高中导数题的解题技巧

导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程

y =e 2x -2

e x +1(x ≥0) 的曲线关于直线y =x

对称的曲线的方程为

A. y =ln(1

B. y

=ln(1 C. y =-ln(1 D. y =-ln(1

[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解. 同时还考查了转化能力 [解答过程]y =

e 2x -2e x +1(x ≥0) ⇒(e x -

1) 2=y ， x ≥0, ∴e x ≥1，

即：e x =1x =ln(1，所以f -1(x ) =ln(1. 故选A.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数f (x ) =x -a x -1

, 集合M={x |f (x ) 0}, 若M P, 则实数a 的取值范围是 ( A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由x -a x -1

1时,1

/

y =x -a x -1, ∴y /=⎛ x -a ⎫x -1-(x -a )a -1⎝x -1⎪⎭=(x -1)2=(x -1)

2>0. ∴a >1.

综上可得M P 时, ∴a >1. 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3. （2004年重庆卷）已知曲线y =1x 3+4，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.

3

3

思路启迪：求导来求得切线斜率.

解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.

例4. （2006年安徽卷）若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为（ ）

A ．4x -y -3=0 B ．x +4y -5=0

)

4x -y +3=0x +4y +3=0[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线x +4y -8=0垂直的直线l 为4x -y +m =0，即y =x 4在某一点的导数为4，而y '=4x 3，所以y =x 4在(1，1) 处导数为4，此点的切线为4x -y -3=0. 故选A.

例5． ( 2006年重庆卷) 过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +5=0相切的直线的方程为 ( )

2

A. y =-3x 或y =1x B. y =-3x 或y =-1x C. y =-3x 或y =-1x D. y =3x 或y =1x

3

3

3

3

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y =kx , ∴kx -y =0. 又(x -2

)2+(y +1)2=5, ∴圆心为(2, -1).

2

1

∴y =x , 或y =-3x .

3

=

1

3k 2+8k -3=0. ∴k =, k =-3. 3

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为(1, -3), ⎛3, 1⎫, 由

2

⎪

2⎝22⎭

5⎫⎡(x -2) +(y +1)⎤=⎛⎪, ⎣⎦x ⎝2⎭x

2

2

/

/

∴2(x -2) +2(y +1)y x /=0, x -2

∴y x =-.

y +1

/

1=. 3

∴k 1=y x /

13(, -) 22

=-3, k 2=y x /

31(, ) 22

1

∴y =-3x , y =x .

3

故选A.

例6. 已知两抛物线C 1:y =x 2+2x , C 2:y =-x 2+a , a 取何值时C 1，C 2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对C 1:y =x 2+2x , C 2:y =-x 2+a 求导数.

解答过程：函数y =x 2+2x 的导数为y ' =2x +2，曲线C 1在点P(x 1, x 12+2x 1) 处的切线方程为y -(x 12+2x 1) =2(x 1+2)(x -x 1) ，即 y =2(x 1+1) x -x 12 ①

曲线C 1在点Q (x 2, -x 22+a ) 的切线方程是y -(-x 2+a ) =-2x 2(x -x 2) 即

y =-2x 2x +x 22+a ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

x 1+1=-x 2, -x 12=x 22+1，消去x 2得方程，2x 1+2x 1+1+a =0

2

若△=4-4⨯2(1+a ) =0，即a =-1时，解得x 1=-1，此时点P 、Q 重合.

2

2

∴当时a =-1，C 1和C 2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y =x -1 .

2

4

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法. 复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5. 构造函数证明不等式. 典型例题

例7．（2006年天津卷）函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点（ ）

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识[解答过程]由图象可见, 在区间(a ,0) 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8. 设y =f (x ) 为三次函数，且图象关于原点对称，当x =1时，

2

的应用能力. f (x ) 的极小值为

-1，求出函数f (x ) 的解析式.

思路启迪：先设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，再利用图象关于原点对称确定系数.

