方程应用题
一、行程问题
基本的数量关系:⑴路程=速度×时间 ⑵速度=路程÷时间 ⑶时间=路程÷速度
要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)
常用的等量关系:
1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程+乙走的路程=总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量
2、甲、乙二人中,慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题
⑴甲走的路程-乙走的路程=提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量
3、单人往返⑴各段路程和=总路程 ⑵各段时间和=总时间 ⑶匀速行驶时速度不变
4、行船问题与飞机飞行问题⑴顺水速度=静水速度+水流速度 ⑵逆水速度=静水速度-水流速度
5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然。
6、时钟问题:⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据:①时针的速度是0.5°/分 ②分针的速度是6°/分 ③秒针的速度是6°/秒
⑴、一般行程问题(相遇与追击问题)
1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲、乙两地相距x千米,则列方程为 。
解析:等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6小时 列出方程是: -=3.6
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发,相向而行,1小时48分相遇,如果甲比乙早出发40分钟,那么在乙出发1小时30分相遇,当甲比乙每小时快1千米时,求甲、乙两人的速度。
解析:等量关系 甲行的总路程+乙行的路程=总路程 (18千米)
解:设乙的速度是x千米/时,则列出方程是:(+) (x+1)+x=18
3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米,可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?
解析:等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程
⑵ 速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间-15分钟
【提醒】:速度已知时,设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。
方法一:设预定时间为x小/时,则列出方程是:15(x-0.25)=9(x+0.25)
方法二:设从家里到学校有x千米,则列出方程是:+=-
4、在800米跑道上有两人练习中长跑,甲每分钟跑320米,乙每分钟跑280米,两人同时同地同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于 分钟。
【老师提醒】:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击问题(且为第一次相遇)
等量关系: 快者跑的路程-慢者跑的路程=800 (俗称多跑一圈)320t-280t=800 t=20
5、一列客车车长200米,一列货车车长280米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3:2,问两车每秒各行驶多少米?【老师提醒】 将两车车尾视为两人,并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系:快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒,货车的速度为2x米/秒,则 16×3x+16×2x=200+280
6、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km,骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车的人的时间是26秒。 ⑴ 行人的速度为每秒多少米? ⑵ 这列火车的车长是多少米?
【老师提醒】 将火车车尾视为一个快者,则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系: ① 两种情形下火车的速度相等 ②两种情形下火车的车长相等 在时间已知的情况下,设速度列路程等式的方程,设路程列速度等式的方程。 解:⑴ 行人速度:3.6km/时=3600米÷3600秒=1米/秒 骑车的人的速度是:10.8km/时=10800米÷3600秒=3米/秒 ⑵ 方法一:设火车的速度是x米/秒,则 26×(x-3)=22×(x-1) 解得x=4方法二:设火车的车长是x米,则
7、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们,如果我和妈妈每小时行2千米,从家里到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗? (提示:此题为典型的追击问题)
解:设爸爸用x小时追上我们,则 6x=2x+2×1 解得 x=0.5 0.5小时<1小时45分钟 答:能追上。
8、一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时,步行的速度是5千米/时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问:步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)
【提醒】:此类题相当于环形跑道问题,两者行的总路程为一圈 即 步行者行的总路程+汽车行的总路程=60×2 解:设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇,则 5x+60(x-1)=60×2
9、一列火车长150米,以每秒15米的速度通过600米的隧道,从火车进入隧道口算起,到这列火车完全通过隧道所需时间是【 】
【老师提醒】:将车尾看作一个行者,当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时所用的时间,就是所求的完全通过的时间,解:时间=(600+150)÷15=50(秒)
10、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地,这样便可在规定的时间到达B地,但他因事将原计划的时间推迟了20分,便只好以每小时15千米的速度前进,结果比规定时间早4分钟到达B地,求A、B两地间的距离。 解:方法一:设由A地到B地规定的时间是 x 小时,则 12x=15×(x--) x=2 12 x=12×2=24(千米) 方法二:设由A、B两地的距离是 x 千米,则 (设路程,列时间等式) -=+ x=24
【温馨提醒】当速度已知,设时间,列路程等式;设路程,列时间等式是我们的解题策略。
11、甲、乙两人相距5千米,分别以2千米/时的速度相向而行,同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙,遇到乙后立即掉头奔向甲,遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇,求小狗所走的路程。
注:此为二题合一的题目,即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的,以此为联系,使本题顿生情趣,为诸多中小学资料所采纳。
解:设甲、乙两人相遇用 x 时,则2x+2x=5 x= 12x=12×=15 (千米)
12、一列火车匀速行驶,经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是10s,根据以上数据,你能否求出火车的长度?火车的长度是多少?若不能,请说明理由。
【老师解析】:只要将车尾看作一个行人去分析即可,前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长,后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间,只需设车长列速度关系,或者是设车速列车长关系等式。
解:方法一:设这列火车的长度是x米,根据题意,得 x=300 答:这列火车长300米。
方法二:设这列火车的速度是x米/秒,根据题意,得20x-300=10x x=30 10x=300 答:这列火车长300米。
13、甲、乙两地相距x千米,一列火车原来从甲地到乙地要用15小时,开通高速铁路后,车速平均每小时比原来加快了60千米,因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达,列方程得 。 答案: -=60
14、列车在中途受阻,耽误了6分钟,然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米,问这样走多少千米,就可以将耽误的时间补上?解:设走x千米就补上耽误的时间,则 -=60 x=20
15、两列火车分别行驶在平行的轨道上,其中快车车长为100米,慢车车长150米,已知当两车相向而行时,快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少?
⑵ 如果两车同向而行,慢车速度为8米/秒,快车从后面追赶慢车,那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒?
【老师解析】:① 快车驶过慢车某个窗口时:研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的 相遇问题,此时行驶的路程和为快车车长!② 慢车驶过快车某个窗口时:研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题,此时行驶的路程和为慢车车长!③ 快车从后面追赶慢车时:研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的,追击问题,此时行驶的路程和为两车车长之和!
解:⑴ 两车的速度之和=100÷5=20(米/秒) 慢车经过快车某一窗口所用的时间=150÷20=7.5(秒)
⑵ 设至少是x秒,(快车车速为20-8)则 (20-8)x-8x=100+150 x=62.5
16、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时,甲先到达B地后,立即由B地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 解:设乙的速度是 x 千米/时,则 3x+3 (2x+2)=25.5×2 ∴ x=5 2x+2=12
17、一辆汽车上午10:00从安阳出发匀速行驶,途经曲沟、水冶、铜冶三地,时间如下表,
水冶在曲沟和铜冶两地之间,距曲沟10千米,距铜冶20千米,安阳到水冶的
路程有多少千米?
解:设安阳到水冶有x千米,则
⑵、环行跑道与时钟问题: 或 解,得 x=20
1、在6点和7点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合?
