎪4⎩

2

解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得

到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像.

由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x

2

－4) ＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，

∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数， ∴b ＝－8，c ＝14.

练习

1．选择题：

下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）

（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x 2．填空题

（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2) ，则m ＝，n ＝。

（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2) x －2m ，当m ＝时，函数图象的顶点在y 轴上；

当m ＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝时，函数图象经过原点.

（3）函数y ＝－3(x ＋2) 2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x 时，y 随着x 的增大而减小.

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象.

（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x－x 2.

4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小

（2）. x ≤2；（3）. -2≤x ≤1；值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）. x ≤-2；

（4）. 0≤x ≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式

1．一般式：y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k ).

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。当抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有a x 2＋bx ＋c ＝0. ①，并且方程①的解就是抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；

反过来，若抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立;

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）； 反过来，若抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立; （3）当Δ＜0时，抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；

反过来，若抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立.

于是，若抛物线y ＝a x 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0) ，B (x 2，0) ，则x 1，x 2

b c b c

是方程a x 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以x 1＋x 2＝-，x 1x 2＝，即＝－(x 1＋x 2) ， ＝x 1x 2.

a a a a

b c

所以，y ＝a x 2＋bx ＋c ＝a (x 2+x +)= a[x 2－(x 1＋x 2) x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1)(x －x 2).

a a

结论：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0) ，B (x 2，0) 两点， 则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)

3．交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式.

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2.

又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1. ∴顶点坐标是（1，2）.

设该二次函数的解析式为y =a (x -2) 2+1(a

∴二次函数解析式为y =-2(x -2) 2+1，即y ＝－2x 2＋8x －7

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离

等于2，求此二次函数的表达式.

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，

-12a 2-4a 22

=-4a ， 展开，得：y ＝a x ＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为

4a

1

由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝±

2.

1313

所以，二次函数的表达式为y ＝x 2+x -，或y ＝－x 2-x +

2222.

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，

∴对称轴为直线x ＝－1. 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2.

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1) 2＋2，或y ＝a (x ＋1) 2－2， 由于函数图象过点(1，0) ，

∴0＝a (1＋1) 2＋2，或0＝a (1＋1) 2－2.

11

∴a ＝－，或a ＝

22.

11

所以，所求的二次函数为y ＝－(x ＋1) 2＋2，或y ＝(x ＋1) 2－2.

22

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此

二次函数的表达式.

解：设二次函数为y =ax 2+bx +c （a ≠0）

由函数图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，

⎧a -b +c =-22⎧a =-2⎪⎪

c =-8可得⎨，解得⎨b =12故所求二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8 ⎪4a +2b +c =8⎪c =-8⎩⎩练习

1. 选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是( )个

1

（2）函数y ＝－ (x ＋1) 2＋2的顶点坐标是（ ）

2

（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2. 填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0) 和(2，0) ，则该 二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) .

（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的 距离为.

3. 据下列条件，求二次函数解析式

（1）图象经过点(1，－2) ，(0，－3) ，(－1，－6) ； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11) ；

(3）函数图象与x 轴交于两点(12，0) 和(1＋2，0) ，并与y 轴交于(0,-2)

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

例1求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位. 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为y ＝2(x －1) 2－1，其顶点坐标为(1，－1) 。 （1）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2) ，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x －3) 2－2. （2）把函数y ＝2(x －1) 2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，故平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y ＝2(x ＋1) 2＋2. 2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题. 图2.2－8 图2.2－7

例2求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象 对应函数解析式：

（1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1. 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线 x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状.

由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为A 1(－3，1) ，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3) 2－1，即y ＝2x 2＋12x ＋17.

（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状.

由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1) 2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为B (1，3) ，且开口向下，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1) 2＋3，即y ＝－2x 2＋4x ＋1. 练习

（1）把函数y ＝－(x －1) 2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（ ）

（A ）y ＝ (x ＋1) 2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1) 2＋1 （C ）y ＝－(x －3) 2＋4 （D ）y ＝－(x －3) 2＋1

（2）函数y ＝2(x －1) 2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）

（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x 2+2xy +y 2+x +y +6=0是一个含有两个未知数, 并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程, 这样的方程叫做二元二次方程。其中x 2, 2xy , y 2叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6叫做常数项.

22

⎧x 2-4y 2+x +3y -1=0, ⎧⎪x +y =20,

我们看下面的两个方程组：⎨ ⎨22

2x -y -1=0; ⎪⎩⎩x -5xy +6y =0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.

⎧x 2+4y 2-4=0,

例1 解方程组⎨

⎩x -2y -2=0.

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式。注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题.

解：由②, 得x ＝2y ＋2， ③

把③代入①, 整理, 得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1) ＝0。解得y 1＝0，y 2＝－1 把y 1＝0代入③, 得x 1＝2；把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0

⎧x =2, ⎧x 2=0,

所以原方程组的解是⎨1；⎨

⎩y 1=0，⎩y 2=-1.