解答过程：设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) ，因为其图象关于原点对称，即f (-x ) = -f (x ) ，得

ax 3+bx 2+cx +d =ax 3-bx 2+cx -d ， ∴b =0，d =0，即f (x ) =ax 3+cx

由f '(x ) =3ax 2+c ， 依题意，f '(1) =3a +c =0，

2

4

11c

f () =a +=-1， 282

解之，得a =4，c =-3.

故所求函数的解析式为f (x ) =4x 3-3x .

例9. 函数y =2x +4-x +3的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

2x +4≥0得，解答过程：由⎧x ≥-2，即函数的定义域为[-2, +∞) . ⎨

⎩x +3≥0

y ' =

112x +3-2x +4， -=

x +42x +32x +4⋅x +3

2x +8， 2x +3+x +4

又2x +3-2x +4=

∴当x ≥-2时，y ' >0，

∴函数y =2x +4-x +3在(-2, +∞) 上是增函数，而f (-2) =-1，∴y =2x +4-x +3的值域是[-1, +∞) .

例10．（2006年天津卷）已知函数f (x )=4x 3-3x 2cos θ+3cos θ，其中x ∈R , θ为参数，且0≤θ≤2π．

16

（1）当时cos θ=0，判断函数f (x )是否有极值；

（2）要使函数f (x ) 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f (x )在区间(2a -1, a )内都是增函数，求实数a 的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos θ=0时，f (x ) =4x 3，则f (x ) 在(-∞, +∞) 内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f '(x ) =12x 2-6x cos θ，令f '(x ) =0，得x 1=0, x 2=cos θ.

2

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos θ>0时，随x 的变化f '(x ) 的符号及f (x ) 的变化情况如下表：

因此，函数f (x ) 在x =处取得极小值f() ，且f (cos θ) =-1cos 3θ+3θ

222416. 要使f (cos θ) >0，必有-1cos θ(cos2θ-3) >0，可得0

244由于0≤cos θ，故π

6

2

2

6

②当时cos θ

16

因此，函数f (x ) 在x =0处取得极小值f (0)，且f (0)=3cos θ.

若f (0)>0，则cos θ>0. 矛盾. 所以当cos θ

综上，要使函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内的极小值大于零，参数θ

的取值范围为(π, π) ⋃(3π, 11π) .

62

2

6

（III ）解：由（II ）知，函数f (x )

在区间(-∞, +∞) 与(cos θ, +∞) 内都是增函数。

2

由题设，函数f (x ) 在(2

a -1, a ) 内是增函数，则a 须满足不等式组

2a -1

或

2a -1

2a -1≥cos θ

26

由（II ），参数时θ∈(π, π) ⋃(3π, 11π) 时，0

62

2

2≤a .

综上，解得a ≤

0≤a

所以a 的取值范围是(-∞,0) ⋃.

例11．(2006年山东卷) 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x ) 的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法, 函数的极值的判定, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数f (x ) 的定义域为(-1, +∞) ，且f ' (x ) =ax -1(a ≥-1),

x +1

（1）当-1≤a ≤0时，f ' (x ) 0时，由f ' (x ) =0, 解得x =1.

a

'

、随x 的变化情况如下表

当x ∈(-1, 1) 时，f ' (x )

a

a

当x ∈(1, +∞) 时，f ' (x ) >0, 函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增.

a

a

综上所述：当-1≤a ≤0时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减.