【老师解析】:6:00时分针指向12,时针指向6,此时二针相差180°,在6:00~7:00之间,经过x分钟当二针重合时,时针走了0.5x°分针走了6x°以下按追击问题可列出方程,不难求解。
解:设经过x分钟二针重合,则6x=180+0.5x 解得 x=
2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑240米,乙每分钟跑200米,二人同时同地同向出发,几分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇?【老师提醒】:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击与相遇问题。 解:①设同时同地同向出发x分钟后二人相遇,则 240x-200x=400 x=10
②设背向跑,x分钟后相遇,则 240x+200x=400 x=
3、在3时和4时之间的哪个时刻,时钟的时针与分针:⑴重合;⑵ 成平角;⑶成直角;
解:⑴设分针指向3时x分时两针重合。 x=5×3+x x=16
⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。 x=5×3+x +60÷2 x=49
⑶设分针指向3时x分时两针成直角。 x=5×3+x +60÷4 x=
4、某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准,则当天中午该钟表指示时间为12时50分时,准确时间是多少?
解:方法一:设准确时间经过x分钟,则 x∶380=60∶(60-3) 解得x=400分=6时40分 6:30+6:40=13:10 方法二:设准确时间经过x时,则
⑶、行船与飞机飞行问题: (x-6)=x-12
1、一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。解:设船在静水中的速度是x千米/时,则3×(x-3)=2×(x+3) 解得x=15 2×(x+3)=2×(15+3) =36(千米)
2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时,求两城市间的距离。解:设无风时的速度是x千米/时,则3×(x-24)=2×(x+24)
3、小明在静水中划船的速度为10千米/时,今往返于某条河,逆水用了9小时,顺水用了6小时,求该河的水流速度。 解:设水流速度为x千米/时,则9(10-x)=6(10+x) 解得x=2
4、某船从A码头顺流航行到B码头,然后逆流返行到C码头,共行20小时,已知船在静水中的速度为7.5千米/时,水流的速度为2.5千米/时,若A与C的距离比A与B的距离短40千米,求A与B的距离。
解:设A与B的距离是x千米,(请你按下面的分类画出示意图,来理解所列方程)
① 当C在A、B之间时, 解得x=120
② 当C在BA的延长线上时, 解得x=56
二、工程问题
基本的数量关系: ⑴工作量=工作时间×工效 ⑵工作时间=工作量÷工效 ⑶工效=工作量÷工作时间
常用的等量关系: ⑴各部分工作量之和=工作总量 ⑵各阶段工作时间之和=总时间
重要数据: ①要清楚地表达出各个工作者的工作效率; ②各阶段工作效率对应的工作时间。
题目类型:
⑴有明确具体的工作量的工程问题: 如运送1000吨煤,修一条长2500米的水渠,挖一个200m3的蓄水池等。 ⑵没有具体准确的工作量的工程问题:
如修一条公路(但公路的长度没有准确数据),做一项工程,挖一条水渠,这类题要把工作总量看作单位“1”。利用时间可迅速表示出每个工作者的工作效率(这是七年级常用的方法)
1、某工厂原计划用26天生产一批零件。工作2天后,因改变了操作方法,每天比原来多生产5个零件,结果提前4天完成任务,则原来每天生产 个零件,这批零件有 个。
等量关系:原计划生产方式的零件总数=先2天生产零件数+(26-2-4)天生产的零件数
解:设原来每天生产x个零件,则26x=2x+(26-2-4) (x+2) 解得x=10 26x=260(个)
2、某工程队派出大、小汽车共17辆去运75吨沙子,如果大汽车每辆每次可运沙子5吨,小汽车每辆每次可运沙子3吨,而且这些汽车恰好一次能运完这批沙子,那么其中大汽车有 辆。
等量关系:大汽车运送量+小汽车运送量=75吨 解:设大汽车共有x辆,则5x+3(17-x)=75 x=12
3、已知某水池有进水管一根,进水管工作15小时将空水池注满,出水管工作24小时可以将满池水放完; ⑴ 如果单独打开进水管,每小时可以注入的水占水池的几分之几? (答案: )
⑵ 如果单独打开出水管,每小时可以放出的水占水池的几分之几? (答案: )
⑶ 如果将两管同时打开,每小时的效果如何?如何列式。 (答案:+ )
⑷ 对于空池,如果进水管先开2小时,再同时打开两管,问注满水池还需要多少时间?
解:设注满水池还需要x小时,则 ×2 +(-)=1 x=34
4、一项工程,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成,两人合作4天后,剩下的部分由乙单独做,还需要几天才能完成? 解:设剩下的部分还需要x天完成,则 x+(+) ×4 =1 x=5
5、一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,剩下的部分需要几小时完成? 解:设剩下的部分需要x小时完成,则 ×4+(+)x=1 x=6
6、某工程,甲队单独完成需要16天,乙队单独完成需要12天。如先由甲队做4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五? 解:设再做x天可完成工程的六分之五,则 ×4+(+) x= x=4
7、有一个水池,用两个水管注水。如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开乙管,5小时注满水池。 ⑴ 如果甲、乙两个水管同时注水20分钟,然后由乙管单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满?
⑵ 假设在水池下面安装了排水的丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放,多少小时才能把空池注满?
解:⑴设注满水池还需要x小时,则 x=4
⑵设同时开x小时可把空池注满,则 x=3
8、有一项工程,要求在规定日期内完成,若甲队单独干需要6天完成,若乙队单独干需要9天完成,但两队都不能如期完成,现在甲先干1天,乙再加入,正好在规定日期内完成,问:规定日期是多少天?
解:设规定日期是 x 天,则 或或∴x=4
9、两只一样长的蜡烛,粗蜡烛能点6小时,细蜡烛能点4小时,一次停电,同时点燃一粗一细两根蜡烛,来电后同时熄灭,结果发现粗蜡烛剩余长度是细蜡烛剩余长度的2倍,求停电时间有多长。
解:设停电 x 小时,则 1-x=2(1-x) ∴x=3
一元一次方程的应用题-和差倍分问题
通过题目中的一些关键词语找相等关系,如:“多”、“少”、“是几倍”、“增加几倍”、“增加到几倍”等等 ⑴ 生产、做工等各类问题
1、有甲、乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,我的羊就是你的2倍。”乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,我们俩的羊就一样了。”两个牧童各有多少只羊?
等量关系:⑴甲的只数=乙的只数+2 ⑵ 甲的只数+1=2×(乙的只数-1)
解:设乙有x只羊,那么出方程:x+2+1=2×(x-1) 解得 x=5 x+2=7
2、岳池县城某居民小区的水、电、气价格是:水每吨1.55元,电每度0.67元,天然气每立方米1.47元。某居民用户在2010年11月份支付款67.54元,其中包括用了5吨水、35度电和一些天然气的费用,还包括交物业管理4.00元的服务费。问该居民用户在2010年11月份用了多少立方米的天然气?
解:设该居民用户在2010年11月份用了x立方米的天然气,则1.55×5+0.67×35+1.47x+4=67.54 解得 x=22
3、已知某市出租车收费标准如下:乘车里程不超过2千米的一律收2元;乘车里程超过2千米的,超过部分再按每千米1.4元计费,(不足1千米按1千米计算)。
⑴ 如果有人乘出租车行驶了x千米(x>2),那么他应付多少车费?(列代数式不化简) ⑴ 2+1.4×(x-2)
⑵ 某游客乘出租车从客运中心到红星集货市场,付了10.4元的车费,试估算从客运中心到红星集货市场大约有多少千米? 设从客运中心到红星集货市场大约有x千米(x>2),则2+1.4×(x-2)=10.4解得 x=8
4、有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50平方米墙面未来得及刷;同样的时间内5名二级技工,粉刷了10个房间之外,还多刷了40平方米的墙面。每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米墙面,求每个房间需要粉刷的墙面面积。
解:设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米,则可列出方程
5、已知购买甲种物品比乙种物品贵5元,某人用300元买到甲种物品10件和乙种物品若干件,这时,他买到甲、乙物品的总件数比把这笔款全部都购买甲种物品的件数多5件,问甲、乙物品每件各多少元?
