2014新课标新人教版实数经典例题及习题
经典例题
类型一.有关概念的识别
1.下面几个数:0. 23 ,1.010010001„,,3π,
,,其中,无理数的个
数有( )
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001„,3π, 故选C
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的是( ) A 、
的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、
=±1 D 、
是5的平方根的相反数
是无理数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵
=9,9的平方根是±3,∴A 正确.
=1,
是5的平方根,∴B 、C 、D 都不正确.
∵1的立方根是1,
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A ,则点A 表示的数是( )
A 、1 B 、1.4 C 、 D 、
,
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为由圆的定义知
|AO|=
【变式3】
,∴A 表示数为
,故选C .
【答案】∵π= 3.1415„,∴9<3π<10 因此3π-9>0,3π-10<0 ∴
类型二.计算类型题
A.
2.设
,则下列结论正确的是( )
B.
C.
D.
,所以选B
解析:(估算)因为
举一反三:
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27立方根是__________. 3
)
___________,
___________,___________.
【答案】1)
;.2)-3. 3),
,
【变式2】求下列各式中的 (1) 【答案】(1)
(2)
(3)
(2)x=4或x=-2(3)x=-4
类型三.数形结合
3. 点A 在数轴上表示的数为
,点B 在数轴上表示的数为
,则A ,B 两点的距离为______
解析:在数轴上找到A 、B 两点, 举一反三:
【变式1】如图,数轴上表示1,表示的数是( ).
的对应点分别为A ,B ,点B 关于点A 的对称点为C ,则点C
A .
-1 B.1-
C .2-
D .
-2
【答案】选C
[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
类型四.实数绝对值的应用
(1) |
(3) |
4.化简下列各式: -1.4| (2) |π-3.142| -| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解:(1) ∵ ∴|
=1.414„<1.4 -1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159„<3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵
<
, ∴|
-|=
-
(4) ∵x ≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明:这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对楚的认识,并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三: 【变式1】化简: 【答案】
=
+
-
这个绝对值的基本概念要有清
=
类型五.实数非负性的应用
5.已知:=0,求实数a, b的值。 不能为0,只能有
>0,则要求a+7>0,分子
+|a2-49|=0,
分析:已知等式左边分母
由非负数的和的性质知:3a-b=0且a 2-49=0,由此得不等式组
从而求出a, b的值。
解:由题意得
由(2)得 a 2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7,∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 举一反三:
+|y+2z|=0,求(x-y)3-z 3的值。
+|y+2z|=0
≥0, |y+2z|≥0,
【变式1】已知(x-6)2+ 解:∵(x-6)2
+ 且(x-6)2≥
0,
几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z 3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知
【答案】初中阶段的三个非负数: a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
那么a+b-c的值为___________ ,
类型六.实数应用题
6.有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ,宽为8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm 。 解:设新正方形边长为xcm , 根据题意得 x 2=112+13×8 ∴x 2=225 ∴x=±15
∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去, ∴只取x=15(cm)
答:新的正方形边长应取15cm 。 举一反三:
【变式1】拼一拼,画一画: 请你用4个长为a ,宽为b 的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下
的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)
积
(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?
(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时,大正方形的面积就比小正方形的面 多24cm 2,求中间小正方形的边长.
解析:(1)如图,中间小正方形的边长是:
,所以面积为=
, 。
,
(或
,,即
小正方形的边长:
,
大正方形的面积= 一个长方形的面积= 所以,
答:中间的小正方形的面积 发现的规律是: (2)
又
大正方形的边长:
)
大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
代入,得:
cm
所以有, 化简得:
将
答:中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七.易错题
7.判断下列说法是否正确
的算术平方根是-3; (2)
的平方根是±15.
(1)
(3)当x=0或2时, (4)是分数
解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数. 故 (2) 故
表示225的算术平方根,即的平方根是
. =
,显然此式无意义,
=15.实际上,本题是求15的平方根,
(3)注意到,当x =0时,
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x ≠0,所以当x =2时,x =0.
(4)错在对实数的概念理解不清
.
形如分数,但不是分数,它是无理数.
类型八.引申提高
8.(1)已知
的整数部分为a ,小数部分为b ,求a 2-b 2的值.