当a >0时，函数f (x ) 在(-1, 1) 上单调递减，函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增.

a

a

例12．（2006年北京卷）已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得

y =f '(x ) 的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示. 求：

极大值5，其导函数

（Ⅰ）x 0的值； （Ⅱ）a , b , c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数, 函数的极值的判定, 闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(-∞,1)上

f ' (x )>0，在(1,2)上f ' (x )0,

故f (x ) 在上递增，在(1,2)上递减， （-∞，1），（2，+∞）因此f (x )在x =1处取得极大值，所以x 0=1

（Ⅱ）f ' (x ) =3ax 2+2bx +c ,

'

由f （ 1）=0，（f ' 2）＝0，（f ' 1）＝5，得⎪12a +4b +c =0,

⎨

⎪a +b +c =5, ⎩

⎧3a +2b +c =0,

解得a =2, b =-9, c =12.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设f ' (x ) =m (x -1)(x -2) =mx 2-3mx +2m ,

f ' (x ) =3ax 2+2bx +c , 所以a =m , b =-3m , c =2m

3

2

f (x ) =

m 332|

x -mx +2mx , 32

3

2

由f (1)=5，即m -3m +2m =5, 得m =6,

所以a =2, b =-9, c =12

例13．（2006年湖北卷）设x =3是函数f (x )=(x 2+ax +b )e 3-x (x ∈R )的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间；

25⎫x 2（Ⅱ）设a >0，g (x )=⎛ a +⎪e . 若存在ε1, ε2∈[0, 4]使得f (ε1)-g (ε2

⎝

4⎭

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2) x ＋b －a ]e 3x ,

－

由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 33＝0，即得b ＝－3－2a ，

－

则 f `(x)＝[x 2＋(a －2) x －3－2a －a ]e 3

－x

＝－[x 2＋(a －2) x －3－3a ]e 3x ＝－(x －3)(x ＋a+1) e 3x .

－

－

令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a 3＝x 1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)－4时，x 2

在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间

[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a ＋3）e 30，f (3)＝a ＋6，

－

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又g (x ) =(a 2+25) e x 在区间[0，4]上是增函数，

4

且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋25，（a 2＋25）e 4]，

4

4

由于（a 2＋25）－（a ＋6）＝a 2－a ＋1＝（a -1）2≥0，所以只须仅须

4

42

（a 2＋25）－（a ＋6）0，解得0

4

2

故a 的取值范围是（0，3）.

2

例14 （2004年天津卷）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值. （1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求出此切线方程.

思路启迪：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号. （2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.

解答过程：：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，

3a +2b -3=0, 即⎧⎨⎩3a -2b -3=0.

解得a =1，b =0.

∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.

若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，

故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数.

所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.

（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，

∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.

代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.

小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 考点4 导数的实际应用

建立函数模型, 利用 典型例题

例15. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 （切、焊损耗不计）. 有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ）, 在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b ）.

x

b a

请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1； 由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2>V 1.

解答过程： （1）设切去的正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x, 高为x ，所以, V 1=(4-2x ) 2x =4(x 3-

4x 2+4x ) , (0

x

V 1=4(3x -8x +4) 令V ' 1=0, 得x 1=2, x 2=2(舍去).

3

而V ' 1=12(x -2)(x -2) ,

3

又当x 0.

3

当2

3

∴当x =2时, V 1取最大值128.

3

27

（2）重新设计方案如下：

如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器。

2 2

图① 图③

图②

新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积 V 2=3⨯2⨯1=6，显然V 2>V 1. 故第二种方案符合要求.

例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y =

13

x 3-x +8(0

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]（I ）当x =40时，汽车从甲地到乙地行驶了100=2.5小时，

40

要耗没(

13

⨯403-⨯40+8) ⨯2.5=17.5（升）. 12800080

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h (x ) 升，依题意得

x

[1**********]5

h (x ) =(x 3-x +8). =x +-(0

12800080x 1280x 4

x 800x 3-803h '(x )=-2=(0

640x 640x

令h '(x ) =0, 得x =80.

当x ∈(0,80)时，h '(x ) 0, h (x ) 是增函数. 当x =80时，h (

x ) 取到极小值h (80)=11.25.

