北邮随机信号答案ch9

第 9 章习题解答

9.1 证明二元信号检测的（9.2.4）式和（9.2.5）式成立。 解: 令

1 tf 2 2 ∫t0 [ y0 (t ) − y1 (t )]dt t0 t0 2 那么观测过程 z (t ) 也是高斯的， 因此检测统计量 I 是服从高 由于噪声 v(t ) 是高斯随机过程， I = ∫ z (t ) y1 (t )dt − ∫ z (t ) y0 (t )dt +

tf tf

斯分布的随机变量， 对于高斯分布的随机变量， 只要确定它的均值和方差就可以确定它的一 维概率密度。

I | H 0 = ∫ y1 (t )[ y0 (t ) + v(t )]dt − ∫ y0 (t )[ y0 (t ) + v(t )]dt +

t0 t0

tf

tf

1 tf 2 [ y0 (t ) − y12 (t )]dt 2 ∫t0

=−

因此

tf 1 tf [ y0 (t ) − y1 (t )]2 dt + ∫ v(t )[ y1 (t ) − y 0 (t )]dt t0 2 ∫t0

1 tf 2 ∫t0 [ y 0 (t ) − y1 (t )] dt 2 Var ( I | H 0 ) = E{[ I − E ( I | H 0 )]2 }

E(I | H 0 ) = −

= E{[ ∫ v(t )[ y1 (t ) − y 0 (t )]dt ] 2 }

t0

tf

= E{∫ v(t )[ y1 (t ) − y 0 (t )]dt ∫ v(τ)[ y1 (τ) − y 0 (τ)]dτ}

t0 t0

tf

tf

= E{∫

= E{∫

=

同理可得

tf

t0

tf

∫

∫

tf

t0

tf

E[v(t )v(τ)][ y1 (t ) − y 0 (t )][ y1 (τ) − y 0 (τ)]dtdτ}

N0 δ(t − τ)[ y1 (t ) − y 0 (t )][ y1 (τ) − y 0 (τ)]dtdτ} 2

t0

tf

t0

N0 2

∫

t0

[ y1 (t ) − y 0 (t )] 2 dt

E(I | H1 ) =

1 tf 2 ∫t0 [ y0 (t ) − y1 (t )] dt 2

N0 2

Var ( I | H 1 ) = E{[ I − E ( I | H 1 )] 2 } =

定义

tf tf

∫

tf

t0

[ y1 (t ) − y 0 (t )] 2 dt

2 ε 0 = ∫ y 0 (t )dt , ε1 = ∫ y12 (t )dt , ε = t0 t0

1 (ε 1 + ε 0 ) 2

分别代表信号 y 0 (t ) 、 y1 (t ) 的信号能量及它们的平均能量，定义

ρ = ∫ y 0 (t ) y1 (t )dt / ε

t0

tf

为归一化相关系数，则

E ( I | H 0 ) = −ε(1 − ρ ) ， E ( I | H 1 ) = ε(1 − ρ )

Var ( I | H 0 ) = Var ( I | H 1 ) = N 0 ε(1 − ρ ) 那么，检测统计量 I 在两种不同假设下的概率密度为 ⎧ [ I + ε(1 − ρ )]2 ⎫ 1 p( I | H 0 ) = exp⎨− ⎬ 2πN 0 ε(1 − ρ ) ⎩ 2 N 0 ε(1 − ρ ) ⎭ p( I | H 1 ) = ⎧ [ I − ε(1 − ρ )]2 ⎫ exp⎨− ⎬ 2πN 0 ε(1 − ρ ) ⎩ 2 N 0 ε(1 − ρ ) ⎭ 1

9.2 在随机相位信号的检测部分证明(9.3.6) 式成立。 解：由教材的(9.3.4)式，

⎧ 1 f ( z (t ) | H1 , ϕ) = F exp ⎨ − ⎩ N0 ⎧ 1 = F exp ⎨− ⎩ N0

而

∫ [ z (t ) − A sin(ω t + ϕ)]

T 0 0

2

⎫ dt ⎬ ⎭

∫

T

0

⎫ ⎡ z 2 (t ) − 2 Az (t ) sin(ω0t + ϕ) + A2 sin 2 (ω0t + ϕ) ⎤ dt ⎬ ⎣ ⎦ ⎭ A2 2

∫

T

0

A2 sin 2 (ω0t + ϕ)dt =

∫0 [1 − cos 2(ω0t + ϕ)] dt =

T

T A2T − A2 ∫ cos 2(ω0t + ϕ)dt 0 2

当T

T T 2π A2T 2 2 时， ∫ cos 2(ω0t + ϕ) dt ≈ 0 ，所以， ∫ A sin (ω0t + ϕ) dt = ，那么 0 0 2 ω0

