大学数学课后习题答案

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(1,1),(0,0),(1,1)}

5. （1）{x|x23,xZ} （2）{x|xx120} （3）{(x,y)|yx,yx} 6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3） （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6） （7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6} 7.

2

3

AABBA(AB)B((AA)(AB))B((AB))B(AB)B(AB)(BB)(AB)UAB

8. （1）(5,5) （2）(2,0) （3）(,3][1,) （4）(1,2] （5）[4,) （6）(,4)

9. （1）AB{1}；AB[0,3]；AB[0,1)． （2）AB[2,4]；AB[1,4]；AB[1,2)． 10. （1）(,) （2）(,2)(2,)．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域[1,1]上，yxxyx2 12. （1）(,2)(2,2)(2,) （2）(,1][1,) （3）(1,1]

35223252

（4）(,) （5）(2,2) （6）[1,5] （7）(



2

2k,



2

2(k1))，k0,1,2, （8）(2,1)(1,1)(1,)

（9）(,2)(3,) （10）[2,4]

13（1）f(0)023055；f(1)123151；

f(1)(1)23(1)57；f(x)(x)23(x)5x23x5； f()()3

1x1x

2

113

525． xxx

14. f(x)f(x11)(x1)22(x1)3x24； f(x1)(x1)24x22x3．

sin()

2，f(0)011，f()1． 15. f()

22222



x2x2x21

16. xD(,)，有f(x)1112． 222

1x1x1x

17. （1）单调递减 （2）(,2]上单调递增；[2,)上单调递减 （3）(,1]单调递减；[1,)上单调递增 （4）单调递增 （5）(



2

k,



2

k)（k0,1,2,）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数 19. （1）对定义域内的任意x，因为F(x)函数；

（2）对定义域内的任意x，因G(x)所以G(x)是偶函数．

20. （1） （2）2 （3） （4）2

21. （1）因为x(,)，有f(x2)f(x)f(2)成立，令x1，则有

1

[f(x)f(x)]F(x)，所以F(x)是偶2

11

[f(x)f(x)][f(x)f(x)]G(x)，22

f(1)f(1)f(2)，又因为f(x)是(,)内的奇函数，所以f(1)f(1)，所以f(2)2f(1)2a，又f(5)f(3)f(2)(f(1)f(2))f(2)f(1)2f(2)，所以

f(5)5a．

（2）因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(x2)f(x)，又已知

f(x2)f(x)f(2)，所以f(2)0，由（1）知f(2)2a，所以a0．

2

22. （1）yarcsinu，u1x （2）y，ulnv，v

x

w，

2

（3）yu，u2v，vcosx （4）yeu，uarctanv，v

w1x 23. （1）y

1x1b

x （2）yex1 （3）yx2 （4）y（x1）

1xkk

24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0 2．(1)3 (2)2 (3)0 (4)  (5) 

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

1limnn

n21

 n2limnn

4. 根据定义证明：

1

(1)yxcos当x0时为无穷小；

x证明：0,,当x,xcos(2)y

1x

当x1时为无穷大. x

1

x x

证明：M0,M1,当x,5. 求下列极限：

（1）1 （2）0 6. 计算下列极限： （1）0 （2）

1 2

x111

1M11M xxx

（3）

2

（4）1 2

7. 计算下列极限：

（1）4 （2）

1

（3）2 （4）

31

（5） （6）

4（7）-1 （8）

x1,x0

x0，讨论函数在点x0时的极限情况？ 8. 设f(x)0,

x1,x0

解：lim-f(x)1,lim-f(x)1,f(0)0，所以f(x)在x0不存在极限。

x0

x0

x2axb

5，求a，b 9. 已知lim

x11x

x2axb

5得解：由已知可知：ab10,得到ab1,代入lim

x11x

x2(b1)xb(xb)(x1)

