由柯西中值定理证明讨论函数的若干应用
一些问题在计算或证明时,直接去做可能很难求出答案,但是通过构造辅助函数去进行计算或证明则可以让问题简单化。就拉格朗日中值定理和柯西中值定理而言,作为微分学中重要的定理,就是通过构造辅助函数及利用罗尔中值定理的结论来证明的。本文用几种不同的方法来证明柯西中值定理,并研究辅助函数在数学中的几点应用。 一、柯西中值定理证明 定理设函数f和g满足:(i)在[a,b]上都连续;(ii)在(a,b)上都可导;(iii)f`(x)和g`(x)不同时为零;(iv)g(a)≠g(b).则存在ξ∈ (a,b),使得[f`(ξ)]/g`(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] 证法一 积分法。分析由于结果非常容易积分,故我们将 换为 ,则结论变形为[f`(x)]/g`(x)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], 积分可得f(x)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)][g(x)+c],利用常数变易法:f(x)= [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)][g(x)+c(x)], 则可得辅助函数c(x)=f(x)- [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]g(x),此辅助函数c(x)同样满足罗尔定理条件,同理可证。 证法二k值法。分析由于[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]是含有区间端点值的对称式,设[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=k(为常数),变形为f(b)-kg(b)=f(a)-kg(a),从而可考虑辅助函数F(x)=f(x)-kg(x)显然F(x)=f(x)-kg(x),满足罗尔定理的各个条件, 则,使得F`(ξ)=f`(ξ)-kg`(ξ)=0,定理得证。 证法三几何直观法。分析 柯西中值定理有着和罗尔中值定理,拉格朗日中值定理相类似的几何意义,只是现在把 这两个函数写作以 为参量的参量方程, 在平面上表示一段曲线, 如图直线AB方程y(x)=f(a)+[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)][g(x)-g(a)],作辅助函数F(x)=f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] [g(x)-g(a)]},易见F在[a,b]上满足罗尔条件,故存在ξ∈(a,b),使得F`(ξ)=f(ξ)- [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)].g`(ξ)=0,由g`(ξ)≠0.则命题得证。 二、辅助函数的应用 1、在数学分析中的应用 (i)在微分学习中求一些命题。例1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.则对于R内的任意常数k,在(a,b)内至少存在一点ξ,使f`(ξ)=kf(ξ). 证明 作辅助函数c(x)=f(x)e-kx,则 c`(x)=f`(x)e-kx-kf(x)e-kx=[f`(x)-kf(x)]e-kx, 易知c(x)满足罗尔定理条件,故在(a,b)内至少存在一点ξ,使得c`(x)=e-kξ[f`(ξ)-kf(ξ)] ,即f`(ξ)=kf(ξ). (ii)求数列极限或判断级数的敛散性。例2 求 解 因为 ,作辅助函数,显然在[0,1]可积,把[0,1]作n等分,记分点为 , ,于是,则 ; 例3 判断级数的敛散性。 分析 此题若用常见的比较判别法和比值判别法很难奏效,这时我们可设一个辅助 ,则 , 内严格单调减,则 ; ; 由以上不等式可得 , 而 所以级数发散. 2、在初等数学中的应用 (i)不等式问题 例4 证明有不等式abc>a+b+c-2. 证明 设f(x)=xbc-(x+b+c-2)=(bc-1)x+(2-b-c),x∈(-1,1),因为f`(x)=bc-10, 所以 ,有f(x)>0,则f(a)>0,即abc>a+b+c-2. 例5当a>b>0时,(1+a+a2+Λ+an-1)/(1+a+a2+Λ+an) 证明 设f(x)=(1+x+Λ+xn-1)/(1+x+Λ+xn), x∈(0,∞).则f`(x)=[(1+2x+Λ+(n-1)xn-2)(1+Λ+xn)-(1-2x+Λ+nxn-1)(1+x+Λ+xn-1)]/(1+x+x2+Λ+xn)2, 分子化简可得:(1+2x+Λ+(n-1)xn-2)xn-nxn-1(1+x+Λ+xn-1) 故f`(x)b>0,所以(1+a+a2+Λ+an-1)/(1+a+a2+Λ+an) (ii) 函数分解因:例6已知a+lga=10,b+10b=10,则求a+b.分析 解出 显然不太可能,联想到y=lnx与y=10x互为反函数,a+lga=10可写成lga+10lga=10,这与b+10b=10结构相同,则利用辅助函数f(x)=x+10x,易知f(x)在R上单调增,而f(lga)=f(b)=10,所以lga=b,从而a+b=a+lga=10。 从上面对柯西中值定理的讨论中可以知道该定理对函数的研究方面有着广泛的应用,通过做辅助函数来研究问题往往可以是问题变得“柳暗花明”。 作者单位:徐州师范大学数学科学学院 参考文献 [1]张家秀.关于构造辅助函数的几种方法[J].高等理科教育.2003.3:126―128. [2]王开帅.构造辅助函数计算行列式[J].高等数学研究.2004.7(4):26―30.
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