⎧ 1 f ( z (t ) | H1 , ϕ) = F exp ⎨− ⎩ N0

又

∫

T

0

z 2 (t )dt −

⎧ 2 TA2 ⎫ 2 π ⎬ ∫0 exp ⎨ 2 N0 ⎭ ⎩ N0 ⎫ z 2 (t )dt ⎬ ⎭

∫

T

0

⎫ dϕ Az (t ) sin(ω0t + ϕ)dt ⎬ ⎭ 2π

⎧ 1 f ( z (t ) | H 0 ) = F exp ⎨ − ⎩ N0

所以似然比为

∫

T

0

Λ ( z (t )) =

而

⎧ A2T ⎫ 2π ⎧ 2 f ( z (t ) | H1 ) = exp

⎨− ⎬ ∫0 exp ⎨ f ( z (t ) | H 0 ) ⎩ 2 N0 ⎭ ⎩ N0

T

∫

T

0

⎫ dϕ Az (t ) sin(ω0t + ϕ )dt ⎬ ⎭ 2π

∫

令

T

0

z (t ) sin(ω0t + ϕ )dt = ∫ z (t ) sin ω0tdt cos ϕ + ∫ z (t ) cos ω0tdt sin ϕ

0 0 T

T

M I = ∫ z (t ) sin ω0tdt

0

M Q = ∫ z (t ) cos ω0tdt

0

T

则，

∫

其中

T

0

z (t ) sin(ω0t + ϕ )dt = M cos(ϕ − ϕ0 )

2 M = M I2 + M Q =

(∫

T

0

z (t ) sin ω0tdt

) (∫

2

+

T

0

z (t ) cos ω0tdt

)

2

⎛M ϕ0 = tg −1 ⎜ Q ⎝ MI

于是，

⎛ T z (t ) cos ω tdt ⎞ ⎞ 0 −1 ⎜ ∫0 ⎟ ⎟ = tg ⎜ T ⎜ ∫ z (t ) sin ω0tdt ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎠

⎧ A2T ⎫ 2π ⎧ 2 AM ⎫ dϕ cos(ϕ − ϕ0 ) ⎬ Λ ( z (t )) = exp ⎨− ⎬ ∫0 exp ⎨ ⎩ 2 N0 ⎭ ⎩ N0 ⎭ 2π ⎧ A2T ⎫ ⎛ 2 AM ⎞ = exp ⎨− ⎬ I0 ⎜ ⎟ ⎩ 2 N0 ⎭ ⎝ N0 ⎠ 2π dϕ 其中 I 0 ( x) = ∫ exp { x cos(ϕ − ϕ0 )} 是第一类零阶修正贝塞尔函数。 0 2π

9.3 对于如下随机相位信号的检测问题，

H 0 : z (t ) = v(t ) H1 : z (t ) = A sin(ω0t + Φ ) + v(t )

功率谱密度为 N0/2，令

0

其中 A、ω0 是已知常数，Φ是(0,2π)上均匀分布的随机变量，噪声 v(t)是零均值高斯白噪声，

M=

证明：

(∫

T

0

z (t ) sin ω 0tdt

) (∫

2

+

T

0

z (t ) cos ω 0tdt

)

2

f (M | H 0 ) =

⎛ M2 ⎞ exp ⎜ − 2 ⎟ , M > 0 2 σT ⎝ 2σ T ⎠ M

1 2 2⎞ ⎛ 2 ⎜ M + 4 A T ⎟ ⎛ MAT ⎞ M f ( M | H1 ) = 2 exp ⎜ − , M >0 ⎟ I0 ⎜ 2 2 ⎟ σT 2σ T ⎜ ⎟ ⎝ 2σ T ⎠ ⎝ ⎠