limlim1b5，得b6,a7 x1x11x1x

10. 计算下列极限：

lim

xcosx

lim

x0

x12

x2

（1）

x0

2

tanxsinx1cosxx21

limlim（2）lim

x0x0x2cosxx02x2cosx2x3tan2x22x2

lim22 （3）lim2x0x0xx

（4）limx0

2cosx1cosxsinx2

limlimx08 sin2x(2cosx)sin2xx0222sinxcosx

x

x11

1x2

（5）limlim1

xx1x

x1

e

1x

（6）lim

xx1e

13x（7）limlim1

x2xxx2

（8）lim1

x0



x2

x1x

x

x(x2)2

1

 e

e



12

x2

e （9）lim

xx21

x

（10）lim

sinxsin1cosx

limcos1

x1x1x11

1cosxx2

lim0 （11）lim

x0x02sinxsinx

lim(1x)tan

x

2

（12）

x1

lim(1x)

x1

12lim

xx1x

cossin

222

sin

x

sin3x2sinx3

 （13）lim254sinxx

2

（14） lim

x

cotxx



2

2

1

111存在极限。 1212212n

111111提示： 2n2n

121222122

11. 证明：数列xn

111

12. 求极限limn222。 nnn2nn

提示：

nn11nn1

n22222

nnnnnnn2

2n

13. 求lim。

nn!

2n2 提示：n足够大时

n!n

1c

14. 设xn1(xn)（n1,2,），已知常数c0且x10，证明limxn．

n2xn

提示：首先证明数列{xn}收敛．

因为c0，x10，所以xn0（n1,2,），则对任意的n，有

1cc

xn1(xn)xnc

2xnxn

这说明数列{xn}有下界；

1c1cxn

又xn1xn(xn)xn0，即数列{xn}单调递减，从而数列{xn}

2xn2xn

收敛．

设limxna，对等式xn1

n

2

1c1c

(xn)两边同时取极限，得a(a)，解之得2xn2a

n

a．因为xn0（n1,2,），所以由保号性知a0，所以limxnc． 15. 求下列函数的间断点，并判断类型：

1

（1）f(x)2 x1第二类间断点

x1（2）f(x)e x0第二类间断点

1

x0 第一类间断点 x

1

（4）（4）f(x)xcos2 x0为可去间断点

x

16. 讨论下列函数在分段点处的连续性：

1x

（3）f(x)arctan

x1,x1

（1）f(x) 不连续

3x,x1

x21

,x1

（2）f(x)x1 不连续

3,limf(x)0f(1)x1x1

sinx

,x0

（3）f(x)x 不连续

x02,

x21,x0

（4）f(x) 连续

2x1,x0

2x,0x1

17. 讨论函数f(x)在[0,2]上的连续性。

3x,1x2解：

x1

limf(x)2limf(x)f(1)

x1

，所以f(x)在x1连续，又f(x)在[0,1)(1,2]

连续，所以f(x)在[0,2]连续。

18.证明方程x53x1在1与2之间至少有一个实根。

证明:令f(x)x53x1,则f(1)0,f(2)0,f(x)为连续函数，由介值定理可得，

f(x)x53x1在1到2之间至少有一个实根。

19. 证明曲线yx43x27x10在x1与x2之间与x轴至少有一个交点。 提示：介值定理

20.设f(x)ex2，证明：存在(0,2)，使得e2成立。 提示：f(2)0，f(0)0,介值定理

21.已知函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a)、f(b)存在，证明：f(x)在(a,b)有界。

f(a),xa

提示：令F(x)f(x),xa,b,F(x)在a,b连续，所以f(x)在a,b连续



f(b),xb

习题3

1.用导数定义求下列函数的导数：

（1）f(x)2x2x （2）f(x)lnx

1

答案：(1) 4x1 （2）

x

2.已知某一物体的运动方程为s3t2，求该物体在t1到t1t这段时间内的平均速度，并求出当t分别取0.1，0.01时的平均速度及t1时的瞬时速度．

s(1t)s(1)3(1t)23

3t6 解：

tt

t0.1时，=6.3t0.01时，=6.03t1时，瞬时速度为lim6

t0

3.讨论下列函数在x0处的可到性与连续性

2x,x0

（1）f(x)sinx （2）f(x)x

xe,x0

解：（1）limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

x0

lim

x0

sinxf(x)-f(0)

