压杆支撑理论及应用(1)

关于单个柱的支撑的问题

设置支撑是减小压杆计算长度，提高它的承载能力的有效办法。一根工字型截面的杆，对两个主轴x 和y 的惯性矩相差很大，在不设支撑时，两端铰接的轴

π2EI y

心压杆在弹性工作范围的临界力由弱轴y 的刚度决定，即N y =, 即它比绕2

L

π2EIx

强轴x 屈曲的临界力N x =小很多。如果在高度中央设置一根水平支撑，

L 2

是计算长度减小一半，则完全弹性的杆承载能力将提高四倍。即使计算长度减半后将成为非弹性屈曲，承载能力也会有较大提高。水平支撑相当于一个弹性支座，如果它的弹簧刚度很弱，则所起的作用不大，不能把N y 提高很多。因此，必须对支撑所应具有的刚度做出分析，使之能起刚性支座的作用。当支撑刚度足够而杆屈曲时，杆轴线呈一个全波，如（a ）图中虚线所示，在计算时则取（d ）图的简图，设弹簧支座有无穷小的压缩量d, 杆件在弹性支座处的反弯点相当于一个

d L 1

铰。对此铰取矩，可N L d =

k ⋅=kld

222

因此 k =

2N l 4N l

，这就是支撑所应具有的最低限度的刚度值。 =

l L

当需要在压杆的三分点加两道水平支撑，使它在屈曲时呈三个半波[图（a ）]

时, 则计算简图有两种不同的可能图形，即两个弹簧向同一方向压缩[图（b ）]和向相反方向[图（c ）]。仍设弹簧刚度为k ，并有无限小压缩量d, 则两种情况

N l 3N l 9N l

分别为k =和k = =

l l L

显然，弹簧刚度应至少达到上式所给的值，否则不可能实现把计算长度减少到L/3的目的。

同样，当把一根压杆用三道水平支撑分为四等段时，中点弹簧和两个四分点

3. 41N l 13. 64

弹簧压缩方向不同，是最不利情况。此时可算得k ==N l

l L

N L π

⋅2(1+cos ) , 画成曲L n

线见下图。当n 无限增大时，kl/Nl 趋近于4。因此，对于完善直杆，不论用几

4N l

道支撑，只要它的刚度不低于k =, 就可以起到刚性支座的作用。

l

当把杆分成长度为l 的n 个等段，则弹簧刚度至少为k =

以上刚度系数k 的计算过程并未限定压杆在弹性范围内失稳，因此可以用非弹性失稳的杆。不过上述分析都是针对完善直杆做出的。还必须对有缺陷杆进行考察。对于完善直杆来说，支撑在压杆屈曲之前并不受力，但有缺陷杆的情况有

所不同。如上图所示，杆件有初始挠度d 0，在承受荷载N 后，挠度在d 0的基础上增加d ，弹簧支座受力k 1d 。当荷载达临界值N l 时，杆呈两个半波而屈曲。仍

k 1d

对中点取矩，得=N l (d 0+d )

2要求弹簧刚度不小于k 1=弹簧受力则为F =k 1d =

2N l d 0

+1）

l d

2N l

(d 0+d ) L

把k 代入上式，则有F=k(d0+d) 利用式k 1=

2N l d 0k 1

，可得F =kd 0 +1）

l d k 1-k

2N l d 02N l 4N l

和k =两式可见，从受力平衡条件出发，有+1）=

l d l L

d

缺陷杆要求的支撑刚度k1为无缺陷杆所要求k 的倍。这里，d 是屈曲前（0+1）

d

因荷载而产生的挠度。如果不计及缺陷影响而取弹簧刚度k 1=k,则由式

k 1

可知撑杆内力将达到无限大。显然，从工程使用角度，d 值宜小不F =kd 0

k 1-k

宜大，可以考虑取d=d0。这样，中央有一道支撑的压杆，支撑的刚度至少为

比较k 1=

k 1=

4N l 8N l

=

L L

亦即至少为完善直杆所需k 的二倍。然而，压杆中点在产生附加挠度d 后弯矩并

2N l d

不是零。把此弯矩考虑在内，并假设初始挠曲线为正弦曲线，则式k 1=0+1）

l d

2N l 4d 0

应修正为k 1=(+1)

