有限长圆柱体接触应力的光弹性解法_瞿志豪
第18卷 第2期2003年6月
实 验 力 学
JO U RN A L O F EX P ERIM EN T AL M ECHAN ICS
V o l. 18 No. 2
Jun. 2003
文章编号:1001-4888(2003) 02-0283-06
有限长圆柱体接触应力的光弹性解法
瞿志豪, 张杏耀
(上海应用技术学院, 上海200235)
摘要:对两个有限长, 外载荷又集中作用的圆柱体, 在接触面上的应力分布是不均匀的. 为了获得接触应力, 本文应用弹性力学的理论、光弹性应力分析方法和有限元计算概念, 提出了一种混合计算法. 最后给出一个应用实例, 讨论了某轧机轧辊的接触问题.
关键词:光弹性; 有限单元; 接触应力; 轧辊中图分类号:O346 文献标识码:A
1 引言
赫芝在得到二球状物接触的弹性力学解时, 导出了无限长辊状物的接触问题的弹性力学解. 其解可陈述为:当辊长为无限, 作用力为均布, 则二辊状物接触区域上的接触应力横向为
呈抛物线分布, 见图1示. 纵向为均匀, 其最大接触应力e q 及压扁宽度
a 计算式有
a =e q =
1212
(R 1+R 2) L 12c (K 1+K 2) R 1R 21/2
[1]
(1)
1/2
(2) (3)
i 2K i = (i =1, 2)
c E i
二个端面上. 于是, 对于这类辊子, 就不能直接简单地应用式(1) 、(2) 了. 2 有限长辊的接触应力的混合解法
但是, 对于有些精轧机[2], 其轧辊的辊径与辊长之比几乎接近1∶1, 且外作用力又集中在辊的
图2所示的为一有限长辊的接触应力分布模型, 其横切面是一个如图1所示的半椭圆抛物线. 纵切面是不均匀分布的连续曲线, 对应的压扁宽度也是连续曲线.
为了得到纵向压力分布曲线, 必须借用三维光弹性应力分析方法. 图3是某轧机的辊子排
收稿日期:2002-07-15
) , . .
实 验 力 学 (2003年) 第18卷 284
a -接触压扁宽度 e q -最大接触压力
图
1
图2
列情况, 表1、表2记录了实型与光弹性模型的一些分析参数.
对冻结应力后的轧辊模型进行沿压扁宽度切片, 切片厚度为t , 此时能获得如图4所示的应力等差线条纹. 由于辊子在冻结时是静态接触, 没有切向摩擦力, 则在接触面上任一点应力均处在主应力状态. 记为e q (接触正应力) , e y (横向正应力) , e x (纵向正应力) , 具体见图5所示
.
图3 1420平整薄板轧机轧辊排列图
表1
E (N /m 2)
实型模型
200×10925×106
_0. 30. 5
D 支(m m ) 100066. 67
D 中(mm ) 49032. 67表2
相似系数
K E
1. 25×10-4
图4 轧辊的等色线图
L 支(mm ) 100066. 67
L 中(mm ) 123582. 34
P (N ) 1000×104
100
e 0(N /m2条)
80×103
K L
6. 70×10-2
K R
6. 70×10-2
K a 0. 28
K e q 5. 30×10-4
K P
1. 00×10-5
第2期 瞿志豪等:有限长圆柱体接触应力的光弹性解法 285
图5 沿接触轴线方向的光弹性切片示意
图4所示的等差线条纹在坐标面(X , Y , O ) 上表示为
e x -e q =|n |e 0
式中“*”表示主应力为切片厚度t 上的平均.
*
*
[3]
(4)
为了分离这个主应力差值, 考虑把轧辊看作在轴向横截面和过接轴中心平面为平面应变, 引入广义虎克定律, 经整理后有下式关系:
*e q
=C 1(常数) e x
(5)
将式(5) 代入式(4) , 整理后有:
*e q =C 2|n |e 0
(6)
*
因为e q ≠e q 0. e q 0是横截面上的最大接触压力(相当于椭圆的长半轴, 见图1). 但平均压应力*
q 与e q 0存在一个比例关系, 即e
q 0*=C 3e q
(7)
将式(7) 代入(6) 式, 并令a =C 2C 3, 则有:
e q 0=a |n |e 0
(8)
a 为接触正压应力的放大系数, 其值由轧辊接触应力分布体积等于总的压靠外作用力P 来确定. 求a 值, 必须采用有限分段的数值求和方法, 假定把轴分成若干段, 其中第i 个单元体积为:
v *i =
其中:
i =T
[(T i L i +42U i L i ) |n |e 0+22a i T i L i +23U i T i L i ]3
(9)
i +1i 0
L i U i =
i +
1
i
2L i
由边界条件得到:
∑v
i =n
i
=a ∑v i =P
*
i =1
n
(10)
实 验 力 学 (2003年) 第18卷 286
将式(10) 代入式(8) , 推得:
e q 0=-n
*
i
|n |e 0(11)
∑v
i =1
由上式看到, 若将单元分得越细, 则描述的轴向压力分布曲线越精确. 若连接这些点, 就获得了e q 0的分布规律. 根据在轧辊接触区域内的平面应变假设, 可计算出在接触区中心上的另二个主应力e X , e Y 了.