其中 σ T = N 0T/4 。提示：当 ω 0T

2

1 时， ∫ sin(ω 0t + ϕ )dt ≈ 0 。

0

T

由教材(9.3.7)式~(9.3.9)式，有

2 M = M I2 + M Q

ϕ0 = arctan ⎜

⎛ MQ ⎞ ⎟ ⎝ MI ⎠

M I = ∫ z (t ) sin ω0tdt

0

T

M Q = ∫ z (t ) cos ω0tdt

0

T

由于噪声是正态的，在 ϕ 给定的条件下， M I | H1 , ϕ ， M Q | H1 , ϕ 都是正态随机变量，当

T

2π 时，它们的均值为 ω0

T E ( M I | H1 , ϕ ) = E ⎡ ∫ z (t ) sin ω0tdt ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ T = E ⎡ ∫ [ A sin(ω0t + ϕ ) + v(t )]sin ω0tdt ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦

= ∫ A sin(ω0t + ϕ ) sin ω0tdt + ∫ E[v(t )]sin ω0tdt

0 0

T

T

= ∫ A sin(ω0t + ϕ ) sin ω0tdt

0

T

≈

同理可得， 方差为

AT cos ϕ 2

E (M Q | ϕ ) ≈

AT sin ϕ 2

2

Var ( M I | H1 , ϕ ) = E [ M I − E ( M I | H1 , ϕ ) ]

{

}

2 ⎧ T ⎫ = E ⎨ ⎡ ∫ z (t ) sin ω0tdt − E ( M I | H1 , ϕ ) ⎤ ⎬ ⎢ 0 ⎥ ⎭ ⎦ ⎩⎣ 2 ⎧ T ⎫ = E ⎨ ⎡ ∫ v(t ) sin ω0tdt ⎤ ⎬ ⎥ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩⎢ 0

=∫ =∫

T

0

∫ ∫

T

0

E[v(t1 )v(t2 )]sin ω0t1 sin ω0t2 dt1dt2

N0 δ (t1 − t2 ) sin ω0t1 sin ω0t2 dt1dt2 2 N T NT = 0 ∫ sin 2 ω0tdt ≈ 0 2 0 4

T T

0 0

同理，

Var ( M Q | H1 , ϕ ) ≈

可以证明，

N 0T 4

E [ M I − E ( M I | H1 , ϕ ) ] ⎡ M Q − E ( M Q | H1 , ϕ ) ⎤ ⎣ ⎦

T T = E ⎡ ∫ v(t ) sin ω0tdt ∫ v(t ) cos ω0tdt ⎤ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎣ ⎦

{

{

}

}

=∫ =∫ =

T

0

∫ ∫

T

0

E[v(t1 )v(t2 )]sin ω0t1 co

s ω0t2 dt1dt2 N0 δ (t1 − t2 ) sin ω0t1 cos ω0t2 dt1dt2 2

T

T

T

0

0

N0 2 N = 0 4

∫ ∫

0

sin ω0t cos ω0tdt sin 2ω0tdt ≈ 0

2

T

0

所以， I | H1 , ϕ ， Q | H1 , ϕ 是不相关、 M M 同时也是相互独立的正态随机变量。 σ T = 令 则

2 2 ⎧ ⎛ AT AT ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ cos ϕ ⎟ ⎜ M Q − sin ϕ ⎟ ⎪ MI − ⎪ ⎜ 1 ⎪ 2 2 ⎠ −⎝ ⎠ ⎪ ϕ) = p ( M I , M Q | H1 , exp ⎨− ⎝ ⎬ 2 2 2 2πσ T 2σ T 2σ T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

N 0T ， 4

利用变换

M I = M cos ϕ0 , M Q = M sin ϕ0

J= ∂(M I , M Q ) ∂ ( M , ϕ0 ) = cos ϕ0 sin ϕ0 − M sin ϕ0 M cos ϕ0 =M

p ( M , ϕ 0 | H1 , ϕ ) = p ( M I , M Q | H 1 , ϕ ) J

M I = M cos ϕ0 , M Q = M sin ϕ0

2 2 ⎧ ⎛ AT AT ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ M cos ϕ0 − cos ϕ ⎟ ⎜ M sin ϕ0 − sin ϕ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ M ⎪ 2 2 ⎠ −⎝ ⎠ ⎪ = exp ⎨− ⎝ ⎬ 2 2 2 2πσ T 2σ T 2σ T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

整理上式得，

2 ⎧ ⎪ 1 ⎡ 2 ⎛ AT ⎞ ⎛ AT p ( M , ϕ 0 | H1 , ϕ ) = exp ⎨− 2 ⎢ M + ⎜ ⎟ − 2⎜ 2 2πσ T ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎪ 2σ T ⎢ ⎣ ⎩

