导数的几何意义习题课
导数的几何意义
一、知识要点填空:
1.对于函数f (x ) 的曲线上的定点P (x 0, y 0) 和动点P n (x n , f (x n )) ,直线PP n 称为这条函数曲线上
过P 点的一条__________;其斜率k n =_________________;当P n →P 时,直线PP n 就无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为过P 点的__________;其斜率k = _____________(其中∆x =x n -x 0),切线方程为_________________;过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条,而割线可以作_______条。
2.函数的导数的几何意义是。
3.当函数f (x ) 在x =x /0处的导数f (x 0) >0,函数在x 0附近的图像自左而右是__________的,并且f /(x 0) 的值越大,图像上升的就越________;当函数f (x ) 在x =x /0处的导数f (x 0)
f /(x 0) =0,函数在x 0附近几乎______________________。 二、典型例题:
例1. 已知点M (0, -1),F (0, 1),过点M 的直线l 与曲线y =
13
x 3
-4x +4在x =2处的切线平行。 (1)求直线l 的方程;(2)求以点F 为焦点,l 为准线的抛物线C 的方程。
例2.已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2
+8x -8,则曲线y =f (x ) 在点(1,f (1)) 处
的切线方程是( )(A )y =2x -1 (B )y =x (C )y =3x -2 (D )y =-2x +3
例3.已知函数f (x ) =
ax -6
x 2+b
的图象在点M (-1,f (x ) )处的切线方程为x +2y+5=0. (1)求函数y=f (x ) 的解析式; (2)求函数y=f (x ) 的单调区间.
例4.已知函数f (x ) =(x 2+ax -2a 2+3a ) e x (x ∈R ),
(1)当a =0时,求曲线y =f (x ) 在点(1, f (1))处的切线的方程; (2)当a ≥2时,求函数f (x ) 的单调区间。
练习题 1. 曲线y =
x
x -2
在点(1,-1) 处的切线方程为 (A ) y =x -2 (B ) y =-3x +2 (C ) y =2x -3 (D ) y =-2x +1
2. 设曲线y =
x +1
x -1在点(3,
2) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a =( ) A .2 B .12 C .-1
2
D .-2
3.抛物线y =x 2上点M(12,1
4
) 的切线倾斜角是( )
A .30° B .45° C .60° D .90° 4.一质点做直线运动, 由始点起经过st 后的距离为s =
14
t 4
-4t 3+16t 2, 则速度为零的时刻是( ) A.4s末 B.8s末 C.0s与8s 末 D.0s,4s,8s末 5.过曲线y =x 3
-3x 2
上的点(0,0)的切线方程是( )。
A .y =0 B .9x +4y =0 C .y =0y=0或9x +4y =0 D .无切线 6.已知曲线y =
12x 2-2上一点P (1, -3
2
) ,则过点P 的切线的倾斜角为( ) A . 30
B . 45
C . 135
D . 165
7.曲线y =x 3
+x -2在P 点处的切线平行于直线y =4x -1,则此切线方程为( ) A .y =4x B .y =4x -4 C .y =4x +8 D .y =4x 或y =4x -4
作业
4
1.已知曲线y =在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为,则直线l 的方程为( )
x
A .4x -y +9=0或4x -y +25=0 B 。4x -y +9=0 C .4x +y +9=0或4x +y -25=0 D .以上都不对 2.在函数y =x 3-8x 的图象上,其切线的倾斜角小于导数的应用
一、知识要点:
1.函数的单调性与导数的关系:在某个区间(a , b ) 内,如果f ' (x ) >0,那么函数y =f (x ) 在这个
区间内单调递增;如果f ' (x )
π
的点中,坐标为整数的点的个数是 4
A .3 B .2 C .1
D .0
3.曲线y =
13x 3+x 在点⎛ ⎝14⎫
3⎪⎭
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A .
1 B .2 C .1 D .
2
993 3
4.曲线y =e x 在点(2,e 2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为:
A.92
4
e 2
B.2e
C.e 2
D.e 2
2
5.函数f (x ) =x 3
+4x +5的图象在x =1处的切线与圆x 2
+y 2
=50的位置关系是( A. 相切 B. 相交但不过圆心 C. 过圆心 D. 相离 6.已知直线y =kx 是y =ln x 的切线,则k=( ) A.e
B .-e
C .
1
e
D .-
1e
7.函数y =cos 2x 在点(,0) 处的切线方程是( ) A .4x +2y +π=0 B .4x -2y +π=0 C .4x -2y -π=0 D .4x +2y -π=0
8. 曲线y =xe x
+2x +1在点(0,1)处的切线方程为。
9. 若曲线f (x )=ax 2
+Inx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是
10. 设曲线y =e ax
在点(0,
1) 处的切线与直线x +2y +1=0垂直,则a =.
(1)确定函数y =f (x ) 的定义域; (2)求导数y ' =f ' (x ) ;(3)解不等式f ' (x ) >0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f ' (x )
(1)求导数f '
(x );(2)判断f '
(x )在(a , b )内符号;(3)结论:f '
(x )>0为增函数,f '
(x )
就说 f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极大值,记作y 极大值=f (x 0) ,x 05. 极小值:一般地,设函数f (x ) 在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f (x ) >f (x 0) ,
就说f (x 0) 是函数f (x ) 的一个极小值,记作y 极小值=f (x 0) ,x 0极大值与极小值统称为极值;极大值点与极小值点统称为极值点。 6. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f '(x 0) =0,且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号,则x 0是f (x ) 的极值点,f (x 0) 是极值,并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”,则x 0是f (x ) 的极大值点,f (x 0) 是极大值;如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”,则x 0是f (x ) 的极小值点,f (x 0) 是极小值 7. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤: (1)确定函数的定义域,求导数f '
(x ) ;(2)求方程f '
(x ) =0的根;(3) 用方程f '
(x ) =0的根,顺次将函数定义域分成若干小开区间,并列成表格,检查f '
(x ) 在方程
根左右的符号,如果左正右负,那么f (x ) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f (x ) 在这个根处无极值。
)
8.一般地,在闭区间[a , b ]上函数 y =f (x ) 的图像是一条连续不断的曲线,那么函数
y =f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值.