L 3d 这样，d=d0时所需的撑杆刚度比式F =kd 0

k 1=

9. 33N l

L

k 1

还要增大16.7%，即 k 1-k

L

，但考1000

虑到柱安装时可能略有倾斜，且荷载作用点也可能存在偏差，d 0取为L/500比较

2N l 2N l 4d 0

(d 0+d ) 并考虑式k 1=(+1) 得合适。这样由式F =k 1d =L L 3d

9. 33N L 1. 87F ==N L

500100

确定支撑内力需要取适当的d 0值。根据制造规范，d 0的限值是

即压杆临界力的1.9%。有些国家规范规定，用于减少压杆计算长度的支撑应能

f y A f

承受所撑压杆内力的2.5%。我国规范GBJ17-88规定，按V =计算，相

85235

当于压杆内力的2%左右。

要对支撑设计要求做了详尽分析，不仅考虑被撑压杆的缺陷，也考虑撑杆的缺陷，同样取初始挠度为起长度的1/500。此时撑杆的轴压刚度成为

23

EA b ⎡A b ω0F E ⎤

K b =⎢1+3⎥b ⎣2I b (F E -F ) ⎦

-1

式中：

惯性矩。

为撑杆的的欧拉临界力；ω0为撑杆的初挠度；I b 为撑杆的

Fb π2ω2F (F E -F /2)

+ 柱屈曲时的挠度d 应和撑杆压缩变形相等，即d = EA b 2b (F E -F ) 2

利用此变形协调条件和屈曲条件及平衡条件，可得撑杆内力与柱临界力之比

F 164b 10φ2⨯10-5φ(1-φ/2)

=+[-]式中：λb 为撑杆的长细比；ϕ=F/FE , 当N cr 1500L λb 2(1-φ) 2

b/L在0.4~0.7范围内时，ϕ=0.84-0.87。上式可由下列二简化公式之一代替：

100F 50b

=1. 2+ N λb L 100F b 1002

=1. 3+() N 2L λb

把压杆和撑杆作为一个体系来分析，不对d 作任何假设。按式F 164b 10φ2⨯10-5φ(1-φ/2) =+[-]的F 力选定撑杆截面，无需再对它的刚N cr 1500L λb 2(1-φ) 2度单独考虑。当撑杆还承受水平荷载传来的力时，应加于上列F 力。

有关减少压杆计算长度的支撑的实验

实验压杆是用冷弯槽钢组合成的工字形截面，撑杆用十层纸板组合而成，在压杆两侧成对放置，包括设置一至四道支撑的不同情况。实验的结果是：即使采用纸板带这样的弱支撑，压杆的承载能力可以提高很多，最多达到15倍以上；支撑杆所受内力不大，仅约为所撑压杆荷载的1%左右；支撑的效果和它的刚度关系很大，支撑纸板带长度为5cm 者，柱承载能力要比带长38cm 者约高50%。

做撑杆计算还需要注意的一个问题是，当有一排相同的柱子时，撑杆要对不止一根压杆起减小计算长度的作业。如上图所示柱列，在左端两柱之间有十字交叉支撑体系，使这部分成为没有侧移的构架，其他四根柱都靠水平支撑杆减少它在柱列平面内的计算长度。显而易见，AB 杆只对右边第一根柱起支撑作用。而DE 杆则对四根柱都起支撑作用。对支撑多跟柱的撑杆，若仍按单根柱的情况计算其需要的截面，则显然是不够的。设上图各杆为完善直杆，在N 力作用下同时屈曲，在撑杆连接点A 、B 、C 、D 出现位移d 1，d 2，d 3，d 4，则各撑杆的内力是

