导线测量的内业计算1
第三节 导线测量的内业
计算
导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x 、y 。
计算之前,应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全,有无记错、算错,成果是否符合精度要求,起算数据是否准确。然后绘制计算略图,将各项数据注在图上的相应位置,如图6-11所示。
一、坐标计算的基本公式
1.坐标正算
y
根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标,称为坐标正算。如图6-10
所示,
坐标增量计算 图6-10
已知直线AB 起点A 的坐标为(x A ,y A ),AB 边的边长及坐标方位角分别为D AB 和αAB ,需计算直线终点B 的坐标。
直线两端点A 、B 的坐标值之差,称为坐标增量,用Δx AB 、Δy AB 表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为:
∆x AB =x B -x A =D AB cos αAB ⎫
⎬
∆y AB =y B -y A =D AB sin αAB ⎭
(6-1)
根据式(6-1)计算坐标增量时,sin 和cos 函数值随着α角所在象限而有正负之分,因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。
表6-5 坐标增量正、负号的规律
则B 点坐标的计算公式为:
x B =x A +∆x AB =x A +D AB cos αAB ⎫
⎬
y B =y A +∆y AB =y A +D AB sin αAB ⎭
(6-2)
例6-1 已知AB 边的边长及坐标方位角为D AB =135. 62m ,αAB =80︒36'54'',若A 点的坐标为
x A =435. 56m ,y A =658. 82m ,试计算终点B 的坐标。
解 根据式(6-2)得
x B =x A +D AB cos αAB =435. 56m +135. 62m ⨯cos 80︒36'54''=457. 6y B =y A +D AB sin αAB =658. 82m +135. 62m ⨯sin 80︒36'54''=792. 6
2.坐标反算
根据直线起点和终点的坐标,计算直线的边长和坐标方位角,称为坐标反算。如图6-10所示,已知直线AB 两端点的坐标分别为(x A ,y A )和(x B ,y B ),则直线边长D AB 和坐标方位角αAB 的计算公式为:
22
D =∆x +∆y AB AB AB
(6-3)
∆y AB
αAB =arctan
∆x AB
(6-4)
应该注意的是坐标方位角的角值范围在0˚~360˚间,而arctan 函数的角值范围在-90˚~+90˚间,两者是不一致的。按式(6-4)计算坐标方位角时,计算出的是象限角,因此,应根据坐标增量Δx 、Δy 的正、负号,按表6-5决定其所在象限,再把象限角换算成相应的坐标方位角。
例6-2 已知A 、B 两点的坐标分别为
x A =342. 99m ,y A =814. 29m ,x B =304. 50m ,y B =525. 72m 试计算AB 的边长及坐标方位角。 解 计算A 、B 两点的坐标增量
∆x AB =x B -x A =304. 50m -342. 99m =-38. 49m
∆y AB =y B -y A =525. 72m -814. 29m =-288. 57m 根据式(6-3)和式(6-4)得
222
D AB =∆x 2+∆y =(-38. 49m) +(-288. 57m) =291. 13m AB AB
αAB
∆y AB -288. 57m
=arctan =arctan =262︒24'09''
∆x AB -38. 49m
二、闭合导线的坐标计算
现以图6-11所注的数据为例(该例为图根导线),结合“闭合导线坐标计算表”的使用,说明闭合导线坐标计算的步骤。
1=500.00m 1=500.00m
图6-11 闭合导线略图
1.准备工作
将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中,见表6-6,起算数据用单线标明。
2.角度闭合差的计算与调整
(1)计算角度闭合差 如图6-11所示,n 边形闭合导线内角和的理论值为:
∑βth =(n -2) ⨯180︒
(6-5)
式中 n ——导线边数或转折角数。
由于观测水平角不可避免地含有误差,致使实测的内角之和∑βm 不等于理论值∑βth ,两者之差,称为角度闭合差,用f β表示,即
f β=∑βm -∑βth =∑βm -(n -2) ⨯180︒
(6-6)
(2)计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值f βp 见表6-3和表6-4,其中图根导线角度闭合差的容许值f βp 的计算公式为:
f βp =±60''n (6-7)
如果f β>f βp ,说明所测水平角不符合要求,
应对水平角重新检查或重测。
如果f β≤f βp ,说明所测水平角符合要求,可对所测水平角进行调整。
(3)计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值,则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中,也就是每个水平角加相同的改正数v β,v β的计算公式为:
(6-8)
计算检核:水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反,即
v β=-
f β
n
∑v β=-f β
(4)计算改正后的水平角 改正后的水平角βi 改等于所测水平角加上水平角改正数
βi 改=βi +v β (6-9)
计算检核:改正后的闭合导线内角之和应为(n -2)×180˚,本例为540˚。
本例中f β、f βp 的计算见表6-5辅助计算栏,水平
角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。
3.推算各边的坐标方位角
根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角,按式(4-18)和式(4-19)推算其它各导线边的坐标方位角。
本例观测左角,按式(4-18)推算出导线各边的坐标方位角,填入表6-6的第五栏内。
计算检核:最后推算出起始边坐标方位角,它应与原有的起始边已知坐标方位角相等,否则应重新检查计算。
4.坐标增量的计算及其闭合差的调整
(1)计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长,按式(6-1)计算各边
的坐标增量。例如,导线边1-2的坐标增量为:
∆x 12=D 12cos α12=201. 60m ⨯cos 335︒24'00''=+183. 30m ∆y 12=D 12sin α12=201. 60m ⨯sin 335︒24'00''=-83. 92m