等量关系:⑴甲种物品的单价=乙种物的单价+5⑵300元中购乙的件数+购甲种的10件=300元全部购甲的件数+5 解:设甲种物品x元/件,那么出方程 (此方程七年级不会解)
6、两个班组的工人,按计划本月共应生产680个零件,实际第一组超额20%,第二组超额15%完成了本月的任务,因此比原计划多生产了118个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件?
等量关系:⑴第一组应生产零件个数+第二组应生产零件个数=680⑵第一组多生产零件个数+第二组多生产零件个数=118解:设第一组应生产x个零件,那么第二组应生产(680-x)个零件,列出方程为
20%x+15%(680-x)=118 解得 x=320 680-x=360答:第一组应生产320个零件,第二组应生产360个零件。
7、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数,甲和乙的比是3:4,乙和丙的比是2:3。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件,问每个工人各生产多少件?【老师提醒】:这是按比例分配问题,因此首先要统一比份,再按比份设出未知数。
解:由甲∶乙=3∶4 乙∶丙=2∶3=4∶6 可得 甲∶乙∶丙=3∶4∶6 设甲、乙、丙分别生产3x个,4x个,6x个零件,则 3x+6x=4x+945解得 x=189 3x=567 4x=756 6x=1134
8、已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个,7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个,每台A型机
器比B型机器一天多生产1个产品,求每箱有多少个产品。
解:设每箱有 x个产品,则 解得 x=12
9、今年某校组织捐款支援灾区,某班55名同学共捐款500元,捐款情况如下表:
表中有两处看不清楚,请你帮助确定表中数据。
等量关系:① 6+■+▲= 55人 ② 5×6+8×■+10×▲+12×7=500元
解:设捐款8元的有 x 人,那么捐款10元有(55―6―x―7)人。
5×6+8x+10×(55―6―x―7)+12×7=500 解得x=17 55―6―x―7=25(人)
10、某校七年级三个班学生为保护我国珍贵动物大熊猫捐款,⑴班捐款数为七年级总捐款数的
⑶班捐款数的和的一半, ⑶班捐了380元。求七年级总捐款数。 ,⑵班捐款数为⑴班、
解:设七年级总捐款数为 x 元。x+×(x+380)+380=x x=380
11、学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元,店方表示如果多购,可以优惠,结果校方购了72套,每套减价3元,但店方获得同样多的利润,求每套课桌椅的成本。
解:设每套课桌椅的成本是 x 元,则60×(100-x)=72×(100-3-x) x=82 答:每套课桌椅的成本是82元。
12、甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数的比为7∶6,甲用掉50元,乙用掉60元,二人余下的钱数的比为3∶2,则甲、乙二人余下的钱数分别是【 C 】。A、140元、120元; B、60元、40元; C、90元、60元; D、80元、80元。解:设甲、乙分别带7x元、6x元,则 (7x-50)∶(6x-60)=3∶2 ∴x=207x-50=7×20-50=90 6x-60=6×20-60=60
13、数学课外小组的女生占全组人数的,后来又加入4名女同学后就占全组人数的,数学小组课外小组原来有 人。解:设数学课外小组原来有x人,则(1-)x=(1-)(x+4) x=12
14、某同学在A、B两家超市发现他看中MP3的的单价相同,书包的单价也相同, MP3和书包的单价之和为452元,且MP3的单价比书包的单价的4倍少8元。
⑴ 该同学看中的MP3和书包的单价各多少元? ⑴设书包的单价是 x 元,则x+ (4x-8)=452 ∴ x=92
⑵ 有一天,该同学只随身带了400元钱上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打八折销售,超市B全场购物100元返购物券30元(不足100元不返购物券,购物券全场通用)他只在一家超市购买看中的MP3和书包,你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?
⑵ 超市A需要的钱数:(92+360)×0.8=361.6 (元)超市B需要的钱数:(92+360)-30×4=332 (元)答:超市B更省钱。
15、甲、乙两人共同在一家工厂工作,由于甲的技术比乙好,因此甲4天的工资比乙5天的工资还要多10元,工作25天后结算工资,甲全勤而乙请了5天假,两人合计得报酬1600元,求甲、乙两人各应得多少元?
解:设乙每天工资 x 元,那么甲每天工资,则可列方程:25×+(25-5)x=1600 ∴ x=30
甲应得 25×
⑵比赛积分问题 =1000(元) 乙应得 20×30=600(元)
1、某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分。已知某人有5道题未做,得了103分,这个人选错了 道题。
解:设他选错了x道题,则3×(50―5―x)-x=103 x=8
2、某学校七年级8个班进行足球友谊赛,采用胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后,以不败的战绩积17分,那么该班共胜了几场比赛?
解:设该班胜了x场,则3x+1×(7―x)=17 x=5
3、某种业余篮球赛的积分办法是:胜一场积2分,负一场积1分,某支球队参加了12场比赛,总积分恰好是所胜场数的4倍,则该队共胜 场。
解:设胜x场,则2x+(12-x)=4x x=4
⑶ 年龄问题【老师提醒】 两个人的年龄差永远不变,这是解决年龄问题的铁的法则。
1、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是。
解:设5年前乙的年龄是x岁,则 2x-x=15 x=15 x+5=20
2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁,8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁,求小华现在的年龄。 解:设8年后小华的年龄是x岁,那么爸爸的年龄是(3x+5)岁,则
(3x+5)-x=25 x=10 x-8=2 答:小华现在的年龄是2岁。
3、从现在起,两年后母亲的年龄是女儿的6倍,再过20年女儿的年龄是母亲的一半,求母女现在的年龄。
解:设女儿现在的年龄是 x 岁,那么两年后母亲的年龄是:6(x+2)岁,则 (x+2+20)×2=6(x+2)+20 解得x=3 ⑷ 比例问题
1、图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件的长度是12cm,求这个零件的实际长度。
解:设这个零件的实际长度是 x cm,则 32∶4=12∶x 解得x=1.5
2、日元与人民币的比价为25∶1,那么50万日元,可换多少元人民币?设 x 万,则 25∶1=50∶x 解x=2
3、李老师到市场去买菜,发现若把10千克的菜放到秤上指针盘上的指针转了180°,李老师就给同学们出了两个问题: ① 如果把0.5千克的菜放在秤上,指针转过多少度?② 如果指针转了540°,这些菜有多少千克?
解:①设把0.5千克的菜放在秤上,指针转过x度,则 10∶0.5=180∶x 解得x=9
②指针转了540°,这些菜有y千克,则 10∶y=180∶540 解得x=30
一元一次方程的应用题-人员调配问题
1、某厂一车间有64人,二车间有56人。现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需要从第一车间调多少人到第二车间?解:设应从第一车间调x人到第二车间,则2 (64-x)=56+x 解得x=24
2、甲队人数是乙队人数的2倍,从甲队调12人到乙队后,甲队剩下的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原来各有多少人?解:设乙队有x人,则2x-12=×(x+12)+15 解得 x=22 2x=44
3、甲、乙两个车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来两个车间各多少人?
