等积变形习题

六年级奥数解析（七十）形体的等积变形

[ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ]

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《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。

在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。

本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：

物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1

【题目】：

在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？

【解析】：

这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）：

3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。

《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2

【题目】：

有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。

【解析】：

先求出倒入甲容器的水的体积：

3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）

再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深：

378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。

注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。

《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1

【题目】：

把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？

【解析】：

熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和： 19×5×3＋73＝628（立方厘米）

用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为：

628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。

《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2

【题目】：

在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。

【解析】：

圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）：

3.14×202×3＝3768（立方厘米）

所求钢材的长为：

3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。

《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1

【题目】：

有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。

【解析】：

要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。

由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为：

（1＋20％）：1＝6 ：5

则两个圆柱的底面积比为：62 ：52＝36 ：25

解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为：

50×36/25＝72（平方厘米）

则大圆柱体的高为：

360÷72＝5（厘米）

即小圆柱体的高也是5厘米，可以求出小圆柱体的体积为：

50×5＝250（立方厘米）。

解法二：等高的两个圆柱体的体积与底面积成正比例，即它们的体积比就等于它们的底面积之比：36 ：25

可以直接求出小圆柱体的体积为：

360÷36/25＝250（立方厘米）。

《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2

【题目】：

甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4 ：3，甲容器水深7厘米，乙容器水深3厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这是水深多少厘米？

【解析】：

当两个容器中水深相等时，容器中水的体积比就等于两个容器的底面积之比为： 4 ：3。

如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，则乙容器中1厘米深的水量就有3份。

甲容器中已有水量为：4×7＝28（份）

乙容器中已有水量为：3×3＝9（份）

假设后来注入两个容器中的水都是x 份，由题意可得：

（28＋x ）：（9＋x ）＝4 ：3

解比例得：x ＝48

所求水的深度为：

（28＋48）÷4＝19（厘米）。

等积变形练习题

1，一个盛水的圆柱形, 内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？

2, 在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?

3, 甲，乙两个容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？

4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥, 求这个圆锥的表面积和体积？

5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？

6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？

7. 有A.B 两个圆柱形容器，最初在容器A 里装有2升水，容器B 是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B 的底面半径为5厘米，那么A 的底面直径是多少厘米？

8. 将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？

9. 圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？

10. 棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？

11. 一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？

12. 一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡

13. 一个底面周长15.7m 高10m 的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m ？

14. 把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？

15. 正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少？ 奇妙的“等积变形”

江苏省淮安市新民路小学 单广红

江苏省淮安市武墩中心小学 高德洋

几何知识在小学阶段一向是学生学习的难点。高年级立体图形的表面积、体积的应用问题更主让学生望而却步。针对这种现象，迫使教者去思考: 如何在教学过程中化难为易，让学生不再惧怕数学中的几何问题。通过实践发现，“等积变形”可以减少计算上的繁琐、扫除理解上的障碍，用数学独有的内涵点燃学生的学习热情。下面就圆柱的表面积、体积的教学, 来谈谈奇妙的“等积变形”体现的“巧”。

一、剪拼变形，化繁为简巧计算

圆柱表面积的计算看似简单：只要求三个面的面积和就行了。实际在学习过程中正确率非常低, 有些学生分不清圆的周长和面积公式，在算侧面积时常会用“底面积×高”；有些学生好不容易列式正确, 但面对长长的三道算式（底面积计算、侧面积计算、底面积×2+侧面积）而“望式生叹”，动笔就错；就连很优秀的学生也不容易把几道式子都做正确。面对此景，我联想起学生五年级学习圆的面积公式推导时用“化曲为直”

的方法，索性引导学生动手操作, 去找出更快捷、简便的方法。学生迫不及待地动起手来，有了惊喜的发现：S 表=2r×(r+h)。操作思考思路如下图：

学会了如此解题后，大大提高了运算速度和正确率，现在的计算量只相当于原来的 。但要提醒学生注意, 这只适用于圆柱的表面积是由三个面组成, 遇其他情况要随机应变。

二、等积变通，移花接木巧变形

圆柱表面积通过“等积变形”简化了计算。实际，等积变形在体积计算中运用更加广泛。如最常见的测量土豆、石块等不规则物体的体积，只要在玻璃容器中放适量的水，然后完全浸没水中只要求出上升部份水的体积即可，本文不再细细赘述。下面举例来谈谈“移花接木”的变形方法计算有趣的饮料体积问题。 例 一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下), 这时上面空白部份深为2.5厘米, 已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗?

在处理这一题时，典型的教学方法是：把600毫升的饮料按10 ：2.5进行按比例分配，其中 即为饮料的体积。可是讲解后大部分学生仍面露茫然。笔者是这样处理的：出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快进入了探讨、争论的状态中去。一会儿，每个学生小脸争得红红，小手儿举得高高，发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部份的容积就也是一样大了，所以把前面不规则的空白部份换成后面的规则的空白部份，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：

所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升) 。把这位同学的思路用上面的图呈现出来，很快赢得了同学们的共鸣，学生感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣、简单。

三、拓展变式，异中求同巧联系

布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。比如在体积应用教学中，物体是否完全没入水中, 会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。

例 有一圆柱形的玻璃容器, 底面半径是10厘米, 高20分米, 水高8厘米, 在容器中垂直放入一底面直径为8厘米，高为30厘米的圆柱形物体, 这时的水高为多少厘米?

