全等,等边三角形动点问题
全等三角形,等边三角形,直角三角形与动点问题
例1. 如图,已知△ABC 中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D 为AB 的中点.
(1)如果点P 在线段BC 上以3cm/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由; ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等?
(2)若点Q 以②中的速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇?
变式如图,在等边△ABC 中,AB=9cm,点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s的速度移动,点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s速度移动.P 、Q 两点同时出发,它们移动的时间为t 秒钟.
(1)你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗?请你表示出来.(2)请问几秒钟后,△PBQ 为等边三角形?
(3)若P 、Q 两点分别从C 、B 两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC 三边运动,请问经过几秒钟后点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇?
例题2.如图,等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ,现把它们拼合起来,E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点,F 是CD 上一动点,满足AE+CF=a .
(1)E、F 移动时,△BEF 的形状如何?
(2)当E 、F 运动到什么位置时,△BEF 面积的最小?
变式:(2012•遵义)如图,△ABC 是边长为6的等边三角形,P 是AC 边上一动点,由A 向C 运动(与A 、C 不重合),Q 是CB 延长线上一点,与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合),过P 作PE ⊥AB 于E ,连接PQ 交AB 于D .
(1)当∠BQD=30°时,求AP 的长;
(2)当运动过程中线段ED 的长是否发生变化?如果不变,
求出线段ED 的长;如果变化请说明理由.
例3:已知,如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发,沿AB 向点B 运动,动点Q 从点B 出发,沿BC 向点C 运动,如果动点P 、Q 都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t (s ),那么t 为何
A
例题5. 如图,四边形ABCD 中,∠BAD =120°,∠B =∠D=90°,
在BC ,CD 上分别找一点M ,N ,使△周长最小,求∠AMN+∠ANM的度数.
例题6. 在平面坐标系中有一点P (-1,2),若有一动点A 在坐标轴上使得△AOP 是等腰三角形,则A 点的个数有_____个。
当堂检测. 如下图,已知正方形ABCD 中,边长为10厘米,点E 在AB 边上,BE=6厘米.
(1)如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPE 与△CQP 是否全等,请说明理由;
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时能够使△BPE 与△CQP 全等?
(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿正方形ABCD 四边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇?