09.简谐振动

《大学物理》练习题 No.9 简谐振动

班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________

一、选择题

1. 一质点作简谐振动, 振动方程为x = Acos(ωt ＋ϕ) ,当时间t =T / 2(T 为周期) 时, 质点的速度为 [ B ] (A) -A ωsin ϕ .

(B) A ωsin ϕ . (C) -A ωcos ϕ . (D) A ωcos ϕ.

2. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为 [ C ] (A) θ。 (B)

31

π。 (C) 0。 (D) π。 22

3. 一质点作简谐振动，周期为T 。质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 [ B ] (A)

T T T T (B) (C) (D) 41268

4. 一个质点作简谐振动，振辐为A ，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为下图中哪一图？ [ B ]

(A)

5. 同一弹簧振子按图10.1的三种方法放置, 它们的振动周期分别为T a 、T b 、T c (摩擦力忽略), 则三者之间的关系为 [ A ] (A) T a =Tb =Tc .

(B) T a =Tb >Tc . (C) T a >Tb >Tc .

(b ) (c ) (a ) (D) T a

(E) T a >Tb

6. 轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，

于是弹簧又伸长了∆x 。若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 [ B ] (A) T =2π

m 2∆x m 1∆x

(B) T =2π m 1g m 2g m 1∆x

(D) T =2πm 2g

(C) T =

12π

m 2∆x

m 1+m 2g

7. 把一个在地球上走得很准的摆钟搬到月球上, 取月球上的重力加速度为g /6,这个钟的分针走过一周, 实际上所经历的时间是 [ B ] (A) 6小时.

(B) 6小时. (C) (1/6)小时. (D) (6/6)小时.

二. 填空题

1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点. 已知周期为T , 振幅为A . (1)若t =0时质点过x =0处且朝x 轴正方向运动, 则振动方程为x = A cos(

2πt π

-) T 2

2πt π

+) T 3

(2)若t =0时质点处于x =A /2处且朝x 轴负方向运动, 则振动方程为x = A c o s

2. 一复摆作简谐振动时角位移随时间的关系为θ = 0.1cos(0.2 t +0.5), 式中各量均为IS 制, 则

刚体运动的角速度Ω=dθ /dt = 刚体振动的角频率ω = -0. 02s i n 0(. 2t +0. 5) 角速度的最大值Ωmax

3. 两个同频率余弦交流电i 1(t )和i 2(t )的曲线如图所示，则位相差ϕ2-ϕ1

4. 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T =

24

s ，用余弦函数描述时初相位7

ϕ=

-π。

23

5. 用40N 的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm 。此弹簧下应挂的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T =0. 2π(s) 。

6. 作简谐振动的小球, 振动速度的最大值为v m =3cm/s, 振幅为A=2cm, 则小球振动的周期为

49

π, 加速度的最大值为cm /s 2若以速度为正最大时作计时

23

3π

t -) . 22

零点, 振动表达式为 x =0. 02cos(

三. 计算题

1. 由质量为M 的木块和倔强系数为k 的轻质弹簧组成一在光滑水平台上运动的谐振子，如右图所示，开始时木块静止在O 点，一质量为m 的子弹以速率v 0沿水平方向射入木块并嵌在其中，然后木块(内有子弹) 作谐振动，若以子弹射入木块并嵌在木块中时开始计时，试写出系统的振动方程，取x 轴如图. 解：设系统的振动方程为：

x =A cos(ωt +ϕ)

子弹与木块碰的过程，动量守恒，得到，

mv 0=(M +m ) v

1122

碰后， (M +m ) v =kA

22

得到振幅，A =

mv 0k (M +m )

由条件，0=A cos ϕ，v =又，ω=

dx π

mv 0k k π

， 所以振动方程为，x =t +)

m +M m +M 2k (m +M )

2. 轻弹簧在60N 的拉力作用下伸长30cm ，现将质量为m 2=4Kg 的物体悬挂在弹簧下端并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后由静止释放并开始计时，以向下为正向。求： （1）物体的振动方程。

（2）物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对它的拉力。

（3）物体从第一次越过平衡位置起到它运动到平衡位置上方5cm 处所需最短时间。 解：取物体在平衡位置为坐标原点，且向上为正方向，

设物体的振动方程x =A cos(ωt +ϕ)

由于，轻弹簧在60N 的拉力作用下伸长30cm 所以由F =kx ，得到，

劲度系数k =200N /m 又角频率，ω=

k

=rad /s , m 2

由初始条件，0. 1=0. 1cos ϕ, 得到相位ϕ=0 所以，物体的振动方程x =0. 1t )

物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对它的拉力: F =kx =200⨯0. 15=30N

物体从第一次越过平衡位置起到它运动到平衡位置上方5cm 处所需最短时间应当小于四分之一个周期，

由旋转矢量法得到 最短时间t min =

2π 60

3. 一质量为m = 0.25kg的物体在弹性力作用下沿x 轴运动，弹簧的劲度系数k = 25N⋅m -1。 (1) 求振动周期T 和角频率ω。

(2) 如果振幅A = 15cm, t = 0时位移x 0 = 7.5cm, 且物体沿x 轴负方向运动，求初速度及

初相。

(3) 写出其振动方程。

解：由，kx =ma

d 2x k

设振动方程为2=x

m dt

从而角频率

ω=

2ππk

=s =10r a d /s 周期 T =ω5m

设 x =A cos (ωt +ϕ)

由，7. 5=15cos ϕ, 得到，相位ϕ=±

π

3

由于，速度v =-v A sin(ωt +ϕ) , 所以相位 ϕ=由能量守恒得到，

π

3

1212

kA =mv A , 所以，v A =1. 5m /s 22π3

3m /s 初速v 0=1. 5sin =-

34

⎛

⎝

振动的数值表达式x =0. 15cos 10t +

π⎫

⎪ 3⎭