用同样的方法,计算出其它各边的坐标增量值,填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。
(2)计算坐标增量闭合差 如图6-12a 所示,闭合导线,纵、横坐标增量代数和的理论值应为零,
即
∑∆x th =0⎫
⎬
∑∆y th =0⎭
(6-10)
y
图6-12 坐标增量闭合差
实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调
∑∆y m 整后的残余误差,使得实际计算所得的∑∆x m 、
不等于零,从而产生纵坐标增量闭合差W x 和横坐标增量闭合差W y ,即
W x =∑∆x m ⎫⎬
W y =∑∆y m ⎭
(6-11)
(3)计算导线全长闭合差W D 和导线全长相对闭
合差W K 从图6-12b 可以看出,由于坐标增量闭合差W x 、W y 的存在,使导线不能闭合,1-1′之长度W D 称为导线全长闭合差,并用下式计算
22+W x y W D =
(6-12)
仅从W D 值的大小还不能说明导线测量的精度,衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将W D 与导线全长∑D 相比,以分子为1的分数表示,称为导线全长相对闭合差W K ,即
W D 1
K ==
∑D ∑D
D
(6-13)
以导线全长相对闭合差W K 来衡量导线测量的精度,W K 的分母越大,精度越高。不同等级的导线,其导线全长相对闭合差的容许值W K P 参见表6-3和表6-4,图根导线的W K P 为1/2 000。
如果W K >W K P ,说明成果不合格,此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查,必要时须重测。
如果W K ≤W K P ,说明测量成果符合精度要求,
可以进行调整。
本例中W x 、W y 、W D 及W K 的计算见表6-6辅助计算栏。
(4)调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将W x 、W y 反号,并按与边长成正比的原则,分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以v xi 、v yi 分别表示第i 边的纵、横坐标增量改正数,即
v xi
W x ⎫
=-⋅D i ⎪
⎪∑D
⎬W y
=-⋅D i ⎪
⎪∑D ⎭
(6-14)
v yi
本例中导线边1-2的坐标增量改正数为:
v x 12
W x -0. 30m
=-D 12=-⨯201. 60m =+0. 05m
1137. 80m ∑D
v y 12=-
W y
∑D
D 12
-0. 09m =-⨯201. 60m =+0. 02m
1137. 80m
用同样的方法,计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数,填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。
计算检核:纵、横坐标增量改正数之和应满足下
式
∑v x =-W x ⎫
⎬
v =-W y ⎭ ∑y
(6-15)
(5)计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数,即得各边的改正后的坐标增量。
∆x i 改=∆x i +v xi ⎫⎬
∆y i 改=∆y i +v yi ⎭
(6-16)
本例中导线边1-2改正后的坐标增量为:
∆x 12改=∆x 12+v x 12=+183. 30m +0. 05m =+183. 35m ∆y 12改=∆y 12+v y 12=-83. 92m +0. 02m =-83. 90m
用同样的方法,计算出其它各导线边的改正后坐标增量,填入表6-6的第9、10栏内。
计算检核:改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。
5.计算各导线点的坐标
根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的
坐标增量,按下式依次推算出各导线点的坐标:
x i =x i -1+∆x i -1改⎫
⎬
y i =y i -1+∆y i -1改⎭
(6-17)
将推算出的各导线点坐标,填入表6-6中的第11、12与原有的已知值相等,以作为计算检核。
表6-6 闭合导线坐标计算表
三、附合导线坐标计算
附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同,仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。
1.角度闭合差的计算与调整
(1)计算角度闭合差 如图6-13所示,根据起始边AB 的坐标方位角αAB 及观测的各右角,按式
'。 (4-19)推算CD 边的坐标方位角αCD
图6-13 附合导线略图
αB 1=αAB +180︒-βB α12=αB 1+180︒-β1
α23=α12+180︒-β2
α34=α23+180︒-β3
'=α34+180︒-βC +) αCD ' αCD
=αAB +5⨯180︒-∑βm
写成一般公式为:
'=α0+n ⨯180︒-∑βR (6-18)αfin
若观测左角,则按下式计算:
'=α0+n ⨯180︒+∑βL (6-19) αfin
附合导线的角度闭合差f β为:
'-αfin f β=αfin
(6-20)
(2)调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内,如果观测的是左角,则将角度闭合差反号平均分配到各左角上;如果观测的是右角,则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。
2.坐标增量闭合差的计算
附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差,即
∑∆x th =x fin -x 0⎫
⎬
∑∆y th =y fin -y 0⎭
(6-21)
纵、横坐标增量闭合差为:
W x =∑∆x -∑∆x th =∑∆x -(x fin -x 0) ⎫
⎬
W y =∑∆y -∑∆y th =∑∆y -(y fin -y 0) ⎭
(6-22)
图6-13所示附合导线坐标计算,见表6-7。
表6-7 附合导线坐标计算表
三、支导线的坐标计算
支导线中没有检核条件,因此没有闭合差产生,导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为:
1.根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。 2.根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。 3.根据各边的坐标增量推算各点的坐标。 五参考答案