⎧x +y =7,

例2解方程组⎨

⎩xy =12.

解法一：由①，得x =7-y . ③

把③代入②，整理，得y 2-7y +12=0 解这个方程，得y 1=3, y 2=4

把y 1=3代入③，得x 1=4；把y 2=4代入③，得x 2=3

⎧x 1=4, ⎧x 2=3,

所以原方程的解是⎨；⎨

y =3，y =4. ⎩1⎩2

解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系， 把x , y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来 求x , y . 这个方程组的x , y 是一元二次方程z 2-7z -12=0的两个根， 解这个方程，得z =3，或z =4.

⎧x =4, ⎧x 2=3,

所以原方程组的解是⎨1；⎨

⎩y 1=3; ⎩y 2=4.

练习

⎧x 2+y 2=13,

1．下列各组中的值是不是方程组⎨的解?

x +y =5⎩

⎧x =2, ⎧x =3, ⎧x =1, ⎧x =-2, （1）⎨ （2）⎨ （3）⎨ （4）⎨

⎩y =3; ⎩y =2; ⎩y =4; ⎩y =-3;

2．解下列方程组:

⎧x 2y 22

⎧⎧y =x +5, ⎧x +y =3, =1, ⎪y =2x , ⎪+

（1）⎨2（2）⎨（3）⎨5（4）⎨2 422

xy =-10; ⎪⎩⎩x +y =625; ⎩x +y =8. ⎪y =x -3;

⎩

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y ＝x 2－

x －6的对应值表与图象如下：

对应值表及函数图象(如图2.3－1)

可知

当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x ＝6＝0； 当x ＜－2，或x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0； 当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0.

图2.3－1

这就是说，如果抛物线y = x －x －6与x 轴的交点是(－

2，0) 与(3，0) ，那么一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是x 1＝－2，x 2＝3；

同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x 2－x －6＞0的解是x ＜－2，或x ＞3；

一元二次不等式x 2－x －6＜0的解是－2＜x ＜3.

上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0).

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解.

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0) ，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示) ，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解.

2

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0) 和(x 2，0) ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2) ，由图2.3－2①可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜x ＜x 2.

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为

2a

b

b

x ≠－ ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解.

2a

（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解. 例3 解不等式：

（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0；

（4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0 解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1. ∴不等式的解为－3≤x ≤1 （2）整理，得x 2－x －6＞0

∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为x 1＝－2，x 2＝3。

∴原不等式的解为x ＜－2，或x ＞3

（3）整理，得(2x＋1) 2≥0。 上式对任意实数x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数

（4）整理，得(x －3) 2≤0

由于当x ＝3时，(x －3) 2＝0成立；

而对任意的实数x ，(x －3) 2＜0都不成立， ∴原不等式的解为x ＝3

（5）整理，得x 2－x ＋4＞0. Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数 例4已知不等式ax 2+bx +c 3求 不等式bx 2+ax +c >0的解

解：由不等式ax 2+bx +c 3，可知 a

b c b c

=6，即=-5, =6 ∴-=5,

a a a a .

b c

由于a 0可变为x 2+x +

a a

即－5x 2+x +60,

6

所以，不等式bx 2+ax -c >0的解是x ＜－1，或x ＞ .

5

练习

1．解下列不等式：

22

（1）3x －x －4＞0；（2）x －x －12≤0；

（3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0.

2. 解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）.

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。

在一张方格纸上，我们作平行线l 1, l 2, l 3（如图3.1-1），直线a 交l 1, l 2, l 3于点A , B , C ，AB =2, BC =3，

' 不难发现另作直线b 交l 1, l 2, l 3于点A ' , B ' , C ，

A ' B ' A B 2

==. B ' C ' B C 3图3.1-1

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

AB DE AB DE

==如图3.1-2，l 1//l 2//l 3，有。当然，也可以得出。在运用该定理解决BC EF AC DF

问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。

例1 如图3.1-2， l 1//l 2//l 3，且AB =2, BC =3, DF =4, 求DE , EF 。解: l 1//l2//l3, ∴

AB DE 228312

==, ∴DE =DF =, EF =DF =. BC EF 32+352+35

例2 在∆ABC 中，D , E 为边AB , AC 上的点，DE //BC ，

AD AE DE ==求证： AB AC BC

图

3.1-2

证明（1） DE //BC , ∴∠ADE =∠ABC , ∠AED =∠ACB ,

AD AE DE

==. AB AC BC

证明（2）如图3.1-3，过A 作直线l //BC ，

AD AE

= l //DE //BC , ∴。 AB AC

过E 作EF //AB 交AB 于D ，得□BDEF , 因而DE =BF .