EA b ⎧F =(d 1-d 2) ⎪AB

b

⎪EA b ⎪F BC =(d 2-d 3) ⎪b ⎨EA b ⎪F CD =(d 3-d 4)

b ⎪

EA b ⎪F =d 4DE ⎪b ⎩

式中是撑杆的截面积。对位移后的支撑连接点去取距，可得下列方程组：

1-α）d 1+αd 2=0⎧（⎪αd +1-2α）d 2+αd 3=0⎪1（

⎨

αd +(1-2α) d +αd =034⎪2⎪⎩αd 3+(1-2α) d 4=0式中α=

EA b l

。使这一方程组的系列行列式等于零，可以解得值等于8.29。柱2bN l

数不同于4时，可以用同样方法得到。见下表

整个撑杆的不动点在E ，总长为nb ，轴向变形刚度是k n =和式子k =

EA b 2N l α

=⋅ nb l n

α2N l 4N l

相比，可见k n 是只撑一根柱时的倍。数值见上表。=

n l L

当n=4时，kn 为一根柱的2.07倍而不是4倍。还可以近似地用0.4n+0.6表示，数值见上表。

柱列也应考虑缺陷影响。但各柱不可能同时都出现最不利的初始缺陷。根据概率分析的原理，设缺陷按正态分布，并认为柱子的实际缺陷有95%落在∣d ∣

d 0=

L

式子中n 为柱列中待撑柱数。

500n

和单根柱的情况类似，利用柱列-支撑体系的屈曲条件和屈曲平衡条件和变形协调条件，可得撑杆内力计算的下列两个简式:

100F n b 1002

=0. 4(n +4) +0. 16(n 2+1. 5n ) () N L λb 100F n b 1002

=1+0. 5n +0. 16(n 2+1. 5n ) () N L λb

利用以上两式计算撑杆截面时，也无需对刚度要求另行考虑。

在通常设计中，λb ≥125, 且0. 4≤≤0. 7, 此时F n 和单根柱的支撑内力F 1相比，可得到如下倍数：

F n

=0. 6(1+0. 6n +0. 075n 2) F 1

这一内力比值也列于上表多柱体系撑杆刚度和内力系数中。比值比撑杆刚度要求的高，尤其是n 大时越来越接近n 。因此，建议n 不超过8。

目前只有少数设计规范对支撑多根柱的撑杆计算有规定。式子中为所撑各柱压力之和。由上表, 多柱体系撑杆刚度和内力系数可见，此式子当n>4时比式子略小。其原因是实际工程中存在一些有利因素，如柱脚非理想铰接，外墙板使纵

向刚度加强等。考虑这些因素时把适当降低。澳大利亚AS4100-1990规范规定，单根柱的支撑按柱最大压力的25%计算。在柱列中，则除第一根外。其余柱都取最大压力的1.25%并全部叠加在一起。用公式表示则为

F n

=0. 5(1+n ) F 1

但总柱数以不超过8为限。此式的系数也见上表。一般情况下各柱的压力并不同时达到最大值N ，则式子中以同时出现的为准，有其合理性。

当撑杆还承受水平荷载传来的力时，原则上需要和支撑力相加。但二者如何组合比较合适，还缺少资料，GB50017规范允许不叠加。 支撑设计中的扭转影响

以上对支撑作用的分析只考虑压杆的弯曲屈曲，同时假设支撑的轴线通过压杆的剪心，因而没有设计到扭转问题。

在现实工程中，被撑压杆有两种情况可能出现扭转，从而使支撑起不到把压杆计算长度减少一半的作用。第一种情况是抗扭刚度弱的构件，如十字形截面的压杆。在这种构件的高度中央设置两个方向的支撑，使其计算长度减小一半时，必须注意验算一下扭转屈曲临界力是否小于计算长度为L/2时的弯曲屈曲临界力。

第二种情况是，虽然构件扭转刚度比较好，但支撑偏离截面剪心，促使压杆扭转。

压杆稳定在工程上的重要性

压杆稳定这部分内容相对于其他力学内容而言，其工程实践的重要性尤为突出，特别是在建筑工程领域 相关资料显示; 全国各地每年都有建筑工程施工过程中脚手架整体倒塌(失稳引起) 的重大恶性事故发生，伤亡损失惨重: 如 1907年8月的加拿大魁北克市圣劳伦斯河大铁桥突然全桥坍塌、1983年10月北京中国社会科学院科研楼的大型脚手架坍塌、2000年10月南京电视台演播中心工程大演播厅舞台工程模板支架发生倒塌事故等。造成这些重大事故的原因很多，但其中最主要的原因就是一些技术人员根本就没有压杆稳定(失稳) 的概念，或者对此没有明确的认识，更谈不上准确地进行定性分析定量计算 针对目前这种状况，作为力学工作者有必要给相关人员加强压杆稳定这一部分内容的介绍和讲解，以使其掌握基本的定性分析和定量计算，才有可能减少或杜绝这类事故的发生。 在钢结构设计中的应用