9.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值;⑵将f (x ) 的各极值与端点处的函数值f (a ) 、f (b ) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
二、典型例题
例1.已知f (x ) =ln(x +1)-x .⑴求函数f (x ) 的单调递减区间;⑵若x >-1,证明:
1-1
x +1
≤ln(x +1) ≤x 。
例2.设f (x ) =ax 3+bx 2+cx 的极小值为-8, 其导函数y =f ' (x ) 的图像经过点(-2, 0), (23
, 0), 如图所示。 (1)求f (x ) 的解析式;(2)求函数的单调区间和极值; (3)若x ∈[-3, 3]都有f (x ) ≥m 2-14m 恒成立,求实数m 的取值范围.
练习:1。设函数f (x ) =x 2
e x -1
-1x 3-x 2与g (x ) =2
x 3-x 233
,试比较f (x ) 与g (x ) 的大小.
2.已知f (x ) =x3+ax2
+bx+c, 在x =1与x =-2时,都取得极值。⑴求a ,b 的值; ⑵若x ∈[-3, 2]都有f (x )>1c -1
2
恒成立,求c 的取值范围。
例3.设函数f (x ) =-
13
x 3
+2ax 2-3a 2x +b , (0
例4.已知a ∈R ,f (x ) =(x 2
-4)(x -a ) 。⑴求导数f '(x ) ;⑵若f '(-1) =0,求f (x ) 在[-2, 2]上
的最大值和最小值;⑶若f (x ) 在(-∞, -2]和[2, +∞)上都是递增的,求a 的取值范围。
作业
1
x -ln x (x >0), 则y =f (x ) ( ) 3
11
A 在(,1),(1,e ) 内均有零点。 B在(,1),(1,e ) 内均无零点。
e e 11
C 在(,1) 内有零点,在(1,e ) 内无零点。D 在(,1) 内无零点,在(1,e ) 内有零点。
1. 设函数f (x ) =
9.已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的导数为f '(x ) ,f '(0)>0,对于任意实数x 都有f (x ) ≥0,则
53f (1)
的最小值为 A .3 B . C .2 D .
22f '(0)
10. 设f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数,y =f '(x ) 的图象如图所示,则y =f (x ) 的图象最有可能 的是( )
e e
2. 若f (x ) =-12
x 2
+b ln(x +2) 在(-1,+∞) 上是减函数,则b 的取值范围是
A. [-1, +∞) B. (-1, +∞) C. (-∞, -1] D. (-∞, -1)
3. 设a ∈R ,若函数y =e ax +3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则( ) A .a >-3 B.a -1
D.a
4.若函数f (x ) =x 3+ax -2在区间(1, +∞) 内是增函数,则实数a 的取值范围是 A. (3, +∞) B. [-3, +∞) C. (-3, +∞) D. (-∞, -3)
5.函数f (x ) =x 3
-3bx +3b 在(0,1)内存在极小值, 则下列关系成立的是 ( )
A. b >0
B. 0
D. 0
1
2
6.
函数y =e - ( )
(A)
(B)
(C)
7.已知函数
f (x ) =
ln a +ln x
x
在[1, +∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是(
A.
0
e
B. 0
8. 函数y =f (x ) 的图象如图所示,则导函数y =f '(x ) 的图象可能是( )
11.已知函数y =f (x ) ,y =g (x ) 的导函数的图象如下图,那么y =f (x ) ,y =g (x ) 图象可能是( )
)
12.设函数f (x ) 在定义域内可导,y =f (x ) 的图象如图1所示,则导函数y =f '(x ) 可能为( )
A
B C D
13.f (x ), g (x ) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x
f (-2) =0, 则不等式f (x ) g (x )
A .(-2,0)∪(2,+∞) B .(-2,0)∪(0,2)
C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-∞,-2)∪(0,2)
14.设函数14f (x ) =+ϕ)(0
15. 设x =1与x =2是函数f (x ) =a ln x +bx 2
+x 的两个极值点. 则常数a = .
(
32
16.设f (x ) =x -x -2x +5,当x ∈[-1, 2]时,f (x )
1
2
17.已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,f (1) =0,
x f '(x ) -f (x )
>0(x 2
x
,则不等式>0)
x 2f (x ) >0的解集是
18.如果函数y =f (x ) 的导函数的图像如右图所示,给出下列判断: (1) 函数y =f (x ) 在区间(3, 5)内单调递增; (2) 函数y =f (x ) 在区间 -
⎛1⎫
, 3⎪内单调递减;
⎝2⎭(3) 函数y =f (x ) 在区间(-2, 2)内单调递增; 1(4) 当x =-时,函数y =f (x ) 有极大值;
2
(5) 当x =2时,函数y =f (x ) 有极大值。则上述判断中正确的是。
19. 已知函数
f (x ) =(x 2+ax -2a 2+3a ) e x (x ∈R ), 其中a ∈R
y =f (x ) 在点(1, f (1))处的切线的斜率;
(1) 当a =0时,求曲线(2) 当a ≠
2
时,求函数f (x ) 的单调区间与极值。 3