M

⎫ ⎤⎪ ⎞ M cos(ϕ − ϕ0 ) ⎥ ⎬ ⎟ ⎠ ⎥⎪ ⎦⎭

p ( M | H1 , ϕ ) = ∫

2π

0

⎧ 1 ⎡ 2 ⎛ AT ⎞ 2 ⎪ ⎛ AT exp ⎨− 2 ⎢ M + ⎜ ⎟ − 2⎜ 2 2πσ T ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎪ 2σ T ⎢ ⎣ ⎩

M

⎤⎫ ⎪ ⎞ M cos(ϕ − ϕ0 ) ⎥ ⎬ dϕ0 ⎟ ⎠ ⎥⎪ ⎦⎭

⎧ 1 ⎪ exp ⎨− 2 2 2πσ T ⎪ 2σ T ⎩ ⎧ 1 M ⎪ exp ⎨− 2 = 2 2πσ T ⎪ 2σ T ⎩ =

M

⎡ MAT ⎤ ⎡ 2 A2T 2 ⎤ ⎫ 2π ⎪ ⎢ M + 4 ⎥ ⎬ ∫0 exp ⎢ 2σ 2 cos(ϕ − ϕ0 ) ⎥ dϕ0 ⎣ ⎦⎪ ⎣ T ⎦ ⎭ ⎡ 2 A2T 2 ⎤ ⎫ ⎛ MAT ⎞ ⎪ ⎢ M + 4 ⎥ ⎬ I 0 ⎜ 2σ 2 ⎟ ⎣ ⎦⎪ ⎝ T ⎠ ⎭

由上式可以看出， p ( M | H1 , ϕ ) 与 ϕ 无关，所以

p ( M | H1 ) =

⎧ ⎪ 1 exp ⎨− 2 2 2πσ T ⎪ 2σ T ⎩ M

⎫ ⎡ 2 A2T 2 ⎤ ⎪ ⎛ MAT ⎞ ⎢ M + 4 ⎥ ⎬ I 0 ⎜ 2σ 2 ⎟ ⎣ ⎦⎪ ⎝ T ⎠ ⎭

M ≥0

在 H0 假设下，由于没有信号，相当于上式中令 A=0，则

⎧ M2 ⎫ p(M | H 0 ) = exp ⎨− 2 ⎬ I 0 ( 0 ) ， 2 2πσ T ⎩ 2σ T ⎭ M

而 I 0 (0) = 1 ，所以，

M ≥0

p( M | H 0 ) =

⎧ M2 ⎫ exp ⎨− 2 ⎬ ， 2 2πσ T ⎩ 2σ T ⎭ M

M ≥0

9.4 两种假设下接收波形是

H1 : z (t ) = s (t ) + v(t ), 0 ≤ t ≤ T H 0 : z (t ) = v(t ), 0 ≤ t ≤ T

其中 v(t)是功率谱为 N0/2 的白高斯随机过程。信号 s(t)是高斯随机过程，并且可写为

s (t ) = at , 0 ≤ t

式中 a 是方差为 σ a 的零均值高斯随机变量。求最佳接收机。

2

9.5 对情况 s (t ) = at + b,

2 t ≥ 0 ，式中 a 和 b 是两个统计独立的、方差分别为 σ a 和 σ b2 的

零均值高斯随机变量，重复习题 9.4。

9.6 对 a 和 b 是两个统计独立的、均值分别为 ma 和 mb、方差分别为 σ a 和 σ b 零均值高斯随

2 2

机变量，重复习题 9.5。

9.7 假设 s(t)是分段常数波形，

⎧ b1 ⎪b ⎪ s (t ) = ⎨ 2 ⎪ ⎪bn ⎩

0

bi 是统计独立的、方差等于 σ b2 的零均值高斯随机变量。求最佳接收机。

9.8 利用最小错误概率准则设计一接收机，对下述两个假设作选择：

H 0 : z (t ) = s0 (t ) + v(t ) H1 : z (t ) = s1 (t ) + v(t )

信号 s0 (t ), s1 (t ) 如图 9.12 所示。v(t)是功率谱为 N 0 / 2 的正态白噪声。令信号先验概率相等。 信号平均能量为 E，观测时间为 0 ≤ t ≤ 3T ，试求 E / N 0 = 2 时的错误概率。

s0 (t )