解:设乙车间原有x人,那么甲车间原有(x+200)人,则6(x-100)=x+200+100 解得x=180 x+200=380
4、在甲地劳动的有27人,在乙地劳动的有19人。现在另调20人去支援,使在甲地的人数为乙地人数的2倍。应调往甲、乙两地各多少人?
解:设应调往甲地x人,则27+x=2(19+20-x) 解得x=17 20-x=20-17=3
一元一次方程-分配问题
等量关系:无论如何分 方案一和方案二的总人数相等 方案一和方案二的总辆数相等
1、学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位;如果每室住9人,则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。解:设有 x 个房间,则8x+12=9(x-2) 解得x=30 8x+12=252 (人)
2、学校春游,如果每辆车坐45人,则有28人没有上车;如果每辆车坐50人,则空出一辆汽车,并且有一辆车还可以坐12人,问共有多少学生?多少辆汽车?解:设有 x 辆汽车,则45x+28=50(x-1)-12 解得x=18 45x+28=838
3、小明想在借期内读完一本书,若每天读32页,尚余31页;若每天读书36页,则最后一天需要读39页,才能按期读完,求书的页数和借期。解:设书的借期是 x 天,则32x+31=36(x-1) +39 解得x=7 32x+31=255 (页)
4、某学校要求住校的学生有若干人,如果每间宿舍住4人,那么剩余20人;如果每间宿舍住8人,那么有一间仅能住一半的人,其它宿舍都住满,问有几间宿舍?要求住校的学生有多少人?
解:设有 x 间宿舍,则4x+20=8(x-1)+4 解得x=6 4x+20=44(人)
5、某学校组织学生春游,如果租用若干辆45座的客车,则有15个人没有座位;如果租用同数量的60座的客车,则多出1辆,其余车恰好坐满。已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为300元。问:租用哪种客车更合算?需要租几辆车?
解:设租用了 x 辆客车,则60 (x-1)= 45x+15 解得x=5总人数:60 (5-1)=60×4=240(人)
∵45座的客车平均每人:250÷45≈5.6 (元) 60座的客车平均每人:300÷60=5 (元)∴ 要尽可能多的租用60座 60座的客车租用:240÷60=4(辆)此时,费用为:300×4=1200 (元)
一元一次方程的应用题-配套问题
等量关系:
⑴ 生产甲部件的人数+生产乙部件的人数=总人数
⑵ 甲部件的数量和乙部件的数量按配套要求保持倍数(或比例)关系⑶ 生产各部分所需原料之和=原料总量
1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使生产出的螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?
解:设分配x 人生产螺栓,则 2×12x=18×(28-x) 解得x=12 28-x=16 答:分配12人生产螺栓,16人生
2、包装厂有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片,或长方形铁片80片,将两张圆形铁片和一张长方形铁片配套做成一个圆柱形的铁桶,问如何安排工人生产圆形或长方形的铁片才能正好将生产出的两种铁片配套?
解:设分配x 人生产长方形铁片,则 2×80x=120×(42-x)
解得x=18 42-x=24 答:分配18人生产长方形铁片,分配24人生产圆形铁片。
3、某部队派出一支有25人组成的小分队参加防汛抗洪斗争,若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋,如何安排好人力,才能使装泥和抬泥密切配合,而正好清理干净。
解:设分配x 人装泥,则 18x=(14÷2)×(25-x)
解得x=7 25-x=18 答:分配7人装土,分配18人抬土。
4、某车间加工机轴和轴承。一个工人每天平均加工15个机轴或10个轴承。该车间共有80人,一根机轴和两个轴承配成一套,问应分配多少个人加工机轴或轴承,才能使每天加工的机轴和轴承正好配套?
解:设分配x 人加工机轴,则 2×15x=10×(80-x)
解得x=45 80-x=35 答:分配45人加工机轴,分配35人加工轴承。
5、某服装厂生产一批西装,每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条,现有宽面花呢245米,为了使上衣和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用宽面花呢多少米?
解:设裁上衣用x 米花呢布,则 x×3=(245-x)×4解得x=140 245-x=105 答:裁上衣用140米,裁裤子用105。
一元一次方程的应用题-生产加工经营问题 等量关系:⑴ 计划量+增产量=实际生产量 增产量=计划量×增产率⑵ 利润=数量×(售价-成本)
利润率=(售价-成本)÷成本×100% 亏损率=(成本-售价)÷成本×100%⑶ 成本+利润=售价 成本-亏损=售价 ⑷ 本金×利率×时间=利息 本金×税后利率×时间=税后利息⑸ 本金+利息=本息和 本金+税后利息=税后本息和
一、增长率问题
1、某化肥厂去年生产化肥3200吨,今年计划生产化肥3600吨,今年计划比去年增产。
解:设增产x ,则3200×(1+x)=3600 解得 x=0.125
2、某加工厂欲将出米率为70%的稻谷加工成大米,现在加工大米100千克,设要这种稻谷x千克,则列出的正确方程是 。(答案:70%x=100)
3、某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册,而第四季度印刷了这种书籍58万册,求季度的增长率是多少? 解:设季度的增长率是x ,则50×(1+x)=58
4、甲、乙两厂去年完成任务的112%和110%,共生产机床4000台,比原来两厂任务之和超产400台,问甲厂原来的生产任务是多少台?解:设甲原来的务是x台,乙厂原来是(4000-400-x)台,则112% x+110% (4000-400-x)=400
5、某村去年种植的油菜亩产量达到150千克,含油率为40%,今年改用新选育的油菜籽后亩产量提高了30千克,含油率提高了10个百分点。今年与去年相比,油菜的种植面积减少了40亩,而村榨油厂用本村所产的油菜籽的产油量提高了20%。
⑴ 求今年油菜的种植面积。设今年油菜的种植面积是x亩,完成下表后再列方程进行解答。
⑵已知油菜种植成本为200元/亩,菜油收购价为6元/千克。试比较这个村这两年种植油菜的纯收入。
解:去年的纯收入:40%·150 (x+40)×6-200×150=360x-15600今年的纯收入:50%· (150+30) x×6-200x=340x
6、民航规定:乘坐飞机普通舱的旅客每人最多可免费携带20千克行李,超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李费。一名旅客带了35千克行李乘机机票连同行李费共付了1323元,求该旅客的机票票价。
解:设该旅客的机票票价是x元,则 x+1.5%x×(35-20)=1323
二、利润与利率
1、一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价,又以八折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本是 。解:设这种服装每件的成本是x元,则 (1+40%) x·0.8-x=15
2、某件商品9折降价销售后每件商品售价为a元,则该商品原价为。解:设该商品原价是x元,则0.9 x=a
3、一种药品涨价25%的价格是50元,那么设涨价前的价格是x元,可列方程是(1+25%) x=50
4、某商场将进价为每件x元的上衣标价为m元,在此基础上再降价10%,顾客需要付款270元。已知进价x元是标价m元的60%,则x的值是x=m×60% (x÷60% )·(1-10%)=270
5、某商品的销售价格每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价的九折再让利40元销售,这时仍可获利10%,此商品的进价为 元。解:设该商品的进价是x元,则 (1+10%) x=900×0.9-40
6、如果某商品的进价降低5%,而售价不变,利润率可提高15个百分点,求此商品原来的利润率。
解:设该商品原来的进价是m元,此商品原来的利润率x,则m(1+x)=m(1-5%)(1+x+15%)
7、某商场出售某种文具,每件可盈利2元,为支援贫困山区的小朋友,按7折售给某山区学校,结果每件盈利0.20元。问该文具的进价是每件多少元?解:设该商品的进价是x元,则 (x+2)×0.7-x=0.20
8、烈火牌打火机,每只的成本为2元,毛利率25%,工厂通过改进工艺,降低成本,在售价不变的情况下,毛利润率增加了15%,则这种打火机每只的成本降低了 元。(精确到0.01元,毛利润率=(售价-成本)÷成本×100%) 解:设这种打火机每只的成本降低了x元,则 (2-x)×(1+25%+15%)=2×(1+25%)
9、某商品进价1500元,提高40%后标价,若打折销售,使其利润率为20%,则此商品应按几折销售?
