数学在化学上的应用
数学在化学上的应用
牟中原
化学应用需要更多数学
化学语言的数学化
化学计算的数学技术
化学中的数学教育
化学应用需要更多数学
化学是一门很广泛的科学,如果以研究的范围来分,它包含了有机化学、无机化学、生物化学、物理化学及分析化学等。如再加上工程上的应用,化学工程又是很广泛的领域。
以上这些科目或多或少都会应用到一些数学;所以您问一个化学家,数学在化学上到底有些什麼用,您可能会得到许多全然不同的答覆──几乎全视个人经验而定。在这种状况下,笔者的看法自然也免不了受个人观点影响而有所偏好。但科学月刊之宗旨既在於科学生根的工作上,本文重点亦将放在数学与化学教育的关联。尤其现在大专的化学教育方针,似乎看重在培养化学之通才,则谈论此题目,我们也将儘量寻求大家都认為是现代化学领域中所共同需要的数学。
化学一直是一门实验科学,而在可见的将来,它也仍会以实验為中心,那数学又怎麼和它拉上关係的呢?这问题要从两方面来讲。
一方面,现代化学渐渐朝微观的方向探讨物质的组成、构造及反应,也就是从原子的观点来研究,所以受近代物理学很大的影响(无论是理论或实验上) ,其中主要是量子力学与统计力学的应用,它所採取的语言遂也有数学化的倾向。
另一方面,化学在实际上的应用,现在也越来越需要更严格定量的 (quantitative) 知识,举凡分析化学乃至化工计算,我们都需要更多更精确的化学计算工作,这就涉及到更多的应用数学。
所以数学在化学的应用大致可分為两个层次,其一是语言上的,其二是技术上的。前者是以数学化的语言来讨论化学上的问题,侧重观念性,后者则是以数学的技术来做更复杂的计算工作。本文将分别举例讨论,然后综结它们在化学教育上的问题。当然以上的分类并不是很
严格的,很多东西(譬如统计)在两个层次上都有运用,数学的应用本身是活的,它的分类在本文仅是為了讨论方便。
至於学好了数学是否就可成為一个好的化学家呢?我的看法是否定的。无论在数学语言或数学技术上来说,它在化学上到底只是一种工具而已,而不能取代化学本身。这就好比一个会说十国语言的人并不一定就是个语言学家,一个吹玻璃高手也并非一定是个好的化学实验者一样。而反过来说,一个很有能力的化学工作者,他的数学能力可能并不好。重要的是化学知识的全盘了解与运用,数学应只是帮助工具之一。但有一点是不可否认的,当一个化学工作者的数学能力越强时,他所能处理的问题也越多。在力求科际整合的将来,数学无疑将是一项更重要的利器。
化学语言的数学化
化学上一个很重要的问题是讨论化学键的形成与分子构造间的关係。自十九世纪末以来,人们就开始讨论原子之间结键的问题。在开始时人们只是画出分子的构造图;例如氯化汞的构造為 Cl-Hg-Cl ,汞与氯之间的化学键只用一条线来代表,对於化学键的构造与原子中电子的组态全然不清楚;氯化汞真正的立体形状也不清楚。而类似的二价的钡 (Ba) 所形成的氯化物,显然在化性和物性上与氯化汞有很大的不同,但為什麼不同则不很清楚,化学家尚缺乏一套完整的理论来了解它。及至1925年后,由於量子力学的发展,它在化学上有著神速的应用。现在连高中化学教科书里都有关於轨域、混成轨域及原子构造的介绍了。
拿上面的例子来说,汞与钡原子都有 6s2 的最外层电子组态,所不同之处是汞原子最低的空轨域是 6p ,当与氯原子形成氯化汞分子时,汞所用的混成轨域是 sp ,氯化汞的结构乃為线性的。而钡的最低的空轨域是 5d ,当与氯原子形成氯化钡分子时,钡所用的混成轨域中,也混入了相当部分的 d 轨城,所以氯化钡是非线性的结构,两个 Ba-Cl 键之间的夹角小於 180° 註1 。像这样的例子,在现代化学中的应用可说是家常便饭。要了解这些,我们就必须知道轨域的数学代表式,其对称性质等等。这在数学上就牵涉到线性代数,偏微分方程与群论的应用。值得注意的是在以上的例子里,数学通常并不是拿来作為计算的工具 註2 ,反而当作是一种定性的讨论方式,这是非常重要的一点。
