根的判别式,韦达定理
第3讲 根的判别式以及韦达定理
新知探究:
1、一元二次方程的根:有两个根,最多有两个实数根或没有实数根。 2、根的情况的判别:
2
在ax 2+bx +c =0(a ≠0) 中,令∆=b -4ac ,其中,∆称为一元二次方程根的判别式。
(1) (2) (3) (4)
当∆当∆当∆当∆≥0时,_____________________________________; >0时,_____________________________________; =0时,_____________________________________;
-b -b 2-4ac -b +b 2-4ac
3、由求根公式可知:x 1=,则x 1+x 2=_____, , x 2=
2a 2a
x 1∙x 2=______________。
由此得出,一元二次方程的根与系数之间存在得关系(韦达定理): 结论1.如果ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个根是x 1, x 2,
2
x 1+x 2= 即:两根之和等于_____________;
x 1∙x 2= 即:两根之积等于_____________。
4、如果把方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的二次项系数化为1,则方程变形为
2
x 2+----x +
c
=0(a ≠0) , a
c 2
我们就可把它写成x +px +q =0.的形式其中p =b ,q =,
a a
2
结论2.如果方程x +px+q=0的两个根是x 1, x 2,那么x 1+x 2=-p , x 1∙x 2=q 。
则以x 1, x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:x -(x 1+x 2) x +x 1x 2=0
说明:(1)韦达定理成立的条件∆≥0 (2)注意公式重x 1+x 2=-
2
b
的负号与b 的符号的区别 a
【典型例题】
【例1】不解方程,判断下列方程根的情况:
(1) 5x 2-4x -3=0;
(2) 3x 2+2x +1=0; (3) 2x 2+3=26x .
变式练习:
(2013•珠海)已知一元二次方程:①x 2+2x +3=0;②x 2-2x -3=0.下列说法正确的是( )
A. ①②都有实数解 B. ①无实数解,②有实数解 C. ①有实数解,②无实数解 D. ①②都无实数解
【例2】证明方程的根的情况:
1、求证:无论k 取何实数,关于x 的一元二次方程:x 2-(k +1) x +k -4=0总有两个不等实根。
2、试证:关于x 的方程mx 2-(m +2) x =-1必有实根。
变式练习:
1、(2013•荆州)已知:关于x 的方程kx 2-(3k -1)x +2(k -1)=0 求证:无论k 为何实数,方程总有实数根;
2、设a 、b 、c 为△ABC 的三边长,求证:关于x 的方程b 2x 2+b 2+c 2-a 2x +c 2=0无实数根
【例3】根据根的情况求字母的取值:
2
1、(2010·成都)若关于x 的一元二次方程x +4x +2k =0有两个实数根,求k 的取值范围及k 的非负整数值. ....
()
2、若关于x 的一元二次方程(m -2) 2x 2+(2m +1) x +1=0有两个不相等的实根,则m 的取值范围.
变式练习:
1、(2013•孝感)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1, x 2. 求:实数k 的取值范围。
2、(2012•庆阳)已知关于x 的方程k x -2(k +1)x +1有两个实数根.求k 的取值范围;
【例4】韦达定理的直接运用:
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少?
22
222
(1)y -3y +1=0 (2)-3x +2x =2 (3)2x +3x =0
2、已知一根求另一根及字母的值:
2
已知2是方程x +kx +1=0的一根,则方程的另一根是k
变式练习:
1、(2013•遵义)已知x =-2是方程x 2+mx -6=0的一个根,则方程的另一个根是_______;
2、若x 1=-1是关于x 的方程2x 2+3mx -5=0的一个根,则方程的另一个根x 2=_______,m =______________。
【例5】求相关代数式的值:
1、已知x 21, x 2是方程2x -4x -3=0的两根,计算:
(1)x 2+x 2
11; ⑵ x +12
x ; ⑶(x 1-x 2) 2;12
(5)x 31-x 2; (6)x 1+x 32; 总结:
韦达定理中常用导出公式:
①x 2+x 2
12
=______________________________________; ②
1x +1
x =______________________________________; 12
③
x 2x 1
x +=______________________________________; 1x 2
④(x 1-x 2) 2=_____________________________________; ⑤x 1-x 2=_______________________________________; ⑥x 3
3
1+x 2=________________________________________;
(4)x 2x
x +1x ; 12
7)x 31-x 3
2。 (
33⑦x 1=________________________________________; -x 2
2、(2013•眉山)已知关于x 的一元二次方程x 2-x -3=0的两个实数根分别为α、β,求
(α+3)(β+3)的值。
变式练习: 1、(2013•
2
荆门)设x 1, x 2是方程x -x -2013=0的两实数根,则
x 12+2014x 2-2013=________
2、(2013•黔东南州)若两个不等实数m , n 满足条件:m 2-2m -1=0, n 2-2n -1=0,则
m 2+n 2=_______
2
3、已知a , b 是方程x -2012x +3=0的两实根,求(a 2-2010a +3)(b 2-2010b +3) 的值。
4、在解方程x +px +q =0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与﹣3;小王看错了q ,解得方程的根为4与﹣2. (1)求p 和q 的值;
(2)设α, β是方程x +px +q =0的两实数根,不解方程求α+2β+p β的值.