解:设该商品应按x折销售,则1500×(1+40%) x÷10=1500×(1+20%)
10、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
解:设盈利的商品的进价是x元,则x+25%x=60 解得 x=48设亏损的商品的进价是y元,则x-25%x=60 解得 x=80 60×2-(x+y)=120-(48+80)=-8 (元)
11、妈妈带小明到文具店买书包和文具盒,经过讨价还价后,原价42元的书包打九折购得,原价18元的文具盒打八折购得。他们一共要付 元。解:42×0.9+18×0.8=37.8+14.4=52.2 (元)
12、某种机器的市场需求量为m(万台)与单价x(万元/台),满足关系式:m+x=5。
问:①当单价为4万元时,市场需求量是多少?②若单价在4万元的基上又涨价1万元,则需求量发生了怎样的变化? 解:①当x=4时, m+4=5。 m=5②当x=5时, m+5=5 m=2
13、八一体育馆设计了一个由相同的正方体搭成的标志物(如图所示),每个正方体的棱长为1米,其暴露在外面的面(不包括最底层的面)用五合板钉制而成,然后刷漆。每张五合板可做两个面,每平方米用漆500克。
①建材商店将一张五合板按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每张仍获利4.8元(五合板必须整张购买),购买五合板需要多少元?
②油漆店开展“满100元送20元,多买多送” 的大酬宾活动,所购油漆的售价为每千克34元。问买油漆又需要多少元?14、2011年元月1日莉莉的爸爸将打工挣来的25000元钱存入银行,给她办了整存整取三年的教育储蓄,年利率为
4.15%,三年后本金和利息共有
解:25000+25000×4.15%×3=25000+3112.5=28112.5(元)
15、本人三年前存了一份3000元的教育储蓄,今年到期时的本利和为3243元,请你帮我算一算这种储蓄的年利率。若年利率为x%,则可列方程 。解:3000+3000×x%×3=3243
16、国家规定:存款利息税=利息×5%,银行一年定期储蓄的年利率为2.75%,小明有一笔一年定期存款,如果到期后全取出,可取回820.9元。若设小明的这笔一年定期存款有x元,则下列方程中正确的是( D ) (A)x+2.75%×5%=820.9 (B)2.75% x×5%=820.9(C)2.75% x×(1-5%)=820.9 (D)x+2.75% x×(1-5%)=820.9
17、某商店采购一批灯管,每根13元。运输中损坏了12根,出售时单价为15元,售后共获利1020元。问共购进这批灯管多少根?解:设共购进这批灯管 x 根,则 15×(x―12)―13x=1020
18、某小组为开展体育活动购买篮球、乒乓球、羽毛球等运动器材,所需费用由全组同学均摊。若每人付20元,则多了7元;后来,组长收了每人19元,自己多付了5元。问这个小组有多少名同学?买器材总共需要多少钱? 解:设这个小组共有 x 名同学,则 20x-7=19x+5
19、蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂,分别向银行申请甲、乙两种贷款共13万元,王先生每年需付利息6075元,已知甲种贷款的年利率为6%,乙种贷款的年利率为3.5%,则甲、乙两种贷款分别是多少?
解:设甲种贷款有 x 元,则6%x+3.5% (130000-x)=6075 解得x=61000 130000-x=69000
20、某开发商按分期付款的形式售房,小明购了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款的利息之和。知剩余欠款的年利率为0.4%,问:第几年小明家需交房款5200元?设第 x 年小明家需交房款5200元,则5000+[120000-30000-5000×(x-1)]×0.4%=5200 x=9
20、已知甲、乙两种商品的原价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两种商品的原价增长率为2%。甲、乙两种商品的原价各是多少?
解:设甲商品的原价为 x 元,则 (1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100(1+2%) x=20 100 -x=80
21、售货员:“快来买啦,特价鸡蛋,每箱30个,原价每箱14元,现价每箱仅12元。”
顾客甲:“我饭店里买了一些这种特价鸡蛋,花的钱比按原价买同样多的鸡蛋花的钱的2倍少96元。”
顾客乙:“我家买了两箱这样的特价鸡蛋,结果20天后,剩下的20个鸡蛋全坏了。”
⑴ 顾客乙买的两箱鸡蛋合算吗?说明理由。
⑵ 请你求出顾客甲在店里买了多少箱这种特价鸡蛋,假设这批特价鸡蛋的保质期还有18天,那么甲店里平均每天要用掉多少个鸡蛋才不会浪费?
解:⑴ 原价每个好鸡蛋的价格是: 14÷30≈0.47 (元) 顾客乙每个好鸡蛋的价格是:12×2÷(30×2-20)=0.6(元) 不合 ⑵设顾客甲买了x 箱鸡蛋,则 14x×2-96=12x解得 x=6 平均每天要用掉: 30×6÷18=10 (个)
22、李强将甲、乙两种股票同时卖出,其中甲种股票卖价为1200元,盈利20%,乙种股票卖价也是1200元,但亏损20%,则他这次交易【 C 】 A、不盈不亏; B、盈利100元; C、亏损100元; D、无法计算。
解:设甲种股票成本是x元,则(1+20%) · x=1200 x=1000设乙种股票成本是y元,则(1-20%) · x=1200 y=1500 因此,两支股票共盈利:1200×2-(1000+1500)=-100
23、七年级⑴班数学兴趣小组同学一起租车秋游,预计租车费均摊到个人为15元,后来又有4名同学加入进来,租车的总费用不变,结果每人可少均摊3元,设原来有学生x人,可列方程为 。 答案: 15x=12(x+4)
24、某篮球赛的组织者出售球票,需要付给售票处25%的酬金,如果组织者在扣除酬金后,每张票挣得60元,则球票票价应定为 元。解:设球票票价应定为x元,则 x-25% x=60 x=80
25、某商店将彩电原价提高40%,然后在广告上写明“大酬宾,八折优惠”结果每台彩电仍获利270元,那么每台彩电原价是多少元?
解:设每台彩电原价是x元,则 (1+40%) x×80%=x+270 x=2250答:每台彩电原价是2250元.
