二次函数知识点
一、二次函数概念:
b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做1.二次函数的概念:一般地,形如y =ax 2+bx +c (a ,
c 可二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a ≠0,而b ,
以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数y =ax 2+bx +c 的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.
b ,c 是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. ⑵ a ,
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式y =a (x -h )+k 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ,确定其顶点坐标(h , k );k )处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变,将其顶点平移到(h ,
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴y =ax +bx +c 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,y =ax +bx +c 变成
2
2
y =ax 2+bx +c +m (或y =ax 2+bx +c -m )
⑵y =ax 2+bx +c 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,y =ax 2+bx +c 变成
y =a (x +m ) 2+b (x +m ) +c (或y =a (x -m ) 2+b (x -m ) +c )
四、二次函数
y =a (x -h )+k
2
2
y =ax +bx +c 的比较 与
从解析式上看,y =a (x -h )+k 与y =ax 2+bx +c 是两种不同的表达形式,后者通过配b ⎫4ac -b 2b 4ac -b 2⎛
方可以得到前者,即y =a x +⎪+,其中h =-,. k =
2a 4a 2a 4a ⎝⎭
2
2
六、二次函数y =ax 2+bx +c 的性质
⎛b 4ac -b 2⎫b
1. 当a >0时,抛物线开口向上,对称轴为x =-,顶点坐标为 -⎪.
2a 4a 2a ⎝⎭
当x
b b b
时,y 随x 的增大而减小;当x >-时,y 随x 的增大而增大;当x =-2a 2a 2a
4ac -b 2
时,y 有最小值.
4a
⎛b 4ac -b 2⎫b
2. 当a
2a 4a 2a ⎝⎭
x
b b b
时,y 随x 的增大而增大;当x >-时,y 随x 的增大而减小;当x =-时,y 2a 2a 2a
4ac -b 2
有最大值.
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);
2. 顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a ,h ,k 为常数,a ≠0);
3. 两根式:y =a (x -x 1)(x -x 2) (a ≠0,x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写
成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b 2-4ac ≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y =ax 2+bx +c 中,a 作为二次项系数,显然a ≠0.a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.
ab 的符号的判定:对称轴x =-
b
在y 轴左边则ab >0,在y 轴的右侧则ab
概括的说就是“左同右异”
3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要a ,
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
一元二次方程ax 2+bx +c =0是二次函数y =ax 2+bx +c 当函数值y =0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:
①当∆=b 2-4ac >0时,图象与x 轴交于两点A (x 1,其中的x 1,x 2是0),B (x 2,0)(x 1≠x 2) ,
一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠
0)的两根.这两点间的距离AB =x 2-x 1=②当
2
∆=0时,图象与x 轴只有一个交点;③当∆0时,图
象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y >0;2' 当a
2. 抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,c ) ; 3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
b ,b ,⑶根据图象的位置判断二次函数y =ax 2+bx +c 中a ,或由二次函数中a ,c 的符号,
c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.