lim极限不存在，f(x)在x0不可导 x0xx

x0

（2）limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

f(x)-f(0)xexf(x)-f(0)x2

limlim=1 limlim=0 x0x0x0x0xxxx

极限不存在，f(x)在x0不可导

1

xsin,x0

4.讨论函数f(x)，在x0处的连续性与可导性． x

x00,

解：limf(x)0f(0),f(x)在x0连续

x0

lim

x0

f(x)-f(0)

limx0x

xsinx

1

极限不存在，f(x)在x0不可导

1sin2x,x0

5.试确定常数a，b，使函数f(x)，在x0处可导．

abx,x0

解：由已知得limf(x)0f(0)，故a1

x0

f(x)-f(0)f(x)-f(0)

lim 

x0x0xxbxsin2x故lim= lim x0xx0xx0可导，lim

从而 b2

6.求曲线yx2在点(8,4)处的切线方程和法线方程．

解：yx3

7.求下列函数的导数：

1

（1）y2x3x1 （2）yx2

x（3）yaxxa （4）yexlnx （5）ytanxsecx （6）ysinxtanx （7）y

1sinx

（8）yln(xx2)

1sinx

（9）yx2lnxcosx （10）ytan2x （11）ylnx2(lnx)2 （12）ysinnxcosnx

1211

答案：16x12(2)x3(3)lnxxxx1(4)exlnxex

x3x

(5)sec2xsecxtanx(6)sinx(1sec2x)(7)

2cosx

2

(1

sinx)

xlnxcosxxcosxx2lnxsinx

2

(10)2tanxsec2x(11)(1lnx)(12)nsinn1xcosxnsinnx

x

8.求下列函数的导数：

（1）yarcsinxarccosx （2）yxarcsinx （3）y

arcsinx1

（4）y

2xx

（5）yloga(x23x2) （6）y

x x

（7）ysin2xcos2x （8）yln(secxtanx)

1x2

（9）yln （10）y(sinx)cosx

2

1x

答案：（）10（2）arcsinx



arcsinx

x2

(4)x(1x)

2



32

2x3

(5)2

(x3x2)lna

(6)(1x)(1x)

cos2x

(sinxlnsinx)

sinx



32



12

4x

(7)2cos4x(8)secx(9)

1x4

(10)(sinx)

cosx

9.求下列函数的高阶导数： （1）yln(1x2)，求y （2）ysin3xe2x，求y （3）yx2cosx，求y(30) （4）y

1

，求y(n) 1x

2(1x2)2x2x

答案：1(2)12cos3xe5sin3xe

(1x2)2

(4)n!

n

(1x)

(3)870cosx60xsinxx2cosx

10.求下列函数的微分：

1

（1）y3x （2）yxcos2x

x（3）y

xx21

（4）yln2(1x)

（5）yarcsinx2 （6）ytan2(2x21)

1x222x

（7）y （8）yxe 2

1x

（9）yln2(1sin2x) （10）ye13xtan2x

答案：(1)dy(

(3)dy

1(1

x)

322

1dx(2)dy(cos2x2xsin2x)dx x2dx(4)dy(

2

ln(1x))dx x1

(5)dy(dx(6)dy8xtan(2x21)sec2(2x21)dx

2x

(7)dy()dx8dy(2xe2x(1x))dx 4

1x4cos2x

(9)dy(ln(1sin2x))dx(10)dy(e13x(2sec22x3tan2x))dx

1sin2x

11.计算下列各题的近似值：

（1）cos29 （2）25.04 （3）tan136 （4）e1.01

12.设扇形的圆心角60，半径r100cm，如果r不变，减少0.5，问扇形的面积约改变多少？如果不变，r增加1cm，问扇形的面积改变多少？

习题4

1.证明方程5x4x10在0与1之间至少有一个实根.