26、小明去文教用品商场给同学买真彩牌水笔,该商场只有甲、乙两个摊位有这种水笔,且标价都是1元/支,但甲、乙两个摊位的优惠条件却不同:甲摊位:购买10支以上,从第11支按标价的70%卖;乙摊位:从第1支开始就按标价的85%卖;在笔的质量相同的条件下,问:⑴ 小明要买24支笔,到那个摊位买比较省钱?⑵ 小明花多少钱时,才能使他在甲摊位上买的笔与在乙摊位上买的笔同样多?
解:⑴ 在甲摊位需要的钱数:1×10+1×14×0.7=19.8 (元)在乙摊位需要的钱数:1×24×0.85=20.4 (元) 答:在乙摊位省钱。⑵ 设小明买x支在甲摊位和在乙摊位上花的钱一样多,则1×x×0.85 =1×10+1×(x-10)×0.7 ∴x=20 0.85x=17(元)答:小明花17元在甲乙两摊位都可买20支笔。
一元一次方程的应用题-数字问题 等量关系: 原数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字
1、有一个三位数,个位数字是百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调所得的新数比原数的2倍少49,求原数。解:设原数的百位数字是x,则 100×2x+10×(x+1)+x=2×[100x+10×(x+1)+2x]-49
2、一个五位数最高位上的数字是2,如果把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的数比原来的数的3倍多489,求原数。解:设原五位数的后四位数是x,则 10x+2=3×(20000+x)+489
4、把99拆成4个数,使得第一个数加2,第二个数减2,第三个数乘2,第四个数除以2,得到的结果相等,应该怎样拆?解:设得到的相同的结果是 x,则 (x-2)+(x+2)+
24、11、44。 x+2x=99 解,得x=22答:拆成的四个数分别是:20、
5、一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位与个位上的数的和是这个两位数的,求这个两位数。
解:设十位上的数为x,则个位上的数为 x+1 ,根据题意,得方程x+(x+1)=[10x+(x+1)] x=4 x+1=5
6、有四个数的和是100,其中第一个数加上4,第二个数减去4,第三个数乘以4,第四个数除以4,结果相同,问:这四个数分别是多少?解:设相同的结果是x,则 (x-4)+(x+4)+
答:四个数分别是:12、20、4、64。 x+4x=100 解,得x=16
7、有人问豆豆的生日是几号,豆豆说:“我的生日在日历表中连同上、下、左、右5个日期之和为21”大家听了都断定豆豆撒谎,请你分析一下,谈谈你的看法。解:设豆豆的生日是x号,则5x=21 解,得x=4.2 由于日期不可能是小数,豆豆撒谎。
一元一次方程的应用题-几何问题
等量关系:周长公式,面积公式,体积公式
1、一个长方形的周长是26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个正方形,设长方形的长为xcm,可列方程是 。解:x-1=26÷2-x+2
2、在一只底面直径为30厘米,高为8厘米的圆锥形容器中盛满水,然后将水倒入一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里,圆柱形容器中的水有多高?
解:设圆柱形容器中的水有 x cm,则 π(10÷2)2 x=π(30÷2)2×8÷3 解得x=24
3、将棱长为20厘米的正方体铁块锻造成一个长为100厘米,宽为5厘米的长方体铁块,求长方体铁块的高度。 解:设长方体铁块的高有 x cm,则 100×5 x=203 解得x=16
4、将棱长为20厘米的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒的底面积为800平厘米,问量筒中水面升高了多少厘米? 解:设量筒中水面升高了x cm厘米,则 800 x=203 解得x=10
5、如图,两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一,相当于小长方形面积的四分之一,阴影部分的面积是224平方厘米,求重叠部分的面积。
解:设重叠部分的面积是x cm2,则5x+3 x=224 解得x=28
6、将一个底面直径是10cm,高为36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm的“矮胖”形圆柱,高变成了多少? 解:设高变成了 x cm,则 π(20÷2)2 x=π(10÷2)2×36 解得x=9 答:高变成了 9 cm。
7、在一个内径为10cm,高为25cm的圆柱形铁桶中装有20cm深的水。现将棱长为5cm的正方体铁块放入铁桶中,则桶中水位会上升多少厘米?若放入水桶中的是底面直径为6cm,高为20cm的铁块,则铁桶中的水是否会溢出?为什么?解:⑴设水位会上升x厘米,则π(10÷2)2·x =53 解得 x ≈1.59
⑵只要比较圆柱形的铁块和桶中剩余部分的体积即可. 圆柱形的铁块的体积:π(6÷2)2 ·20 =180π(cm3)
桶中剩余部分的体积:π(10÷2)2 ·(25-20) =125π(cm3) 180πcm3>125πcm3 答:铁桶中的水会溢出。
8、要建一个长方形养鸡场,使它的一边(长方形的长)靠墙,已知墙长14米,其他三边用长为35米的网子围成,现在甲、乙两人各设计了一个方案,甲设计的方案是长比宽多5米;乙设计的方案是长比宽多2米,问:谁设计的方案比较符合实际?为什么?
解:⑴ 设甲设计的方案中宽为x米,则 2x+(x+5)=35 x=10 ∴ x+5 =15 (米) (不符合题意)
⑵ 设乙设计的方案中宽为y米,则 2y+(y+2)=35 y=11 ∴ y+2 =13 (米)
一元一次方程的应用题-方案设计与成本分析 1、小红和爸爸、妈妈一家三口准备参加旅游团外出旅游。甲旅行社说:“父母买全票,女儿按半价优惠。” 乙旅行社说:“家庭旅游可按团体计价,每人均按全价的八折收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同,那么哪家更优惠? 解:设原票价每张x元。甲旅行社收费:2x+0.5x=2.5x 乙旅行社收费:3x · 0.8=2.4x答:乙旅行社更优惠。
2、甲、乙两旅行社开办暑期团体旅游优惠活动,甲旅行社规定,不超过30人的按原价收费,超过30人的,超出的人数其费用按原价打8折;乙旅行社规定,每人费用9折优惠,问某校有教职工80人应去哪家旅行社更合适?(设两家旅行社对同一路线原价相同)
3、某市剧院举办大型文艺演出,其门票价格为:一等席300元/人,二等席200元/人,三等席150元/人,某公司组织员工36人去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计要可能的购票方案。
4、某市的出租车计价规定如下:行程不超过3千米,收起步价8元;行程超过3千米,超过部分每千米收费1.2元;某天张老师和三位学生去看望一学生,共乘了11千米,请你算一下张老师应付车费多少元?
5、据《楚天都市报》消息,武汉居民生活用水价格将进行自1999年以来的第四次调整,试行居民生活用水阶梯式计量水价,拟定城市居民用水户(户籍人口4人及以内)每月用水量在22立方米及以内的,为第一级水量基数,按调整后的居民生活用水价格收取;超过22立方米且低于30立方米(含30立方米)的部分为第二级水量基数,按调整后价格的1.5倍收取;超过30立方米的部分为第三级水量基数,按调整后价格的2倍收取。已知调整后居民生活用水价格由现行的每立方米1.51元拟上涨到1.96元。市民张先生一家三口人,他按自己家庭均用水量计算了一下,按目前新价格,他一个月要缴纳74.48元的水费。请问张先生一家月均用量是多少立方米?和调整前比较,他家每月平均多缴纳多少元水费?