因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练与高考预测】 一、选择题

1. y=e sin x cos(sinx ) ，则y ′(0)等于( )

A.0 B.1 C. －1 D.2 2. 经过原点且与曲线y =x +9相切的方程是( )

x +5

A. x +y =0或x +y =0

25

B. x －y =0或x +y =0

25

C. x +y =0或x －y =0

25

D. x －y =0或x －y =0

25

3. 设f (x ) 可导，且f ′(0)=0,又lim f '(x ) =－1, 则f (0)( )

x →0

x

A. 可能不是f (x ) 的极值 B. 一定是f (x ) 的极值 C. 一定是f (x ) 的极小值 D. 等于0

4. 设函数f n (x )=n 2x 2(1－x ) n (n 为正整数) ，则f n (x ) 在［0,1］上的最大值为( )

A.0

B.1

C. (1-2) n

2+n

D. 4(n ) n +1

n +2

5、函数y=(x2-1) 3+1在x=-1处( )

A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 6.f(x)=ax3+3x2+2，f ’(-1)=4，则a=( )

A 、10 B 、13 C 、16 D 、19

3

7. 过抛物线y=x

2

A 、300 B 、450 C 、600 D 、900

8. 函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A 、（0，1） B 、（-∞，1） C 、（0，+∞） D 、（0，1）

2

33

11上的点M （, ）的切线的倾斜角是( 24

3

)

9. 函数y=x-3x+3在[-3, 5]上的最小值是( )

2

2

3

A 、 89 B 、1

8

3

2

C 、33 D 、5

8

10、若f(x)=x+ax+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a

11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞） C 、（2，+∞） D 、（-∞，3）

543

12、方程6x -15x +10x+1=0的实数解的集合中( )

A 、至少有2个元素 B 、至少有3个元素 C 、至多有1个元素 D 、恰好有5个元素 二、填空题

13. 若f ′(x 0)=2,lim f (x 0-k ) -f (x 0) =_________.

k →0

2k

14. 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ), 则f ′(0)=_________.

15. 函数f (x )=loga (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1) 的单调区间_________.

16. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题

17. 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x , 直线l :y =kx , 且l 与C 切于点(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直线l 的方程及切点坐标. 18. 求函数f(x)=p2x 2(1-x)p (p∈N +) ，在[0，1]内的最大值.

19. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.

20. 求函数的导数

(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;

(2)y =x .

1-x

21. 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.

－

22. 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n 1 ,(x ≠0, n ∈N *).

23. 设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24. 设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点.

(1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x =1,x =2是函数f (x ) 的极大值还是极小值，并说明理由. 25. 已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e , 其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 26. 设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β), 函数f (x )=4x -a .

x 2+1

(1)求f (α) ·f (β) 的值；

(2)证明f (x ) 是［α，β］上的增函数；

(3)当a 为何值时，f (x ) 在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

【参考答案】

一、1. 解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sinx ) －cos x sin(sinx ) ］, y ′(0)=e 0(1－0)=1. 答案：B

2. 解析：设切点为(x 0, y 0), 则切线的斜率为k =y 0, 另一方面，y ′=(x +9) ′=-4

x 0

x +5(x +5) 2

, 故

y ′(x 0)=k , 即

y 0x 0+9或x 2+18x +45=0得x (1)=－3, y (2)=－15, 对应有y (1)=3,y (2)=-15+93, 因此得两个切点-4000000===

-15+55(x 0+5) x 0x 0(x 0+5)

A (－3，3) 或B (－15, 3), 从而得y ′(A )=

5-4

(-3+5) 3

=－1及y ′(B )=

-41

=- 2

25(-15+5)

, 由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x

或l B :y =－x .

25

答案：A

3. 解析：由lim f '(0) =－1, 故存在含有0的区间(a , b ) 使当x ∈(a , b ), x ≠0时

x →0

x

f '(0) ＜0, 于是当x

x ∈(a ,0) 时f ′(0)＞0, 当x ∈(0,b ) 时，

f ′(0)＜0, 这样f (x ) 在(a ,0) 上单增，在(0,b ) 上单减. 答案：B

4. 解析：∵f ′n (x )=2xn 2(1－x ) n －n 3x 2(1－x ) n -1 =n 2x (1－x ) n -1［2(1－x ) －nx ］, 令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=2, 易知f n (x )

2+n

在x =2时取得最大值，最大值f n (2)=n 2(2) 2(1－2) n =4·(2) n +1 .