又如自从1930年代以来,高分子化学有长足的发展,新的聚合体不断发明出来,已成為我们日常生活中重要的一环。这些高分子在溶液中有一共同的特性,亦即原子与原子在空间连续排列的形式可能很多,即使其分子量与化学结构完全相同也不例外。如图一中即显示出聚乙烯分子中六个碳部分的两种不同的构形 (comformation);对整个高分子来讲,其不同构形的数目更可达到天文数字之多,此时我们就不得不以统计的方法来表达它的形状或大小。
图一:聚乙烯分子中六个碳原子部份的两种不同构形。
譬如说,常常用来讨论高分子性质的一个量是高分子两端距离 r 的平方之平均值── ,它常常是与分子量成正比的。很多高分子物质的特性,如弹性、扩散係数、散光係数等都与 的值有密切关係,於是实验者為了解释他的结果,就必须用统计的语言来表达高分子的物性及化性。而更详细的由分子基本化学结构来计算高分子的 ,就涉及更多的统计学了。前几年诺贝尔奖化学奖得主 P.J. Flory 得奖原因之一,即在於他对高分子统计方面的贡献。 前面的例子说明了许多化学上的重要的问题,已发展到利用数学语言的方式来表达,所强调的主要是观念的建立。但另一方面,传统的化学在研究及应用时都要涉及到计算工作,这些计算虽随问题的复杂程度而应用到不同层次的数学,但基本上而言,数学在此只是帮助我们解决问题的工具,与化学问题的本身无太大的关联。举个例子说,如果我们要知道以下反应的速率,
其中 K1 是向右反应的速率常数,K2 是逆反应的速率常数。则反应速率可用下列微分方程表达:
再加上物质间平衡的关係,我们就可以计算反应速率。这个数学问题很简单,但实际世界里的反应往往难得多。
如果以上反应受温度影响,则我们需要考虑反应热传导的问题,再如物质本身扩散也影响温度。如果反应机构变得更复杂,写出来的方程式常常会是非线性的,那反应速率的求解就会变成很难的数学问题,得处理多变数的非线性偏微分方程式。这些问题常常是化学工程师所要面临的,无怪近年来化工课程中数学内容正逐渐加深。
前面大致提到了化学上的数学问题的几种例子,以及它们的特性。即使从这几个少数例子中,我们也可看到数学在化学的应用很广泛,举凡微分方程、线性代数、向量分析、群论、统计学都用得上。那麼化学的学生是否都得去学它们呢?又由谁来教呢?我想这一定也是随人的经验而并无定论。
国内与化学系相关的有应用化学系,农化系等,在大学课程标準中,实在不易订出一套「化学数学」的特别课程而符合共同的需要。现在教育部所规定,化学系的学生必须修习「化学数学」课程的方案,刚开始实施,这也许是一个好机会,我们不妨讨论此项课程的必要性及内容。
首先是谁来教的问题,是数学系的先生呢或化学系的先生?再者是内容范围多寡的问题。现在其他科系用到数学者,普遍都有各科系自己的师资来教数学,如电机、化工等莫不如此,反把专业数学家置於一边;「化学数学」的课程似乎也顺此潮流。但就化学来说,大部分的化学家至多只能算是个业餘数学家,这样能达成数学教育多方面的目的吗?又前面提到数学
的应用在化学上很多是属於观念性、语言性的。当我们学语言时,本就不会太计较它的应用范围,因此数学的讲授似乎也不必太过计较它需要应用到什麼东西上吧!
至於化学数学所应有的内容,我认為至少应包括微分方程、向量分析及一些线性代数的观念,至於更进一步的东西就要看各门的需要而定了。例如应用化学方面的应多一点数值分析的东西及加强偏微分方程,而物理化学或无机化学方面,群论倒是颇為重要的工具。