6、小明家搬了新居要购买新冰箱,小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱。其中,甲冰箱的价格为2100元,日耗电量为1度;乙冰箱是节能型新产品,价格为2220元,日耗电量为0.5度,并且两种冰箱的效果是相同的,老板说甲冰箱要以打折,但是乙冰箱不能打折,请你就价格方面计算说明,甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算?(每度电0.5元,两种冰箱的使用寿命均为10年,平均每年使用300天)
7、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,经洽谈后,甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠。该班需要球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒)。问:
⑴当购买乒乓球多少盒时,两种优惠办法付款一样?
⑵当购买15盒、30盒乒乓球时,请你去办这件事,你打算去哪家商店购买?为什么?
8、某单位急需用车,但又不需买车,他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同,个体车主的收费是3元/千米,国营出租公司的月租费为2000元,另外每行驶1千米收2元,试根据行驶路程的多少讨论用谁的车比较合算?
9、某农户2000年承包荒山若干公顷,投资7800元改造后,种果树2000棵,今年水果总产量为18000千克,此水果在市场上千克售a元,在果园每千克售b元(b<a)该农户将水果运到市场出售,平均每天出售1000千克,需要8人帮助,每人每天付工资25元,汽车运费及其它各项费用平均每天100元。
①分别用a、b表示用两种方式出售水果的收入。
②若a=1.3元,b=1.1元,且两种出售水果的方式都在相同时间内售完全部水果,请通过计算说明,选择哪种出售方式较好?
10、育才中学需要添置某种教学仪器,方案一:到商家购买,每件需要8元;方案二:学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的月租费120元,设需要仪器x件。
①试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;
②当所需仪器为多少件时,两种方案所需费用一样多?
③当所需仪器为多少件时,选择哪种方案所需费用较少?说明理由。
11、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴15元月租费,然后每通话1分钟,再付话费0.3元;乙种使用者不缴纳月租,每通话1分钟,付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟,甲、乙两种的费用分别为y1和y2元。
①试求一个人每月要打电话30分钟,他应该选择哪种通信业务?
②根据一个月通话时间,你认为选用哪种通信业务更优惠?
12、某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游,甲旅行社说:“如果校长买一张全票,则其余学生可享受半价优惠”, 乙旅行社说:“包括校长在内按全票的六折优惠”(既按票的60%收费)。现在全票票价是240元/人,学生数为5人,请算一下哪家旅行社优惠?如果你是校长,只有两名学生,你会选择哪家旅行社呢?
13、据电力部门统计,每天8:00至21:00是用电高峰期,简称“峰时”,21:至次日8:00是用电低谷期,简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体见下表:
小明家对换表后最初使用的95度电进行测算,经测算比换表前使用95度电节约了5.9元,问小明家使用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度?
14、小明想在两种灯中选购一种,其中一种是10瓦(即0.01千瓦)的节能灯,售价50元,另一种是100瓦(即0.1千瓦)的白炽灯,售价5元,两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3000小时内)节能灯售价高,但较省电,白炽灯售价低,但用电多,电费0.5元/千瓦·时。
① 照明时间500小时选哪一种灯省钱? ② 照明时间1500小时选哪一种灯省钱?
③ 照明多少时间用两种灯费用相同?
15、有一些相同的房间需要粉刷,一天3名师傅去粉刷8个房间,结果其中有40m2的墙面未来得及刷;同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的全部墙面。每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面。
①求每个房间需要粉刷的墙面面积;
②张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,需要几天完成?
③已知每名师傅每天工资85元,徒弟每天的工资65元,张老板要求在3天内完成,问如何在这8个人中雇用人员,张老板才更省钱?
16、我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润为4500元,经精加工后销售,每吨利润可达为7500元,当地一家农工商企业收购这各蔬菜140吨,该企业加工帮的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨,如果进行细加工,每天可以加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季节条件限制,企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕,企业研制了三种可行性方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工,来不及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售;
方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天。
你认为哪种方案获利最多?为什么?
17、牛奶加工厂现有鲜奶8吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售8吨),每吨可获利润500元;制成酸奶销售,每加工1吨鲜奶可获利润1200元;制成奶片销售,每加工1吨鲜奶可获利润2000元。该厂的生产能力是:若制酸奶,每天可加工3吨鲜奶;若制奶片,每天可加工1吨鲜奶;受人员和设备限制,两种加工方式不能同时进行,受温度条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。
请你帮牛奶加工厂设计一种方案,使8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕,又能获得你认为最多的利润。
一元一次方程的应用题-中外古典名题 1、100个和尚100个馍,大和尚每人吃两个,小和尚三人吃一个,问有多少大和尚?多少小和尚?
解:设大和尚有x人,则2x+ (100-x)=100 ∴ x=40 100-x=60
2、有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少个?
解:设鸡有x个,则2x+4 (88-x)=244 ∴ x=54 88-x=34
3、古书上有一道有趣的数学问题:有一长者问一男孩兄弟几人?姐妹几人?男孩回答:我有几个兄弟,就有几个姐妹,这个长者又问男孩的姐姐,她回答:我的兄弟数是我的姐妹数的2倍,请问:他家兄弟、姐妹各几人?
解:设他家的兄弟有x人,则x=2(x-1-1) ∴ x=4
4、李白街上走,提壶去买酒;遇店加一倍,见花喝一斗;三遇店和花,喝完壶中酒,试问酒壶中,原有多少酒? 解:设原有 x 斗酒,则2[2(2x-1)-1]-1=0
5、(托尔斯泰问题)从前有个农夫,死时留下几头牛,在他的遗书中写道:“妻子:分给全部牛的半数再加半头,长子:分给剩下的牛的半数再加半头,次子:分给还剩下的牛的半数再加半头,长女:分给最后剩下的半数再加半头。”结果一头牛也没有杀,也没有剩下,正好全部分完。请问农夫死时留下了几头牛?
解:设共有x头牛,则 (x+1) +(x+1) +(x+1) +(x+1)=x 解得 x=15
6、爱迪生是美国杰出的科学家、发明家,他一生约有1000多种发明,他曾说过:“天才是百分之一的灵感,加上百分之九十九的汗水。”爱迪生曾经对家里的门做了一个巧妙的设计,让门和一个打水的装置相连接,每一次开门可以往水槽里加20升水。后来他又改进了设备,使每次开门可往水槽里加25升水,这样水槽加满时可少开12次门。你知道爱迪生的水槽容积有多大吗?