2+n

2+n

2+n

2+n

2+n

答案：D

5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13. 解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=lim f [(x 0+(-k )]-f (x 0) (这时∆x =-k )

k →0

-k

∴lim f (x 0-k ) -f (x 0) 1f (x 0-k ) -f (x 0) =lim [-⋅]k →0k →02k 2-k

1f (x 0-k ) -f (x 0) 1=-lim =-f '(x 0) =-1. 2k →0-k 2

答案：－1

14. 解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ), 则f (x )=xg (x ), 于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),

f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！

答案：n !

15. 解析：函数的定义域是x ＞1或x ＜－2, f ′(x )=

3log a e .(3x 2+5x －2) ′=(6x +5) ⋅log a e , (3x -1)(x +2) 3x 2+5x -2

①若a ＞1, 则当x ＞1时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0, ∴f ′(x ) ＞0, ∴函数f (x ) 在(1,+∞) 上是增函数，x ＜－2时，f ′33

(x ) ＜0. ∴函数f (x ) 在(－∞, －2) 上是减函数.

②若0＜a ＜1, 则当x ＞1时，f ′(x ) ＜0, ∴f (x ) 在(1,+∞) 上是减函数，当x ＜－2时， 33

f ′(x ) ＞0, ∴f (x ) 在(－∞, －2) 上是增函数.

答案：(－∞, －2)

16. 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x , 高为h ，那么

x 2=h (2R －h ), 于是内接三角形的面积为

S =x ·h =(2Rh -h 2) ⋅h =(2Rh 3-h 4) ,

从而S '=1(2Rh 3-h 4) -2(2Rh 3-h 4) ' 2

-1h 2(3R -2h ) =(2Rh 3-h 4) 2(6Rh 2-4h 3) =2(2R -h ) h 3. 11h =AO +BO =R +R 2-x 2, 解得

令S ′=0,解得h =3R , 由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R ) 上列表如下：

2

2由此表可知，当x =3R 时，等腰三角形面积最大.

答案：3R 2

三、17. 解：由l 过原点，知k =y 0(x 0≠0), 点(x 0, y 0) 在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, x 0

∴y 0=x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 x 0

又k =y 0, ∴3

x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=3. x 02

由x ≠0, 知x 0=3, 2

2∴y 0=(3) 3－3(3) 2+2·3=－3. ∴k =y 0=－1. 228x 04

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∴l 方程y =－1x 切点(3，－3). 428

18. f ' (x ) =p 2x (1-x ) p -1[2-(2+p ) x ] ,

2 , 2+p

在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f (2) =4(p ) p +2 2+p 2+p

∴ [f (x )]max =4(p ) 2+p . 2+p 令f ’(x)=0得，x=0，x=1，x=.

19. 设双曲线上任一点P （x 0，y 0）,

2 k =y |x =x =-a ,

0x 02

∴ 切线方程y -y 0=-a 2

x 02(x -x 0) ,

令y=0，则x=2x0

2令x=0，则y =2a . x 0

∴ S =1|x ||y |=2a 2 . 2

20. 解：(1)注意到y ＞0, 两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+lne 2x =ln(x 2－2x +3)+2x,

1(x 2-2x +3) '2x -22(x 2-x +2) ∴⋅y '=2+2=2+2=2y x -2x +3x -2x +3x -2x +3.