4

111

解：令f(x)5x44x1，f(0)10,f()0

216

1

故(0,)使得f()0，从而结论成立。

2

2.不求导数，判断函数f(x)x1x2x3的导数有几个根，并确定其范围。 答案：由于f(1)f(2)f(3)0，故f(x)在1,2，2,3上满足罗尔中值定理的条件。因此，在1,2内至少存在一点1，使得f(1)0；在2,3内至少存在一点2，使得

f(2)0。又f(x)是三次多项式，故f(x)为二次多项式，只能有两个实根，分别在区

间1,2和2,3内。

3.证明方程16x64x310在0,1内不可能有两个不相等的实根。

4

解：假设16x464x310在(0,1)内有两个不相等的实根x1,x2则(x1,x2)使得f()0,而f(x)64x640,x(0,1)矛盾从而假设不成立

16x464x310在(0,1)内不可能两个不相等的实根x1,x2。

4.设f(x)在(a,b)内有二阶导数，且

f(x1)f(x2)f(x3)

其中，ax1x2x3b，证明：在(x1,x3)内至少有一点，使得f()0。

解：由于f(x1)f(x2)f(x3)

由罗尔中值定理可知1(x1,x2),2(x2,x3),f(1)f(2)0 再由罗尔中值定理可得(1，2)

5.利用洛必答法则求下列极限： （1）lim

f()0

lnlnxsin5x

（2）lim

x0tan3x（3）limex1

x0sinx （5）lim

tanxx

x0

x2sinx

（7）lim

sinxsinaxaxa （9）lim2

1x0



x21x1 （11）2x

xlimarctanx x

（13）xlim

ln(1e)

5x

（15）limtan

tanx

2x

x

4

xx

（4）limxln(1x)xx

2 6）xlim0

xnlnx（n0） （8）limxln(1x)

x0x

2 1

（10）limarcsinxxx0x tanx

（12）lim1

x0x



1

（14）lime(1x)x

x0x

（16）limsecxtanx

x



2

（

答案:(1) (7)cos

53

(2)0(3)1(4)0(5)

1

1

(9)1(10)e42

(8)

1

(6)03

2

(11)



(12)1(13)

1

(14)0(15)1(16)05

1

tln

arcsinxlimln令x=arcsinxlim

x0x2t0sin2tx

1

arcsinxx2

)ee

x0xt1costlnlimsinttcostlimlimt0sin2tt02sintcostt02tsin2tcost

sinttcost1costcosttsint1limlimlim32t0t0t02tcost6t6(10)lim(arcsinxx21lim()x0x6

ln(1x)(axbx2)

2。 6.确定常数a，b，使得lim2x0x

1

1

(a2bx)

ln(1x)(axbx)解：limlim2x0x0x2x

由上式可知1a0,a1

112b(a2bx)

12b(1x)2limlim2

x0x02x22

5b

2

2

7.讨论下列函数的单调性：

（1）yx （2）yex1

答案：（1）函数yx的定义域为,。因此，y3x0，当x0时，y0；

3

3

x

2

当x0时，y0。故函数yx在定义域,上单调增加。

3

（2）函数yex1的定义域为,。由ye1，因为在0,内，y0，

x

x

x

所以函数yex1在0,上单调增加；又因为在,0内，y0，所以函数

yexx1在,0上单调减小。

8.确定函数f(x)2x9x12x3的增减区间.