图

3.1-3 AD AE DE AE BF DE

==. EF //AB , ∴==. ∴

AB AC BC AC BC BC

例3 已知∆ABC ，D 在AC 上，AD :DC =2:1，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上。

解设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作EG //AC 交BD 于G 。

∴∆ADE ∽∆ABC ，∴

EG //AC , EF =FC ，∴∆EGF ≅∆CDF ，且EG =DC ，

11BE EG 1AD , EG =AD , ∆BEG ~∆BAD ，且==, 22BA AD 2

∴E 为AB 的中点

可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上

AB BD

=例4. 在∆ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，求证： AC DC

证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，

BA BD

AD //CE , =,

AE DC ∴EG //

图3.1-4

AD 平分∠BAC , ∴∠BAD =∠CAD 由AD //CE 知, ∠BAD =∠E , ∠DAC =∠ACE

∴∠ACE =∠E , ∴AC =AE ∴

图3.1-5

AB BD

= AC DC

例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）

练习 图3.1-6 图3.1-7 图3.1-8

1．如图3.1-6，l 1//l 2//l 3，下列比例式正确的是（ ） A ．

AD CE AD BC CE AD AF BE

==== B． C． D. DF BC BE AF DF BC DF CE

2．如图3.1-7，DE //BC , EF //AB , AD =5cm , DB =3cm , FC =2cm , 求BF . 3．如图，在∆ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长。 4．如图，在∆ABC 中，∠BAC 的外角平分线AD

交BC 的延长线于点D ，求证：

AB BD

= AC DC .

图

3.1-9

5．如图，在∆ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F. 求证：

DF AC

= EF AB .

图3.1-10

3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？

∠BAC =∠CDB ，∠DAC =∠CBD 。 例5如图3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，求证：证明:在∆OAB 与∆ODC 中，∠BAO =∠CDO , ∠AOB =∠DOC

∴∆OAB ∽∆ODC ，∴

OA OD OA OB

==，即 OB OC OD OC

又∆OAD 与∆OBC 中，∠AOD =∠BOC ， ∴∆AOD ∽∆BOC ， ∴∠DAC =∠CBD

图3.1-11

例6如图3.1-12, 在R t ∆ABC 中，∠BAC 为直角，AD ⊥BC 于D

求证：（1）AB 2=BD ∙BC ，AC 2=CD ∙BC ； （2）AD 2=BD ∙CD

证明（1）在R t ∆BAC 和R t ∆BDA 中，

∠ADB =∠CAB =90

∴

︒

图3.1-12

, ∠B =∠B , ∴∆BAC ∽∆BDA

BA BC

=, 即AB 2=BD ∙BC 。 同理可证得AC 2=CD ∙BC BD BA

在R t ∆ABD 和R t ∆CAD 中，∠ADB =∠CDA =90︒

∴R t ∆ABD ∽R t ∆CAD , ∴

, ∠BAD =90︒-∠CAD ,

AD DC

=, 即AD 2=BD ∙DC BD AD

我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用

AE AF

=例7在∆ABC 中，AD ⊥BC 于D , DE ⊥AB 于E , DF ⊥AC 于F , 求证： AB AC

证明: AD ⊥BC 于D , ∴∆ADB 为直角三角形， 又DE ⊥AB 于E ,

由射影定理，知AD 2=AE ∙AB 同理可得AD 2=AF ∙AC 。∴

AE AF

= AB AC

图3.1-13

练习

1.D 是∆ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E 。已知AD ：DB =2：3，则

S ∆AD E :S 四边形BCED 等于（ ）

A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:21

2. 若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段。这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________

3. 已知：∆ABC 的三边长分别是3，4，5，与其相似的∆A , B , C , 的最大边长是15，求:S ∆ABC

3．2．1 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1

图3.2-2

图

3.2-3

如图3.2-1 ，在三角形∆ABC 中，有三条边AB , BC , CA ，三个角∠A , ∠B , ∠C ，三个顶点

A , B , C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1

已知:D 、E 、F 分别为∆ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证:AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1 证明连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，