2(x 2-x +2) 2(x 2-x +2) ∴y '=2⋅y =2⋅(x 2-2x +3) ⋅e 2x . x -2x +3x -2x +3

22x =2(x -x +2) ⋅e . (2)两端取对数，得 ln|y |=1(ln|x |－ln|1－x |), 3

两边解x 求导，得

111-111⋅y '=(-) =, y 3x 1-x 3x (1-x )

111x ∴y '=⋅⋅y =. 3x (1-x ) 3x (1-x ) 1-x

21. 解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米, 则s =5－25-9t 2, 当下端移开1.4 m时，t 0=1⋅4=7, 315

-122又s ′=－ (25－9t ) ·(－9·2t )=9t 211

25-9t 2,

所以s ′(t 0)=9×7

15⋅1

25-9⨯(72) 15=0.875(m/s).

n n +122. 解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1 =1-(n +1) x +nx , 两边同6(1-x ) 乘以x , 得

x +2x 2+3x 2+…+nx n =x -(n +1) x n +1

2+nx n +2两边对x 求导，得 (1-x )

S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1

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2n 2n +12n +2=1+x -(n +1) x +(2n +2n -1) x -n x .

(1-x ) 3

23. 解：f ′(x )=3ax 2+1.

若a ＞0, f ′(x ) ＞0对x ∈(－∞,+∞) 恒成立，此时f (x ) 只有一个单调区间，矛盾.

若a =0,f ′(x )=1＞0, ∴x ∈(－∞,+∞), f (x ) 也只有一个单调区间，矛盾.

若a ＜0, ∵f ′(x )=3a (x +1

3|a |) ·(x －

1

|a |1|a |), 此时f (x ) 恰有三个单调区间. 1|a |∴a ＜0且单调减区间为(－∞, －

单调增区间为(－1

|a |) 和(,+∞) ， , 1|a |).

24. 解：f ′(x )=a +2bx +1, x

(1) 由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且a +4b +1=0, 2

解方程组可得a =－2, b =－1, ∴f (x )=－2ln x －1x 2+x, 3636

(2)f ′(x )=－2x -1－1x +1,当x ∈(0,1)时，f ′(x ) ＜0, 当x ∈(1,2)时，f ′(x ) ＞0, 当x ∈(2,+∞) 时，f ′(x ) ＜0, 故在x =1处33

函数f (x ) 取得极小值5, 在x =2处函数取得极大值4－2ln2. 633

25. 证法一：∵b ＞a ＞e , ∴要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b , 设f (b )=b ln a －a ln b (b ＞e ), 则

f ′(b )=lna －a . ∵b ＞a ＞e , ∴ln a ＞1, 且a ＜1, ∴f ′(b ) ＞0. ∴函数f (b )=b ln a －a ln b 在(e ,+∞) 上是增函数，∴f (b ) ＞f (a )=a ln a

b b

－a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0, ∴b ln a ＞a ln b , ∴a b ＞b a .

证法二：要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b (e ＜a ＜b ) , 即证

(e ,+∞) 上是减函数，又∵e ＜a ＜b ,

∴f (a ) ＞f (b ), 即ln a >ln b , ∴a b ＞b a . a b , 设f (x )=ln x (x ＞e ) ，则f ′(x )=1-ln x ＜0, ∴函数f (x ) 在x x 26. 解：(1)f (α)=

2-8a +16-a , f (β)= 2-8a +16+a , f (α)=f (β)=4,

(2)设φ(x )=2x 2－ax －2, 则当α＜x ＜β时，φ(x ) ＜0,

f '(x ) =(4x -a ) '(x 2+1) -(4x -a )(x 2+1) '4(x 2+1) -2x (4x -a ) =(x 2+1) 2(x 2+1) 2

2(2x 2-ax +2) 2ϕ(x ) =-=->0 2222(x +1) (x +1) .

∴函数f (x ) 在(α，β) 上是增函数.

(3)函数f (x ) 在［α，β］上最大值f (β) ＞0, 最小值f (α) ＜0,

∵|f (α) ·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=－f (α)=2时，f (β) －f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4，此时a =0,f (β)=2.

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