3

2

答案：函数的定义域为,，求函数的导数，有

f(x)6x218x126(x1)(x2)

解方程f(x)0，得x11，x22。

在区间,1内，f(x)0，因此函数f(x)在,1上单调增加； 在区间1,2内，f(x)0，因此函数f(x)在1,2上单调减小； 在区间2,内，f(x)0，因此函数f(x)在2,上单调增加。 9.证明不等式：sinxsinyxy。

提示：sinx=cosx,由拉格朗日中值定理sinxsiny

cos1,(x,y)

xy从而sinxsinyxy

3

10.求函数f(x)xx3的单调区间与极值。

2

答案：x0时，函数不可导；

2

x0时，f(x)1x

值情况见表：



13



x1

，令f(x)0，的驻点x1，则函数的单调区间与极x

极大值f(0)01

极小值f(1)

2

11.求函数f(x)(x2)(x1)极值点.

2

3

答案：f(x)=2(x+2)(x-1)33(x+2)2(x-1)2(x+2)(x-1)2(2x23x6)(5x4)(x+2)(x-1)2极大值f(-2)046293

极小值f()5

55

12.求函数f(x)x33x3在区间[3,]上的最大值、最小值.

32

答案：f(x)3x23极值点端点为x3,1,1,

32

315

f(3)15,f(1)5,f(1)1,f()

28

最大值为f(1)5，最小值为f(3)15

13.设f(x)x44x2，x3,3，求其单调区间、极值和最值

.

答案：f(x)4x(x22)





单调减区间

3,

单调增区间极大值f(0)0

极小值f(0,f0最大值f(3)f(3)45最小值f(0)f(f14.用薄钢板做一体积为V的无盖圆柱形桶，假定不计裁剪时的损耗，为了使得用去的材料最省，桶底直径与桶高的比例应为多少？

答案：设桶底半径为r,高为h,表面积为SV=r2h,Sr22rh消去h得

2V

Sr2,(0r)

r2V

S2r2

r

令S0，得到rrh2r:h2:1用料最省

习题5

1.已知h(x)是g(x)的一个原函数，则下面表达式中哪一个是正确的？ (A) h(x)dxg(x)c (B) g(x)dxh(x)c (C) h(x)dxg(x)c (D) g(x)dxh(x)c

答案：（B）是正确的

2.已知sinx是f(x)的一个原函数，求f(x)dx．

sinx是f(x)的一个原函数，则(sinx)=f(x),

答案：

f(x)f(x)CcosxC

3.求下列不定积分：

（1）xxdx （2）

1

dx 4（3）tdt （5）4tdt （7）sin3xdx （9） cosx1sinxdx （11）1a2x2

dx （13）12xx2

x(1x2)

dx （15）

dx

x(4x)

（17）(1x)lnxdx （19）exsinxdx 答案：

x

（4）1x3

x

4dx

（6）e2xdx （8）sin3xcosxdx10

）

（12

） （14） x x22 （16）5ttdt

（18）x2cosxdx （20）2xcosxdx （

35

(1)x3C(2)

5(6)

43

x4C(3)3

21

tC(4)x3lnxC(5)33

3

4t

Cln4

12x1

eC(7)cos3xC(8)23sin4x

C(9)ln(1sinx)C(10)2(ln4

x(11)arctanC(12)1)1)C

a1

(13）lnx2arctanxC(14)ln(x22)C

2

x21t1

（15）arcsinC(16)5(t)C

2ln5ln5x2x2

(17)(x)lnxxC(18)(x22)sinx2xcosxC

24x

e(sinxcosx)2xsinxln2cosx2x

(19)C(20)C

21(ln2)5

4

4.估计积分值(1sin2x)dx的范围．

4

答案：sinx(0,1),1sinx(1,2),故(1sin2x)dx(,2)

4

2

54

5.已知

sinx

是f(x)的一个原函数，求xf(x)dx． x

f(x)(

sinx

)x

sinxsinx

=cosx2Cxx

答案：

xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)

6.已知ex是f(x)的一个原函数，求不定积分xf(x)dx． 答案：

(ex)f(x),则f(x)ex

x

x

xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxe

120

eC

7.求下列定积分： （1）

03

xdx （2）(12x2)dx

11x3

dx （4）3tdt （3）210x

（5）

4

2

dx

（6）cosxdx

0xlnx

2

2



2

（7）cosxsinxdx （8）xx2dx

1

（9） 

2

1

1x12xx2

dx （10）dx220x3x(1x)