【例6】已知根的关系求字母取值:
1、关于x 的一元二次方程x +(2k -1) x +k -1=0的两个实根的平方和等于9,求k 的值。
2
2
2
222
2
2、已知关于x 的方程x -(k +1) x +
(1) 方程两实根的积为5;
变式练习:
12
k +1=0,根据下列条件,分别求出k 的值. 4
(2) 方程的两实根x 1, x 2满足|x 1|=x 2.
1、(2013•菏泽)已知:关于x 的一元二次方程kx 2-(4k +1)x +3k +3=0(k 是整数).若方程的两个实数根分别为x 1, x 2(其中x 1
2、(2011·荆州)关于x 的方程ax 2-(3a +1) x +2(a +1) =0有两个不相等的实根x 1、x 2,且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ,求a 的值。
2
3、已知x 1, x 2是一元二次方程4kx -4kx +k +1=0的两个实数根. (1) 是否存在实数k ,使(2x 1-x 2)(x 1-2x 2) =-请您说明理由. (2) 求使
3
成立?若存在,求出k 的值;若不存在,2
x 1x 2
+-2的值为整数的实数k 的整数值. x 2x 1
【例7】构造新方程:
1、(1)求一个一元二次方程,使它的两个根分别为4,-7。
2、已知两个数的和等于-6,积等于2,求这两个数。
2
3、已知关于x 的方程4x +4bx +7b =0有两个相等的实数根,y 1,y 2是关于y 的方程
y 2+(2-b ) y +4=0的两个根,求以y 1y 2为根的一元二次方程。
变式练习:
1、(2013•南昌)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长,且S △A B C =3,请写出一个符合题意的一元二次方程________________________ 2、解方程组 :⎨
⎧x +y =3⎩
xy =4
培优提升:
1、设二次方程x +2px +2q =0有实数根,其中p , q 都是奇数,那么它的根一定是( ) A. 奇数 B. 偶数 C. 分数 D. 无理数
2、设二次方程x +px +q =0的两个实数根恰为p 、q ,则pq 的值是( )
A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 非上述答案
4、有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l ,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a ,则使关于x 的一
22
元二次方程x 2-2(a -1)x +a (a -3)=0有两个不相等的实数根,且以x 为自变量的函数
y =x 2-(a 2+1)x -a +2的图象不经过点(1,0)的概率是 。
5、 设k 为整数,且k ≠0,方程kx 2-(k -1) x +1=0有有理根,求k 的值。
6、已知(x -z ) 2-4(x -y )(y -z ) =0,试求x +z 与y 的关系。
7、已知方程2x 2-4mx +3(m 2-1) =0,求当m 为何值时,方程:(1)有两个正根;(2)两根异号;(3)有一根为0。
2
8、设a 、b 为整数,且方程ax +bx +1=0的两个不同的正数根都小于1,求a 的最小值。
课后作业:
1、一元二次方程x 2+2x +2=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C .只有一个实数根 D.无实数根
2、如果关于x x 的一元二次方程kx -2k -1x +1=0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) A.k <
2
3、已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程
111111
B .k <且k ≠0 C.﹣≤k < D.﹣≤k <且k ≠0 2 22222
x 2+(2m -1) x +m 2+3=0的根,则m 等于( )
A .-3 D .-5或3
B .5
C .5或-3
22
4、若实数a ≠b ,且a , b 满足a -8a +5=0, b -8b +5=0,则代数式
b -1a -1
+的值为a -1b -1
(
)
A .-20 D .2或20
B .2
C .2或-20
5、已知关于x 的一元二次方程x +(m +3)x +m +1=0。
2
(1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x 1、x 2是原方程的两根,且x 1-x 2=22,求m 的值和此时方程的两根。
2
6、已知关于x 的方程x -(k +1) x +
12
k +1=0的两根是一个矩形两边的长. 4
(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根? (2)
k 的值.
7、若关于x 的方程12x 2-30x +c =0的两实根的立方和是该两根平方和的3倍,求c 的值.