上海初中数学因式分解
因式分解 换元法与十字相乘法
【知识要点】
1．换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原。
2．双十字相乘法：对于某些二元二次六项式ax 2+bxy +cy 2+dx +ey +f ，可以看作关于x 的二次三项式ax 2+(by +d ) x +cy 2+ey +f ，先用十字相乘法将“常数项”cy 2+ey +f 分解为
(g 1y +h 1)(g 2y +h 2) ，再次利用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。
3. 主元法：在解多元变换时，选择其中的某个变元为主要元素，视其他变元为常量.
【典型例题】
例1 将下列各式分解因式。
（1）6x 2+xy -y 2 （2）7x 2+41xy -6y 2
（3）2x 2-5xy -3y 2 （4）12x 2-5xy -2y 2
例2 将下列各式分解因式。
（1）(x 2-x -3)(x 2-x -5) -3 （2）(x 2+x +1)(x 2+x +2) -12
（3）(x 2+5x +6)(x 2+7x +6) -3x 2
例3 将下列各式分解因式。
（1）(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 （2）(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3) -90
（3）(a +b -2ab )(a +b -2) +(1-ab ) 2
例4 （1）3x 2+4xy -4y 2+8x -8y -3 （2）3x 2-7xy -6y 2+7x +12y -6
例5 （1）x (x +1)(x -1) +xy (x -y ) -y (y +1)(y -1) （2）(x +y )(x +y +2xy ) +(xy +1)(xy -1)
例6 .a 2+4b 2+c 4+4ab +2ac 2+4bc 2-1
1
例7. 分解因式xy (xy +1) +(xy +3) +2(x +y +) -(x +y -1) 2
2
例8分解因式(1+x +x 2
+x
3)
2
-x 3
例9. 6x 2-25xy +9x +11y +14y 2-15
1．（1）2x 2+5x -3
（3）12x 2+5x -3
（5）63x 2+2x -1
（7）21x 2+31x -42
2．分解下列因式
（1）x 2+(a +1
a
) xy +y 2 （a ≠0）
3．（1）(x 2-x -3)(x 2-x -5) -3 2）2x 2-5x -12 4）2x 2-9x -35 6）48x 2+22x -15 （8）35x 2+23x -6 （2）x 2+(a +1) x -(6a 2-13a +6)
（2）(x 2+5x +6)(x 2+7x +6) -3x 2练习
（（（
4．（1）(x 2+4x +8) 2+3x (x 2+4x +8) +2x 2 （2）(3-p ) 2-5(p -3) -14
22
⎤⎡x -4x +3x （3）⎡⎣⎦⎣-4x -12⎤⎦+56
5．（1）(x 2+8x +15)(x 2+8x +7) +15 （2）(x 2+x +1)(x 2+x +2) -12
6. 已知x =a +
a 2+2002a +2003 7. 因式分解 a 4+2003
131
, x -2x 2-3x +6=0, 求a 2+2+2的值。 a a
8. 因式分解(x 2+3x +12)(x 2+7x +12) -120
因式分解课前小测
1. （1）x 2+3x +2=__________________ （2）x 2-3x +2=_____________________ （3）x 2+x -2=___________________ （4）x 2-x -2=______________________ （5）x 2+7x +6=__________________ （6）x 2-7x +6=_____________________ （7）x 2+6x -7=__________________ （8）x 2-6x -7=_____________________ （9）x 2-2x -48=_________________ （10）x 2+6x -27=___________________ （11）x 2+x -20=_________________ （12）x 2+4x -21=____________________ 2. （1）x 2-xy -2y 2=________________ （2）x 2+xy -42y 2=_________________ （3）x 2+2xy -3y 2=_______________ （4）x 2+8xy +15y 2=_________________ （5）x 2-2xy -8y 2=________________ （6）x 2+2xy -63y 2=_________________ （7）2x 2-xy -y 2=_________________ （8）4x 2-xy -5y 2=__________________ 3．若x 2+x +1=0, 则x 4+x 2+1=__________________。
4．(2+1)22+124+128+1=____________________。
2
5． (x -y )-12z (x -y )+36z 2 6. x 3+3x 2+3x +2
()()()
7． x 3-3x 2+4 8. x 5+x +1
9．m 2-1n 2-1+4mn
10． 4x 4y 4-
1
xy 11．ab c 2+d 2+cd a 2+b 2 2
()()
()()
12．c 2-b 2+d 2-a 2
14．（1）x 2+2xy -x -y +y 2-2 （2）x 2-2xy +3x -3y +y 2+2
（3）2x 2+3xy +y 2-x -2y -3 （4）x 2-(m 2+n 2)x +mn (m 2-n 2)
15．求出在1到100之间的整数，使x 2+x -n 能分解为两个整系数一次因式的乘积。
16 . 若x 2-4x +4+y 2-
2111
y +=0, 求x +及x 2+2的值 39y y
()
2
2
-4(ab -cd ) 13. n 4+4