串联超前校正的计算方法

完成一个控制系统的设计任务，往往需要经过理论和实践的反复比较才可以得到比较合理的结构形式和满意的性能，在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正、超前滞后校正这三种类型，也就是工程上常用的PID 调节器。本次课设采用的超前超前校正的基本原理是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相角裕度，提高系统稳定性能等，而由于计算机技术的发展，matlab 在控制器设计，仿真和分析方面得到广泛应用。本次课设采用用Matlab 软件对系统进行了计算机仿真，分析未校正系统的动态性能和超前校正后系统是否满足相应动态性能要求。

超前校正就是在前向通道中串联传递函数为:

G c (s )=

C (s )R (s )

=

1aTs +1

⋅

a Ts +1

其中：

T =

R 1R 2R 1+R 2R 1+R 2

R 2

C

a =

>1

通常 a 为分度系数,T 叫时间常数, 由式(2-1)可知, 采用无源超前网络进行串联校正 时, 整个系统的开环增益要下降 a 倍, 因此需要提高放大器增益交易补偿. 如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增 益所补偿，则

Ts +1

上式称为超前校正装置的传递函数。无源超前校正网络的对数频率特性如图6-4。

aG c (s )=

aTs +1

图6-4无源超前校正网络的对数频率特性

显然，超前校正对频率在1/aT 和1/T之间的输入信号有微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。因此

超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统的稳定性等。

下面先求取超前校正的最大超前相角ϕm 及取得最大超前相角的频率ω，则像

m

频特性：

ϕ

c (ω

)

=arctanaTω-arctanT ω

aT T

22

()+T ω1+a T ω1

当d ϕ

e (ω

d ϕc (ω)d ω

()

)

d ω

=0,

则有：

1a T

ωm =

从而有：

111

ϕ=-=a -m

a T a T a

a -

1

a -1a -1a ==1a +1a a

a -1

m

=1+a

既当

ωm =

1a T

时，超前相角最大为

ϕm =a +1，可以看出ϕ只与a 有关

这一点对于超前校正是相当重要的 超前校正RC 网络图如图

2。

图2超前校正RC 网络图

利用超前网络进行串联校正的基本原理，乃是利用超前网络相角超前特性。只要正确地将超前网络的交接频率1/aT和1/T设置在待校正系统截止频率

ωc

的

两边，就可以使已校正系统的截止频率到改善系统动态性能的目的。

串联超前校正设计的一般步骤为

ωc

'

和相裕量满足性能指标要求，从而达

（1）根据稳态误差要求，确定开环增益K 。

（2）在已确定K 值条件下，计算未校正系统的相裕量。 （3）根据指标要求，确定在系统中需要增加的相角超前量。 （4）确定a 值及－

L m

L m

值，在未校正系统的对数幅频特性曲线上找到幅值等于

ωc

'

点所对应的频率，即为

，这一频率为所选网络的ωc ，并且在此频率上

将产生最大超前相角值ϕm 。

（5）确定超前网络的交接频率ω1＝1/aT，ω2＝1/T。 （6）验算。

二、原系统分析

设单位反馈系统的开环传递函数为：G (s ) =

5

s (s +1)(0. 6s +1)(0. 001s +1)

要求校正后系统的幅值裕度大于10dB ，相角裕度γ≥40 ，试设计串联超前校正装置。

3.1 校正装置参数的确定

校正前截止频率w c =1. 73rad /s , 相角裕度γ=-16. 2o

为了满足校正后的系统的相角裕度γ≥40︒的条件，故需要加入

θm =γ' -[γ-(5︒~12︒)]=40︒-[-16. 2︒-(5︒~12︒)]，

然后再根据θm =arg sin

a -1a +1

=62. 2求出a =15. 7。跟据系统对相角裕度的要求，'

确定校正后系统的截止频率ωc ，由式10lg α+20lg A (W c ' ) =0，由此可求得

ωc =3. 02计算校正装置的时间常数T 。

'

由于W c =W m =

'

1T

a

，由此可以解出T=0.084.

则校正装置的传递函数为G c (s )=

1. 3188s +10. 084s +1

4.2 二次校正系统分析

如图6所示相角裕度r =18. 7

故需要加入θm =γ' -[γ-(5︒~12︒)]=50o -[18. 7︒-(5︒~12︒)]， 然后再根据θm =arg sin

a -1a +1

=43. 4求出a =5. 365。

" c

跟据系统对相角裕度的要求，确定校正后系统的截止频率ω10lg α+20lg A (W c ' ' ) =0，由此可求得ωc ' ' =4. 7

计算校正装置的时间常数T 。 由于W c ' ' =W m =

1T

a

，

由式

，由此可以解出T=0.092.

0. 49s +10. 092s +1

则二次校正装置的传递函数为G c " (s )=

校正后的传递函数为：

G (s ) =

5(1. 3188s +1)(0. 49s +1)

s (s +1)(0. 6s +1)(0. 001s +1)(0. 084s +1)(0. 092+1)

如图7所示，由图可知h=12.1dB,γ=43. 8满足系统要求

在设计超前校正装置校正时，要合理选择校正装置的参数，一般可以改善系统的动态性能。从频率特性角度出发，可以利用将较高频段幅值下降20lg α、相位幅度较小的特性, 减小系统的截止频率, 提高相角裕度, 从而提高了系统的稳定性。但同时我们也应认识到串联校正装置本身所存在的缺陷和不足，以更好的把它应用于工程设计中。

如果在未校正系统的截止频率

ωc

ωc

附近，相频特性的变化率很大，即相角减

ωc

'

小得很快，则采用单级串联校正效果将不大，这是因为随着校正后的截止频率向高频段的移动，相角在

ϕm =60︒

附近将减小得很快，于是在新的截止频率上便很难

得到足够大的相裕量。在工程实践中一般不希望a 值很大，当a ＝20时，最大超前角

，如果需要60°以上的超前相角时，可以考虑采用两个或两个以

上的串联超前校正网络由隔离放大器串联在一起使用。在这种情况下，串联超前校正提供的总超前相角等于各单独超前校正网络提供的超前相角之和。

(2)校正前系统的bode 图

图2

(3)校正后系统的Bode 图

图6

(4)二次校正后系统的Bode 图

图7