1E =， E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且D D 、

2

∴∆GDE ∽∆GAB ，且相似比为1：2，

∴AG =2GD , BG =2GE

图3.2-4

AG ' =2G ' D , CG ' =2G ' F . 设AD 、CF 交于点G ' ，同理可得，

则G 与G ' 重合，∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，它

到三角形的三边的距离相等. （如图3.2-5）

例2已知∆ABC 的三边长分别为BC =a , AC =b , AB =c ，I 为∆ABC 的内心，且I 在∆ABC

、A C 、A B 的边B C 上的射影分别为D 、E 、F ，求证：

b +c -a

AE =AF =

2

证明:作∆ABC 的内切圆，

则D 、E 、F 分别为内切圆在三边上的切点，

图

AE , AF 为圆的从同一点作的两条切线， ∴AE =AF ，

同理，BD=BF，CD=CE

∴c +b -a =AF +BF +AE +CE -BD -CD =AF +AE =2AF =2AE

b +c -a

即AE =AF =

2

图例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形

已知:O 为∆ABC 的重心和内心 求证:∆ABC 为等边三角形

证明:如图，连AO 并延长交BC 于D O 为三角形的内心，故AD 平分∠BAC ， AB BD ∴=（角平分线性质定理） AC DC

O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC AB ∴=1，即AB =AC AC

图

3.2-7 同理可得，AB =BC

∴∆ABC 为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. （如图3.2-8）

例4求证：三角形的三条高交于一点

图

已知:∆ABC 中，AD ⊥BC 于D , BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H 点 求证:CH ⊥AB

证明:以CH 为直径作圆，

AD ⊥BC 于D , BE ⊥AC 于E ,

∴∠HDC =∠HEC =90︒

∴D 、E 在以CH 为直径的圆上，∴∠FCB =∠DEH 同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，

可得∠BED =∠BAD 。∴∠BAD =∠BCF ，

又∆ABD 与∆BCF 有公共角∠DBF ，∠BFC =∠ADB =90︒，即CH ⊥AB

过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是∆ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的 交点.

练习

1. 求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

2．（1）若∆ABC 的面积为S ，且三边长分别为a 、b 、c ，则∆的内切圆的半径是。并请说明理由

（2）若R t ∆三边长分别为a 、b 、c （其中c 为斜边长），则∆的内切圆的半径是。 并请说明理由

3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系

设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？

图

3.3-2

图

3.3-1

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d >r 时，直线和圆相离，如圆O 与直线l 1；当圆心到直线的距离d =r 时，直线和圆相切，如圆O 与直线l 2；当圆心到直线的距离d

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B. 若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB . 且在

Rt V OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾

AB 2

) 股定理，有r 2-d 2=(2

图3.3-5 图

3.3-4 图

3.3-3

OA ⊥PA . ，PA , PB 为圆O 的切线，当直线与圆相切时，如图3.3-3，可得PA =PB ，且在Rt ∆POA

中，PO 2=PA 2+OA 2.

如图3.3-4，PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得∆PAT ~∆PTB ，因而

PT 2=PA ⋅PB .

例1如图3.3-5，若⊙O 的半径OB =5cm，弦AB =6cm，D 是弧AB 的中点，求 弦BD 的长度.

解:连结OD ，交AB 于点E.

1

D 是弧AB 的中点,O 是圆心，∴OD ⊥AB , BE =AE =AB =3cm 。

2

在Rt ∆BOE 中，OB =5cm,BE

=3cm,∴OE 4cm .

OD =5cm , ∴DE =1cm . 在Rt ∆B DE 中，BE =3cm,DE

=1cm,∴BD =.

例2若圆的两条平行弦的长度分别为6和46，且这两条线的距离为3, 求该圆的半径.

解:设圆的半径为r ，分两种情况（如图3.3-6）： ①若O 在两条平行线的外侧，

如图（1），AB =6，CD =4，则由OM -ON =3，

3，解得r =5

图3.3-6

（2）若O 在两条平行线的内侧（含线上），AB =6，CD =4， 则由OM +ON =3，得r 2-24+r 2-9=3，无解. 综上可得，圆的半径为5.

设圆O 1与圆O 2半径分别为R , r (R ≥r ) ，它们可能有哪几种位置关系？

图3.3-8

图

3.3-7

观察图3.3-7，两圆的圆心距为O 1O 2，不难发现：当O 1O 2=R -r 时，两圆相内切，如图（1）；当O 1O 2=R +r 时，两圆相外切，如图（2）；当O 1O 2

当R -r ≤OO ；当O 1O 2>R +r 时，两圆相外切，如图（5）. 12≤R +r 时，两圆相交，如图（4）

例3设圆O 1与圆O 2的半径分别为3和2，O 1O 2=4，A , B 为两圆的交点， 试求两圆的公共弦AB 的长度.

AB 的中点， 解:连AB 交O 1O 2于C ，则OO 12⊥AB ，且C 为

设AC =

x ，则O 1C =O 2C =

O 1O 2==4，

解得x =

8.

.

故弦AB

的长为2x =

练习

1. 如图3.3-9，⊙O 的半径为17cm ，弦AB =30cm，AB 所对的劣弧和 优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长.

2. 已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB //CD ，AB =8cm,CD =6cm, ⊙O 的 半径等于5cm ，求梯形ABCD 的面积.

3. 如图3.3-10，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =1cm , EB =5cm , ∠DEB =60o , 求

图

3.3-9

CD 长.

图3.3-10

4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.