解:设原来开x次门可以将水槽灌满,则:20x=25(x-12) 解得x=60,所以水槽的容积为20×60=1200(升)
7、塔塔利亚是意大利16世纪的数学家,以前他不叫这个名字,因为塔塔利亚患有严重的口吃,后人干脆以塔塔利亚(这个词在意大利语中有口吃的意思)称呼他了。在塔塔利亚的算术书中有这样一道题目:13只老鼠围成一圈,其中只有一只白老鼠,一只白猫要吃掉其中的12只老鼠,它从某只老鼠开始数数,依某个方向数到13时,就吃掉这只,剩下12只老鼠,白猫从刚吃掉的那只老鼠作为1继续往前,按照原来的方向,数到13时,就吃掉那只;然后又数数,……,一直进行下去,直到剩下一只老鼠为止。试问怎样能使白老鼠不被吃掉。
解:用黑圈代表黑鼠,白圈表示白老鼠。如果我们事先知道白猫会从哪只老鼠开始数数,那么,我们可以将对应的点作一个记号“×”(这个点为1),也就是从记号为“×”的老鼠开始数数。依照题目的要求,开始按一个方向数数,将数到13的点划掉(也就是被白猫吃掉),然后继续按同一方向往前,再从1数到13(被划去的点不能再数),再将13的那个点去掉。如此不断,继续进行下去,直到剩下一个点为止(每数一次都要划去一个点,点的个数会越来越少)。我们将这个点用白圈表示,它代表白老鼠,其余的12个点都用黑点表示,这样就可以保证白老鼠不被吃掉。
8、罗蒙诺索夫是俄国学者、诗人,并建立了原子-分子物质结构理论,验证了物质在化学反应时“物质守恒定律”。在他去世后, 有人为他的生平写了一道趣题:罗蒙诺索夫生活在18世纪。他出生的年份的四个数字之和等于10,且个位与十位数字相同;他去世的年份四个数字之和为19,且这个年份的十位数字被个位数字除后,商1余1,求他的生卒年份。
解:由于他出生在18世纪,那么出生的那一年的前两位数是17,且个位与十位数字相同,四个数字之和等于10,那么他出生的那一年可以写作17aa,1+7+a+a=10这样,a只能是1,所以他生于1711年。
由于他生活在18世纪,且他去世的年份四个数字之和为19,且这个年份的十位数字被个位数字除后,商1余1,这说明:十位数字比个位数字多1,因此,他去世的那年可以写作17(a+1)a,1+7+(a+1)+a=19得到,a=5,所以他死于1765年。
9、我国明代出现了一位伟大的数学家程大位,少年时,他就对数学产生了浓厚的兴趣,并在一生中始终进行着数学研究,他到了60岁那年,他提出了著名的“百羊问题”:
有一个牧羊人对另外一个牧羊人说:“我的羊现在不是100只,但是,我现在的羊加上我现在羊数相等的羊,再加上现在羊的一半的羊,再加上现在羊的一半的一半的羊,另外再加上一只羊,那么恰好是100只了,请你算算我现在有多少只羊。”解:设他现在有x只羊,则:x+x+x+x +1=100 解得x=36,
一元一次方程-浓度问题
1、有含盐20%的盐水5千克,要配制成含盐8%的盐水,需要加水
2、今需将浓度为80%和15%的两种农药配制成浓度为20%的农药4千克,问两种农药各应取多少千克?
3、甲、乙两块合金,含银和铜的比分别是甲为4:3,乙为7:9,现在从两块合金中各取多少千克,能得到含银84千克,含铜82千克的新合金?
4、有甲、乙两种铜和银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%的合金100千克,两种合金各取多少千克?
5、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克,要把它配制成浓度为25%的硫酸,需要加入浓度为50%的硫酸多少千克?
设辅助求知数
1、某商场四月份售出某品牌衬衣b件,每件c元,营业额a元;五月份采取促销活动,售出该品牌衬衣3b件,每件打八折,则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加【 】
A、1.4a元; B、2.4a元; C、3.4a元; D、4.4a元。解:bc=a 3b · c×0.8-a=3a×0.8-a=1.4a
2、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的 ,若提前购票,则给予不同程度的优惠。在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的 ,零售票每张16元,共售出零售票的一半,如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元才能使这两个月的票款收入持平?
3、现对某商品降价10%促销,为了使销售总金额不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?
一元一次方程杂题
1、某人乘船由A顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米,若A、C两地的距离为10千米,则A、B两地之间的距离为多少千米?
2、汽车以72千米/时的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员按一声喇叭,4秒后听到回响,已知声音的速度是340米/秒,听到回响时,汽车离山谷是多少米?
3、一客轮逆水行驶,船上一名乘客掉了一件物品浮在水面上,等到乘客发现后,轮船立即掉头去追所掉物品,已知轮船从掉头到追上这件物品用了5分钟,问乘客是几分钟后发现所掉物品的?
4、某服装厂生产某种定型冬装,9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%,10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装的成本不变)销售件数比9月份增加80%。那么该厂10月份销售这种冬装的利润总金额比9月份的利润总金额增长( )
(A)2% (B)8% (C)40.5% (D)62%
5、购买10种货物A1,A2,……A9,A10,如果购买件数分别为1,3,4,5,6,7,8,9,10,11件,共需1992元,如果购买件数分别为1,5,7,9,11,13,15,17,19,21件,则需3000元,那么各买一件共需多少元?
6、一份试卷共30题,规定答对一题得3分,答错一题扣1分,小明每题都做了,共得了78分,那么他答对了几道题?
7、某份试卷有n个题目,每个题目的得分相同,学生甲答对了前20个题目中的15个,其余的问题答对 ,于是该生所得的分数占考试满分的 ,则这份试卷的总题目数是【 】 (A).100 (B).110 (C).120 (D).90
解:设每道题1分,则 解,得n=120 答案:应选C
8、有一个老爷爷推着车子卖西瓜,第一个人买走了他的西瓜的一半又半个;第二个人买走了剩下的一半又半个;第三个人买走了前两个人剩下的一半又半个;正好买完全部的西瓜。问:老爷爷一共卖了多少个西瓜?
解:设老爷爷一共卖了x 个西瓜,则第一个人买的: 第二个人买的: 第三个人买的:
由此得方程: 解得x=7
9、在一条新修的道路一边安装路灯,若每隔30米安装一盏,装到最后还剩下3盏;若每隔25米安装一盏,要装到尽头还需要购置77盏,求这条道路的长。
解:设原有 x 盏灯,则 30×(x-1-3)=25×(x-1+77) x =404
30×(x-1-3)=30×400=12000(米) 答:这条道路的长是12000米。
10、学生问老师多少岁,老师说我像你这么大时你才2岁,你长到我这么大时,我就35岁了,请你算算老师、学生各多少岁?
解:设学生今年 x 岁,则师生相差:(x-2) 岁 则老师今年:( x+x-2) 岁
x-2=35-( x+x-2) x=13 x+x-2=24 (岁)
11、某校为了庆祝“国庆节”,要求七年级每个班办一期“庆国庆”的“黑板报”,七⑵班的小明从班主任的办公室领回一盒粉笔正往教室走,刚好遇上同班的小红,小红问小明:“这盒粉笔有多少支?”小明数了数说:“这盒粉笔的一半是红色,五分之一是绿色,六分之一是黄色,还有4支粉笔是白色”请你算一算这盒粉笔有多少支?
解:设这盒粉笔有 x 支,则 x=30 答:这盒粉笔有30支。
12、一只老鼠吃一堆花生米,第一天吃了其中的 又 粒,第二天吃了剩下的 又 粒,······第九天吃了剩下的 又 粒,这时还剩10粒,问原来有多少花生米?
13、有一根铁丝,第一次用去了它的一半少1米,第二次用去了剩余铁丝的一半还多1米,结果这根铁丝还剩余2.5米,问:这根铁丝原来长多少米?
解:设这根铁丝原来长x米,则 x=12
答:这根铁丝原来长12米。