这类练习学生理解起来很困难, 如果我们借助媒体, 将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化, 可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容. 如图

演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化, 由左边的半径是10厘米, 高是8厘米的圆柱体变成了右面的底面是空心的圆柱了。由此不难理解列式:102×3.14×8÷〔3.14×102-3.14×(8÷2)2〕。借助媒体, 形象展示了变形过程，更有效的发现了规律的内在联系。

其实，“等积变形”在数学中的运用还有很多。数学学习很讲究一个“巧”字，有的问题解答的方法有很多，若找到了巧的方法不仅易懂，更节时、高效。同样在其他知识的教、学中，也要不断的研究、分析，探索其中规律，寻出解题捷径。

作者简介

单广红，女，党员，本科学历，中学高级教师。毕业于江苏省淮安师范学校。现任江苏省淮安市新民路小学教务副主任。论文《让“错误”演绎课堂的精彩》发表在国家级核心刊物《小学教学研究》上，还有几篇文章分别被《中小学教育》、《小学教学参考》（数学版）、《山西教育》录用。多篇文章在省市级评比中获奖。参加过淮安市青年教师“十项全能基本功大赛”获得“优秀选选手”光荣称号。曾被评为“十佳教师”“优秀共青团标兵”。在去年下乡支教中深受同行和学生的好评, 被区教育局表彰为“优秀支教工作者”。本人的座右铭是：只要努力，一切皆有可能！

圆柱与圆锥

奇妙的等积变形

数学课堂应帮助学生形成数学思想方法，提高学生的思维能力，从而提高课堂效率，减轻学生的学习负担。等积变形是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。生活中大量存在其身影。在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系，于是我们分层设计了以下三组题目，由易到难，不断充盈学生智慧的锦囊，化繁为简。

一、充分体会用等积变形的规律和特点解决问题。（叙述较明显的直柱体之间变形）

1．在一个长4米，宽3米，深2米的水池里装满水，将这个水池里的水全部抽到一个深2米的水池里时，水深1.5米，这个圆柱体水池的底面积是多少？(倒水问题)

这道题中液体的形状随着容器形状的改变而改变，此时虽然容器的形状不同，但两个水池所容纳水的体积是相等的。抓住等积变形V 长=V柱，这道题即能迎刃而解。类似的题目比比皆是，到处都有其身影。如:

2. 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？（熔铸问题）

此题抓住V 长+V正=V柱的等积变形，再配合逆向公式学以致用。

3. 有一个近似圆锥形的沙堆，底面周长是25.12米，高1.8米，用这堆沙在10米宽的公路上铺3厘米厚的路面，能铺多少米？（得数保留整数）（铺路问题）

此题叙述也比较直白，抓住V 锥=V长的等积变形。

布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。例如物体是否完全没入水中, 会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。

4. 在底面积是60平方分米的圆柱形容器里，注入4分米深的水。若把底面积是20平方分米，高是 3 分米的一个圆柱形铁棒竖直放在水中完全浸没。水面将上升多少分米？（完全浸没问题）

此题抓住V 柱棒=V升柱水的等积变形。由于学生具有五年级的知识经验好理解：如果完全浸没，浸没物体

=

V 上升水圆柱

V 3分米高圆柱铁棒

二、学会利用所学的知识用转化法解决稍复杂的等积变形。（叙述稍灵活一些的直柱体变形）

1. 、在底面积是60平方分米的圆柱形容器里，注入

4分米深的水。若把底面积是20平方分米，高是8分米的一个圆柱形铁棒竖直放在水中未完全浸没。水面将上升多少分米？（未完全浸没问题）

此题需要学生读懂题后，准确分析出来究竟抓住哪部分的体积变形后是相等的，与完全浸没进行区分。对于学生来说理解起来还是有困难的

, 如果我们借助媒体, 将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化, 可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容. 如图

V 水柱 = V 空心水柱

演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化, 由左边的底面积是60平方分米, 高是4分米深的圆柱体水柱变成了右面的底面是空心的圆柱水了。由此不难找到解题方法。由于借助媒体, 形象展示了变形过程，会更有效的发现规律的内在联系，解题方法多样化。（需配课件演示）

2、 一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下), 这时上面空白部分深为2.5厘米, 已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗? （饮料体积问题）

此题训练学生发挥想象用等积变形的思想把不规则图形转化为规则图形。出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快会进入探讨、争论的状态。他们会发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部分的容积就一样大了，所以把前面不规则的空白部分换成后面的规则的空白部分，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：（需配课件演示）

所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升) 。把这样的思路用上面的图呈现出来，利用移花接木的方法，学生会感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣和简单。

3、如下图，整个物体的体积相当于 蓝色部分体积的（ ）/（ ）。(组合图形)

此题训练学生运用等积变形的的方法把圆锥压扁变形为底面积和体积都相等的圆柱体，使变形后圆柱的高是圆锥高的1/3，进而灵活应用图形与知识间的关系和规律更加巧妙的找到答案。

三、拓展变形，异中求同巧联系（不规则图形）

例：如下图所示，有这样一段钢材，请计算出它的体积。（单位：厘米）

在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通过换角度、换方式，换叙述的方法进行变化，把新的和复杂的问题转化为已学或容易解决的问题，使知识得到内化和升华。

这是一个不规则的立体图形，不能直接求出体积。方法一:通过观察发现它是圆柱的一部分，可以用两个这样的钢材拼成一个圆柱，把不规则图形转化为规则图形。借助等积变形，先求出拼成的圆柱的体积，再除以2就求出这段钢材的体积。

转化为方法二：还可以利用分割法，用下面的圆柱体积+上面圆柱体积的一半。

方法三:还可利用平分线割补成规则的圆柱体。异中求同找到不规则图形与规则图形的联系与转化。 此处是否加题或改题。

其实，“等积变形”在数学中的运用还有很多。数学学习很讲究一个“巧”字，有的问题解答的方法有很多，若找到了巧的方法不仅易懂，更节时、高效。同样在其他知识的教学中，通过不断的研究、分析，探索其中规律，也会寻出解题捷径，实现轻负优质。