3 应力转换相似准则及转换误差补偿
应用光弹性分析所得的接触应力都是模型值, 折算到辊子的实型上, 要应用相似转换准则[4], 即:
K a =
q
=K a
P R
K L K P E K L K 1/2
(12)
1/2
(13) (14)
K K =K E (设K _=1)
式中各K 值列在表1中.
由于钢质轧辊和模型轧辊二者的泊桑比不相同, 式(12) (13) (14) 中的K _≠1, 这给转换必然带来误差. 应用式(1) (2) (3) , 进行同因子比较后可以得到一个修正后的相似转换准则, 即:
P R
K a =
K L K P E
K a q =
K L K 经计算, 其中Z =0. 824. 4 一个应用实例
某钢厂的轧机辊系接触参数已列在表1中, 对辊与辊接触间的条纹系数n i , 相应位置x i 及压扁实测宽度a i 值列在表3中. 由式(14) 计算得到的各节点上的e q 0i 也列在相应的表中.
表3 支承辊与中间辊之间(即D 0处) 的接触正应力值(模型值) 1
x M i a M i |n |i
M
e q 0i
1/2
(15)
1/2
(16)
M M
232. 31. 80. 47
3821. 6
41721. 4
52521. 5
63321. 6
74221. 68
85821. 70. 44
96721. 80. 47
107531. 90. 49
11783. 52. 00. 52
12823. 830. 78
02. 520. 52
0. 420. 360. 390. 420. 44
M
注:x i M , a M i 的单位为mm, e q }i 的单位为M Pa
第2期 瞿志豪等:有限长圆柱体接触应力的光弹性解法 287
xi 及e yi 计算值也列在表4中. 图6为该轧机支承辊与中间辊之间的接触应力分布曲线上的e 图.
表4
1
x i
D 0
e q 0i e x i , e yi
a i
08093487. 25
2457813146. 67
[1**********]. 8
[1**********]. 8
[1**********]. 8
[1**********]. 8
[1**********]. 8
[1**********]. 8
[1**********]5. 8
10
11
12
[***********]8. 7
80934810. 2
121352211
a i , x i 的单位为mm, e q 0i 的单位为M Pa
图6 支承辊与中间辊之间的接触应力分布图
4 结论
(1) 由于轧辊的径长比近似1∶1, 且外作用力集中作用在辊子的二端, 所以无限辊长的赫芝假定不存在. 一般而言, 在外作用力作用在二端面上时, 轧辊接触面上的压应力呈二头大中间小的不均匀状态. 为了获得这种不均匀分布的压应力, 靠单一的数值计算或实验力学方法不足以解决问题. 本文提出的概念可以满足工程要求.
(2) 用三维光弹性模拟真实结构的应力, 由于泊桑比不满足相似性条件, 一般都会带来模拟的转换误差. 本文在分析时从赫芝理论公式出发导出了这种模拟与被模拟材料的转换中修正关系, 使得本文对轧辊接触应力的计算更加准确.
(3) 本文在讨论接触应力的解时, 充分利用了静态的特征, 因此可以假设轧辊纵向对称面为平面应变, 公式不适用带有切向力作用的情况. 参考文献:
[1] 徐芝伦. 弹性力学[M ].人民教育出版社, 1979.
[2][
实 验 力 学 (2003年) 第18卷 288
[3] Cer no sek J. T hree Dimensio nal Pho toelasticity by Stress Freezing [J].Exp. M ech. , 1980, 20:417-426.
[4] Buckingha m E. O n Phy sica lly Similar Systems Illustr atio ns of the U se of Dimensional Equations [J].
:345-376. Phys . Rew . , 1974, 4
Photoelastic Solution for the Contact Stresses of
Two Length -limited Cylindrical Bodies
QU Zhi -hao , ZHANG Xing -yao
(Sha ng hai Institute of T echnolog y , Shang hai 200235)
:Stress distribution on the contact surface of tw o leng th -limited cy lindrical bodies Abstract
w ith concentra ted outer applied load is no n -homog eneous . This paper put fo rwa rd a mix ed calculatio n method to o btain the contact stress, and the method is according to the theory of elasticity , photoelastic stress analy sis, and FEM. A practical applica tion wa s given to discuss the contact problem s fo r the rolls in steel mill . Key W ords :pho to elastic; finite element; co ntact stress; ro ller