辅助角公式在解物理极值问题中的应用
辅助角公式在解物理极值问题中的应用
辅助角公式
对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a^2+b^2)(acosx/Sqrt(a^2+b^2)+bsinx/Sqrt(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/Sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/Sqrt(a^2+b^2)
∴acosx ＋bsinx ＝Sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b)) 这就是辅助角公式．
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=b/a) 以下是证明过程：
设asinA+bcosA=xsin(A+M)
∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA) 由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x ∴x=√(a^2+b^2)
∴asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a
辅助角公式
asinα+ bcosα= sin(a+φ)，其中tanφ=b/a，其终边过点（a, b）， asinα +bcosα= cos(a-φ)，其中tanφ=a/b，其终边过点（b,a ）
例4．一物体质量为m ，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
解析：设拉力与斜面的夹角为θ，物体的受力分析，如图5所示。 由物体的平衡条件可得：
Fcos θ— f = 0 ① F N —mgcos θ= 0 ②
又因f=μF N ③
由①②③式得：
F cos θ-μ(mg cos α-F sin θ) -mg sin α=0
图5
即：F =
(sinα+μcos α) mg
cos θ+μsin θ
由数学知识，上式中分子值一定，当分母cos θ+μsin θ最大时，分数值F 最小。由辅
2
助角公式，cos θ+μsin θ=+μsin （θ+β），其中tan β=1/μ，当sin （θ+β）=1时，
2
cos θ+μsin θ最大，此时θ+β=90°，cos θ+μsin θ的最大值是+μ，
22
（即cos θ+μsin θ满足cos θ+μsin θ=+μsin(β+θ) ）≤+μ)
拉力的最小值：F min =
(sinα+μcos α) mg
+μ
2
例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？
该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，
但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。 解：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即F cos θ-f =0……①
N +F sin θ=G ……② f =μN …………③
由联立①②③解得：
F =
μG μG μG
, ==
22μsin θ+cos θ+μ(sinθcos φ+cos θsin φ) +μsin(θ+φ)
1
其中tan φ=
μ
, ∴F min =
μ+μ
2
G
2
2
说明1：y =a sin θ+b cos θ的最大值为a +b 。
说明2：对于例题4，我们也可用矢量知识求解： F
将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F' ，如图，F ’与竖直方向的夹角为tan φ=
f
=μ（为一定值）。这样木块f N
4
G
可认为受到三个力:重力G, 桌面对木块的作用力F' 和拉力F 的作用。尽管F 大小方向均未确定，F ’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为F =G sin φ，
tan φμμG
=i s φ=而sin φ=，故F =G n 222
+tan φ+μ+μ
在倾角为θ的斜面上, 水平放置一段通有电流强度为I, 长为L, 质量为m 的导体棒a,(通电方向
垂直纸面向里), 如图所示, 棒与斜面间动摩擦因数为μ(μ
设当安培力与斜面成α角时B 最小, 则由平衡条件得：
N=mgcosθ＋BILsin α． mgsin θ＝μN ＋BILcos α
B =
mg (sin θ-μcos θ)IL cos α+μsin α=
mg sin θ
-μcos θ∴当α＋β=90°时, sin（α＋β）最大，B 最小
B min =
mg sin θ-μcos θ