在钢结构中实际的轴心受压杆的弯曲性能受很多因素的影响，主要的有截面中的残余应力杆轴的初弯曲载荷作用点的初偏心以及杆段的约束条件等，残余应力初偏心初弯曲都是不利的因素，并被认为是轴心受压杆的缺陷; 而杆端有约束是有利因素，能够提高构件的轴心受压稳定的承载能力。

截面中的残余应力的影响

构件在焊接冷校加工或火焰校正后，都会不可避免地在构件中产生残余应力 因残余应力在截面内相互平衡，残余应力对构件的强度和对弹性承载力没有影响，但对弹塑性的稳定承载力却有较大的影响，杆件荷载与残余应力的压应力叠加后，将使截面中残余压应力区段较早地进入塑性状态，而截面其它部分仍处于弹性状态 因此，当轴心受压杆件达到临界状态时，截面分为屈服区和弹性区，屈服区的弹性模量E=0，即刚度为0 。这时只有弹性区有刚度，对构件刚度提供有效的贡献，成为有效的截面，研究表明，此时可以按有效截面的惯性矩le 近似计算构件的临界力，即:通过进一步的分析可以看出，残余应力将使临界载荷降低。

轴心受压构件初弯曲的影响

轴心受压构件在制造加工和运输过程中，构件会产生一些微小变形，变形的形式是多种多样的，根据已有的统计构件中点处(一般中点处挠度最大) 的初弯曲的挠度约为杆长的与理想直杆不同，这种杆件在一开始加载时就因有初弯矩作用而产生挠度，而这挠度又会引起附加弯矩，随挠度增加的弯矩又使挠度增加更快，如果再加上残余应力则影响更大。研究表明，对于短杆因初弯曲影响很小，而临界力值又很大，所以初弯曲的影响很小，对于中等长度的杆件初弯曲对承载力影响却很大。

轴心受压构件的初偏心及其影响

由于构造上的原因和杆件截面尺寸的变化，作用在杆端的轴向压力实际上不可避免的会或多或少地偏离截面的形心而形成初偏心，研究表明，初偏心对轴心受压杆件的影响本质上与初弯曲相同，都会使构件的承载力降低。 杆端约束的影响

杆端约束的影响与杆件在理想状态下细长杆受压基本相同。

另外，在实腹式轴心受压构件的局部稳定计算、格构式轴心受压构件整体稳定性 实腹式压弯构件的整体稳定计算格构式轴心压弯构件整体稳定性门式钢架柱在钢架平面内的稳定性计算、屋架杆件的长度计算等钢结构设计中都涉及到压杆稳定方面的内容。

在起重桅杆上的应用

起重桅杆是建筑施工和设备安装中广泛采用的

一种起重设备，它具有起重能力大，机构简单造价低廉和制造安装拆卸均较容易等优点 同时也存在着机动性差缆风绳地锚会造成施工现场零乱和移动不便等缺点 宜用于吊装工作集中移动范围小的施工场地起重桅杆按构造形式分独脚桅杆、人字桅杆和悬臂桅杆等，对于独脚桅杆除了可以采用弯矩和弯曲应力计算它的强度外，还可以采用压杆稳定的欧拉公式进行计算 使用欧拉公式进行钢管桅杆的计算时应注意，只有在长细比 100才能使用此公式，因为钢管桅杆可以看成是两端铰接的长立柱，在轴向压力超过一定限度时要 失 去 稳 定 这种破坏不是因为断面强度不够，而是压杆临界载荷的影响 而压杆临界载荷由欧拉公式可求出(公式中字母表达意义同上):

π2EI P k = 2

(μl ）

π2E σ= 2

(μl )

本工程中各榀桁架之间的支撑相互连接平面图