基本不等式的综合应用

　　不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在函数、三角、数列、几何等诸多方面均起着广泛的工具性作用.近年的高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重，不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，而其重要组成部分——基本不等式作为高考的8个C级考点之一，更是受到大家的高度重视.　　基本不等式ab≤a+b2≤a2+b22（a>0，b>0）沟通了两个正数的“和”、“积”与“平方和”之间的关系，利用它们可以解决求函数最值、不等式证明或者实际应用等问题，但由于其变形灵活，形式多样，给学生的解题带来一定的困难.本文将从以下三个方面阐述基本不等式的应用，希望能给高三学子提供一定的帮助.　　应用一、求函数的最值　　例1（1）函数f（x）=x·（1—3x）（0　　分析：条件是积，寻求和或平方和为定值.　　不难发现3x+1—3x=1为定值，因此适当变形即可使用基本不等式：由于0　　则1—3x>0，∴f（x）=3x·（1—3x）×13≤（3x+1—3x2）2×13=112，　　当且仅当3x=1—3x，即x=16时，函数取得最大值112.　　当然本题还可以展开后利用二次函数的单调性求得最大值.　　（2）求函数y=2x—1+5—2x（12≤x≤52）的最大值.　　分析：条件是和，寻求和或平方和为定值.　　由于（2x—1）+（5—2x）=4为定值，即平方和是定值，因此可将两个根式看做两个整体，由于a+b2≤a2+b22，则有a+b≤2·a2+b2　　故y≤2·2x—1+5—2x=22，当且仅当2x—1=5—2x，即x=32时函数取得最大值22.　　本题还可以用换元法解决：设2x—1=m≥0，5—2x=n≥0，则m2+n2=4，　　y=m+n，本题即转化成线性规划问题，同学们可以自行完成.　　（3）a，b∈R+，且a2+2b2=6，求a·1+b2的最大值.　　分析：目标是积，条件可看成平方和，但是不能直接使用公式a2+b2≥2ab，注意到条件中a2与b2的系数之比是1∶2，而目标中比值是1∶1，因此本题需要一定的配凑技巧：　　∵a，b∈R+，且a2+2b2=68=a2+（2+2b2）≥2a·2+2b2=22a·1+b2　　a·1+b2≤22，当且仅当a2=2+2b2a2+2b2=6 a=2b=1时，a·1+b2取得最大值22.　　本题也可以采用代入消元：将a2=6—2b2代入a·1+b2=a2·（1+b2）中，注意到a2>00　　总结：在求两个数的和、积或平方和的最值时，应该关注它们的另两种形式是否能取得定值，或者通过变形是否能取得定值.　　例2（1）a，b，x，y∈R，a2+b2=2，x2+y2=1，求ax+by的最大值.　　分析：很多同学会这样解答：ax+by≤a2+x22+b2+y22=2+12=32.这种解法使用了两次基本不等式，等号成立的条件是a=x且b=y，但是由于已知条件是a2+b2=2，x2+y2=1，不可能实现.　　为了让等号成立的条件一致，可以做适当变形：　　a22+b22=1，x2+y2=1a2·x+b2·y≤a22+x22+b22+y22=1ax+by≤2.　　当且仅当a2=x且b2=y时等号成立.　　本题还可以将已知式相乘：（a2+b2）·（x2+y2）=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2　　≥a2x2+b2y2+2abxy=（ax+by）2|ax+by|.　　∴|ax+by|≤2.　　本题还可以采用三角代换：　　设a=2cosα，b=2sinα，x=cosβ，y=sinβ，　　则ax+by=2cos（α—β）∈[—2，2]　　（2）x，y∈R+，x+2y=1，求x2y2+1xy的最小值.　　分析：由于1=x+2y≥22xy0　　总结：在使用基本不等式求解最值时，一定要关注等号成立的条件！　　应用二、证明不等式　　例3证明不等式：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2（a+b+c）.　　分析：初次接触这个轮换式，很多学生束手无策，但是始终抓住“和”、“积”、“平方和”，观察不等号两边的构成，其实并不难解决.利用公式a+b2≤a2+b22变形得：　　a2+b2≥22（a+b），同理：b2+c2≥22（b+c），c2+a2≥22（c+a），三式相加即得证，当且仅当a=b=c时等号成立.　　应用三、解决实际问题　　例4若直角三角形的周长为1，求面积的最大值.　　分析：设两条直角边为a，b，则a+b+a2+b2=1，条件是和与平方和，目标是求S=12ab的最大值.由于a+b≥2ab及a2+b2≥2ab，且等号成立的条件相同，故可以两次使用基本不等式：1=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab，　　则ab≤（12+2）2S=12ab≤12×（12+2）2=3—224.当且仅当a=b时等号成立，结合已知条件可解得：当两条直角边均为1—22时，三角形面积取得最大值3—224.　　例5为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.　　（1）求k的值及f（x）的表达式；　　（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值.　　解：（1）当x=0时，c=8，∴k=40，　　∴C（x）=403x+5，　　∴f（x）=6x+20×403x+5=6x+8003x+5（0≤x≤10）.　　（2）f（x）=2（3x+5）+8003x+5—10，　　设3x+5=t，t∈[5，35]，　　∴y=2t+800t—10≥22t·800t—10=70.　　当且仅当2t=800t，即t=20时等号成立.这时x=5，因此f（x）最小值为70.　　所以，隔热层修建5cm厚时，总费用f（x）达到最小，最小值为70万元.　　在使用基本不等式解决问题的过程中一定要注意以下几点：（1）“一正、二定、三相等”是前提；（2）适当使用“拆”“拼”“凑”等技巧；（3）除非等号成立的条件完全一致，否则尽量不要使用两次或两次以上的基本不等式.　　综上，许多貌似繁难的不等式问题，深入分析条件和结论的关系，对照基本不等式，恰当拼凑，可轻松获解，这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.　　不过，虽然基本不等式是高考中的C级考点，但是在高考复习时还是要控制难度，否则就很可能是做无用功，如：变元不超过两个，变量全是正数等.　　（作者：殷永霞，江苏省镇江中学）