（11）xlnxdx （12）xsinxdx

1

2

（13）ecosxdx （14）x2exdx

1



x

e

322142

(2)(3)(4)(5)ln2(6)0433ln3137(7)(8)(231)(9)ln22arctan2

372

答案：

141(10)ln(11)2ln2(12)

232

ee1

(13)(14)ex(x22x2)

2

(1)

8.证明：如果函数f(x)是奇函数，即f(x)f(x)，则f(x)dx0

a

a

答案：



a

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx0

a

0aaa

1x

9.假设limxx

ax

tetdt，求常数a．

a

a

taa

由分步积分法得：tedt=aee



a1x答案：limtetdt得eaaeaea x

xa2

ax

10.设f(x)为连续函数，且f(x)sinx





f(x) dx， 求f(x)．

设cf(x) dx，f(x)sinxc



答案：





f(x) dx(sinxc) dx2cc



c

21

ba

11.设f(x)在[a,b]上有连续导数，且f(a)f(b)0，，求xf(x)f(x)dx． 12.计算定积分

1

1

xexdx． 12

1

答案：

1

11x11xx2

xedx=（-x）edx+（x）e1121222dx

11分步积分法=e12ee

22

1

2

13.求广义积分： （1）

2



111xdx

（2） cosdx2022xx(3x)x

答案：（1）2



1





11111

cosdx=2cosd=sin21 2xxxxx



020（2

）0

11ln3

2214.求由抛物线y3x2及直线y2x所围平面图形的面积．

答案：



1

-3

(3x22x)dx

习题6

1. 求下列微分方程的通解： (1) xy1y；

(2) (1x2)y2xy20； (3) (1ex)yyex；

y

y0． x

2.求下列微分方程的通解：

(4) xyxsin

(1) yxy4； (2) ycosxy(3) y

1

sin2x； 2

2

y(x1)3； x1

(4) y

xx

． y2

22(1x)

3.求下列微分方程满足约束条件的特解： (1) xyy0,y(1)1； (2) (x1)yyx(x1)(x2)． 4.求下列微分方程的通解： (1) y3y2y0； (2) y3y0； (3) y2yy0； (4) yyy0． 5.求下列微分方程的通解： (1) y6y9y2x2x3； (2) yy2yex； (3) y2y3y(x2)e3x； (4) y4y4ye2xsin5x； (5) y

dyx2y

e(1) dx

y0x0

1y

x2(2) 

y2,y3

x1x1

xy2y0

(3) 

y1,y2x1x1

7.求解微分方程y4yex．

8.求微分方程y2yy2ex的通解．

9.求微分方程yyxcosx的一个特解．

1. 求下列微分方程的通解：

(1) xy1y；

(2) (1x2)y2xy20；

(3) (1ex)yyex； (4) xyxsinyy0． x

2.求下列微分方程的通解：

(1) yxy4； (2) ycosxy

(3) y

(4) y1sin2x； 22y(x1)3； x1xxy． 22(1x2)

3.求下列微分方程满足约束条件的特解：

(1) xyy0,y(1)1；

(2) (x1)yyx(x1)(x2)．

4.求下列微分方程的通解：

(1) y3y2y0；

(2) y3y0；

(3) y2yy0；

(4) yyy0．

5.求下列微分方程的通解：

(1) y6y9y2xx3；

x(2) yy2ye； 2

(3) y2y3y(x2)e3x；

(4) y4y4ye2xsin5x；

(5) y

(6) y

6.求解下列初值问题： dyx2ye(1) dx y0x0

1yx2(2)  y2,y3x1x1

xy2y0(3)  y1,y2x1x1

7.求解微分方程y4ye．

8.求微分方程y2yy2ex的通解．

9.求微分方程yyxcosx的一个特解． x