②
③
(2)把下列无限循环小数化成分数:①
(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分. 解:由
∴
的整数部分
a=5,
得 的小数部分
,
(2)解:(1) 设x= 则
②-①得 9x=6
①
②
∴
.
(2) 设 则 ②-①,得 99x=23
①
②
∴
(3) 设 则
②-①,得 999x=107,
①
②
.
∴
.
学习成果测评: A 组(基础)
一、细心选一选
1.下列各式中正确的是( )
A .
2.
B.
C.
D.
的平方根是( )
C. 2
D.
A .4
B.
3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
无理数。其中正确的说法有( )
A .3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4.和数轴上的点一一对应的是( )
A .整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数
5.对于
来说( )
A .有平方根 B .只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6.在
数
的个数有( )
A .3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7.面积为11的正方形边长为x ,则x 的范围是( ) A .
B.
C.
(两个“1”之间依次多1个“0”)中,无理
D.
8.下列各组数中,互为相反数的是( )
A .-2与 B. ∣-∣与
C. 与
D. 与
9.-8的立方根与4的平方根之和是( )
A .0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10.已知一个自然数的算术平方根是a ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( )
A .
B.
C.
D.
二、耐心填一填 11.
的相反数是________,绝对值等于
的数是________,∣
∣=_______。
12.的算术平方根是_______,=______。
13.____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。 14.已知∣x ∣的算术平方根是8,那么x 的立方根是_____。 15.填入两个和为6的无理数,使等式成立: ___+___=6。 16.大于
,小于
的整数有______个。
互为相反数,则a=______,b=_____。 =3,且ab 0,则a-b=______。
则A 、B 两点间的距离为______。
17.若∣2a-5∣与 18.若∣a ∣=6,
19.数轴上点A ,点B 分别表示实数
20.一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
三、认真解一解 21.计算 ⑴
⑵
⑶
⑷ ∣∣+∣∣ ⑸
×+×
⑹ 4×[ 9 + 2×()] (结果保留3个有效数字)
22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列,用“”号连接:
参考答案:
一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
二:11、 13、0;0, 17、9
,π-3 12、3, ;0,1 14、
15、答案不唯一 如:
16、5
18、-15 19、2 20、1,
三: 21、⑴
22、
⑵-17 ⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9
B 组(提高)
一、选择题: 1.
的算术平方根是 ( )
D .
A .0.14 B .0.014 C . 2.
的平方根是 ( )
A .-6 B .36 C .±6 D .± 3.下列计算或判断:①±3都是27的立方根;②
;③
的立方根是2;④
,
其中正确的个数有 ( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
4.在下列各式中,正确的是 ( ) A .
; B .
; C .
; D .
5.下列说法正确的是 ( )
A .有理数只是有限小数 B .无理数是无限小数 C .无限小数是无理数 D .
6.下列说法错误的是 ( ) A .
7.若 A .
B .
,且
,则
的值为 ( )
B .
C .2的平方根是
D .
是分数
C . D .
8.下列结论中正确的是 ( )
A .数轴上任一点都表示唯一的有理数; B .数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9.-27 的立方根与的平方根之和是 ( )
A .0 B .6 C .0或-6 D .-12或6
10.下列计算结果正确的是 ( )
A .
二.填空题: B . C . D .
11.下列各数:①3.141、②0.33333„„、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.[1**********]03„„(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、⑧0中, 其中是有理数的有 __________;无理数的有__________.(填序号)
12.的平方根是__________;0.216的立方根是__________.
13.算术平方根等于它本身的数是__________;立方根等于它本身的数是__________.
14. 的相反数是__________;绝对值等于的数是__________.
15.一个正方体的体积变为原来的27倍,则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题:
16.计算或化简:
(1)
(2) (3)
(4)
17.已知
(5) (6) ,且x 是正数,求代数式的值。
18.观察右图,每个小正方形的边长均为1,
⑴图中阴影部分的面积是多少?边长是多少?
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。
参考答案:
一、选择题:
1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B
二.填空题:
11、①②⑤⑥⑧;③④⑦. 12、
三、解答题:
16、计算或化简: ;0.6. 13、;. 14、;
. 15、3.
(1)
(2) (3)
(4) (5) (6)
17、解: 25x 2=144
又∵x 是正数
∴x=
∴
18、解:①图中阴影部分的面积17,边长是
②边长的值在4与5之间
③