1 1

s1 (t )

t

0 -1

t

0 -1

T

2T

3T

T

2T

3T

图9.12 信号波形

解: 由(9.2.14)式可知,

Pε = Q ⎡ ε (1 − ρ ) / N 0 ⎤ ⎣ ⎦

由图(9.12)可得,

2 ε1 = ε 2 = ∫ s0 (t )dt = ∫ s12 (t )dt = 3T 0 0 3T 3T

ε = 3T , ρ = −1

⎛ ε(1 − ρ) ⎞ ⎛ 2ε ⎞ Pe = Q ⎜ ⎟ = Q⎜ ⎜ ⎜ N ⎟ = Q ( 2 ) = 0.023 ⎟ N0 ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

9.9 对下述两个假设，按似然比判决规则进行选择：

H1 : z (t ) = A cos ω1t + B cos(ω2t + ϕ ) + v(t ) H 0 : z (t ) = B cos(ω2t + ϕ ) + v(t )

其中 A, B, ω1 , ω2 , ϕ1 , ϕ 2 为已知常数，v(t)是功率谱为 N 0 / 2 的正态白噪声。问信号

B cos(ω2t + ϕ ) 对接收机性能有何影响？

9.10 设有两个假设

H 0 : z (t ) = s0 (t ) + v(t ) H1 : z (t ) = s1 (t ) + v(t )

其中信号 s0 (t ), s1 (t ) 如图 9.13 所示。v(t)是功率谱为 N 0 / 2 的正态白噪声。令先验概率相等。 试按最小错误概率准则设计一个接收机，对上述假设作选择。

s0 (t )

1

3

t

s1 (t )

t

0 0.5 1

0

1 图9.13 信号波形

9.11 设有移频键控信号

s1 (t ) = Am cos(ω1t + ϕ1 ) s2 (t ) = Am cos(ω2t + ϕ 2 ) 0 ≤ t ≤ T , T ω1 − ω2 1,

且先验概率相等， Am , ω1 , ω2 , ϕ1 , ϕ 2 均为常量。现以功率谱密度为 N 0 / 2 的正态白噪声为背 景，按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收，试求总错误概率。

9.12 设两个假设

H 0 : z (t ) = v(t ) H1 : z (t ) = s (t ) + v(t )

其中 v(t)是相关函数为

T N0 δ (τ ) 的正态白噪声。令信号 s (t ) 的能量 E = ∫ s 2 (t )dt ，虚警概 0 2

率为 α ，采用连续观测进行检验。试求： （1）最佳接收机的结构； （2）判决门限的求解方程； （3）检测概率 P ( D1 | H1 ) 的表达式。

9.13 依据一次观测，用极大极小准则对下述两种假设作出判决

H 0 : z (t ) = n(t ) H1 : z (t ) = 1 + n(t )

其中 n(t ) 是零均值正态噪声，方差为 σ n ，且 C00 = C11 = 0, C01 = C10 = 1 。试求

2

（1）判决门限； （2）与门限相应的各先验概率。

9.14 设有移频键控信号

s1 (t ) = Am cos(ω1t + ϕ1 ) s2 (t ) = Am cos(ω2t + ϕ2 ) 0 ≤ t ≤ T , T ω1 − ω2 1,

令先验概率相等，随机初相 ϕ1 , ϕ 2 都均匀分布于 [ 0, 2π ] 上，且 Am , ω1 , ω2 为常数。现以相关 函数为

N0 δ (τ ) 的正态白噪声为背景，按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收。试求 2

（1）判决表达式；

（2）画出最佳接收机。

9.15 在雷达系统中，发射波形往往是一段已知频率的正弦信号。但是目标回波信号的频率

已有偏移，偏移量就是所谓的多普勒频率，它近似等于 ωd = 2vω0 / c ，其中 v 是目标的径向 速度，c 是电磁波传播速度。对于未知速度的目标而言， ωd 可用已知概率密度的随机变量

描述。对应于目标存在或不存在两种情况，接收的观测量可写为

H1 : z (t ) = 2 E sin(ωd t + θ ) + v(t ), H1 : z (t ) = v(t ) ,

0≤t ≤T 0≤t ≤T

其中 E、 θ 为确知，v(t)为零均值正态白噪声，试对上述情况作似然比检验。

9.16 三元通信系统中，

H 0 : s0 (t ) = 0

,

0≤t ≤T 0≤t ≤T 0≤t ≤T

H1 : s1 (t ) = A1 sin ω0t , H 2 : s2 (t ) = A2 sin ω0t ,

现以功率谱为 N 0 / 2 的正态白噪声为背景进行观测。 （1）设计具有最小错误概率的接收机； （2）设先验概率相等，求三种假设下的检测概率及总的正确判决概率。