水文作业10月5号交 达西定律的理论推导

达西定律的理论推导

达西定律可以从多孔介质中层流运动所遭遇的阻力关系推导出来。

图 1为沿流线方向s 取得单元微分体, 长为ds, 断面积为dA;

图1 渗透水体的受力

作用在单元柱体上的力有: 两端的孔隙水压力, 孔隙水流的自重及水流受到

颗粒孔隙道的摩阻力F 。沿土柱方向写渗流的三力平衡式(略去水流的惯性力)

pndA - ( p+ dp ) ndA - γndsdA sinθ- F = 0

因为 dz/ds= sinθ, h =p/γ+ z , dp= �γ( dh - dz )

代入上式则得

γndA dh + F = 0 ( 1)引用司托克斯对于一个颗粒上的层流阻力的公式

D=3πμd ν' , 式中D 常被称为拖引力; d 为颗粒直径; v'为颗粒周围沿渗

流方向的局部平均流速; !为水的动力粘滞性; ∀为一个系数, 决定于邻近颗

粒的影响(对于无限水体中的圆球∀= 3π )。若土柱中土颗粒数为N, 并引

用一个球体系数β(圆球时β=π/6), 则总阻力应为

F = DN [( 1- n ) dA ds]/[βd3] ∀μdv �''''' '( 2)

将( 2)式代入( 1)并考虑到断面上平均流速v= nv'�'' 及渗流坡降J=

-dh/ds, 则得v=[βn2]/[∀( 1- n )]d2 γ/μ J, 令C=[βn2]/∀( 1- n ),

再令达西渗透系数k= Cd2 γ/μ, 即得达西定律表达式v= kJ。

渗透系数 k 是一个代表土的渗透性强弱的定量指标，也是渗流计算时必须

用到的一个基本参数。不同种类的土，k 值差别很大。因此，准确的测定土

的渗透系数是一项十分重要的工作。

渗透系数的测定方法

渗透系数的测定方法主要分“实验室测定”和“野外现场测定“两大

类。

1. 实验室测定法

目前在实验室中测定渗透系数 k 的仪器种类和试验方法很多，但从试验

原理上大体可分为”常水头法“和" 变水头法" 两种。

常水头试验法 就是在整个试验过程中保持水头为一常数，从而水头差也

为常数。 如图：

常水头法测渗透系数k

试验时，在透明塑料筒中装填截面为A ，长度为L 的饱和试样，打开水

阀，使水自上而下流经试样，并自出水口处排出。待水头差△h和渗出流量Q

稳定后，量测经过一定时间 t 内流经试样的水量V ，则

V = Q*t = ν*A*t

根据达西定律，v = k*i，则

V = k*（△h/L）*A*t

从而得出

k = V*L / A*△h*t

常水头试验适用于测定透水性大的沙性土的渗透参数。粘性土由于渗透

系数很小，渗透水量很少，用这种试验不易准确测定，须改用变水头试验。

变水头试验法就是试验过程中水头差一直随时间而变化，其装置如图：

变水头法测渗透系数

水从一根直立的带有刻度的玻璃管和U 形管自下而上流经土样。试验时，将

玻璃管充水至需要高度后，开动秒表，测记起始水头差△h1，经时间 t 后，

再测记终了水头差△h2，通过建立瞬时达西定律，即可推出渗透系数 k 的表

达式。

设试验过程中任意时刻 t 作用于两段的水头差为△h，经过时间dt 后，

管中水位下降dh ，则dt 时间内流入试样的水量为

dVe = －a dh

式中 a 为玻璃管断面积；右端的负号表示水量随△h的减少而增加。

根据达西定律，dt 时间内流出试样的渗流量为：

dVo = k*i*A*dt = k*（△h/L）*A*dt

式中，A ——试样断面积；L ——试样长度。

根据水流连续原理， 应有dVe = dVo，即得到

k = （a*L/A*t）㏑（△h1/△h2）

或用常用对数表示，则上式可写为

k = 2.3*（a*L/A*t）㏒（△h1/△h2）

凝析油气渗流理论研究

本文综述了凝析油气渗流研究的现状，简要介绍了凝析油气藏特征、开采方案及其试

井分析方法，着重讨论了凝析油气渗流的基本方程、解析解法和数值模拟。在此基础上， 提

出了该理论研究的发展前景。 关键词关键词关键词关键词 凝析油气藏；渗流；试井分析；

解析解；数值模拟 1 1 1 1 引言引言引言引言 所谓凝析油气藏即能采出天然气和凝析油

的气藏。凝析油是汽油及密度太于汽油但小于0．786 的其他馏分的混台物。在地层条件下，

天然气和凝析油通常呈单一的气相状态， 并符合反凝析规律。它既不同于油藏， 也不同于

气藏，是一种新型的工业性油气储集类型。 凝析油气藏是30年代初首先在美国发现的。随

钻井深度的增加，世界上许多国家，如苏联、 英国、加拿大、澳大利亚、挪威、阿联酋和

我国等也相继发现了凝析油气藏。依目前勘探情况，苏联的凝析油气藏数目最多，储量也最

大。 凝析油气藏和一般油藏、气藏相比具备一系列优点。世界上每年有越来越多的凝析油

气 藏投入工业性开发。 因此凝析油气渗流研究具有重大现实价值。 凝析油气渗流比一般

油气渗流更为复杂。对相当多的凝析油气渗流，如果地层压力高出露点压力太多，循环注气

开发以及井筒流动，管道输运等，不可避免地出现凝析反凝析、蒸发反蒸发和溶解分离过程。

此外，由于凝析油气渗流的高温高压特性，理想气体状态方程不适用，需要应用形式上繁杂

得多的状态方程。所有这些都给凝析油气渗流的研究增加相当大难度。这就是为什么发现凝

析油气藏50多年来其渗流理论研究尚不深入的根本原因。 本文综述凝析油气渗流研究的现

状。先介绍凝析油气藏的主要特征、开采方案及试井分析方法。而后引出凝析油气渗流的控

制方程。接着分析凝析油气渗流的解析解法。最后讨论凝析油气渗流的数值模拟。在此基础

上，进一步提出凝析油气渗流理论研究的发展前景。 2 2 2 2 凝析凝析凝析凝析油气藏特征

油气藏特征油气藏特征油气藏特征及及及及开发开发开发开发 2.12.12.12.1 凝析油

气藏特征凝析油气藏特征凝析油气藏特征凝析油气藏特征 凝析油气藏赖以形成的地质

物理条件，决定了它具有一系列不同于油藏、气藏的特征。这些特征主要反映在以下几个方

面： ①凝析油气藏的埋藏深度较深，地层温上筻高，压力高。 ②油气藏温度、压力随深度

变化，导致凝析油的含量、组分构成和露点压力的变化。在相同地质条件下，凝析油含量取

决于温度和压力，因而也就取决于埋藏深度：埋藏越深， 地层温度承受力都越高，凝析油

古量也就越高。同时，露点压力还受产率的影响。产率愈高， 露点压力愈低。 ③出现凝析

和反凝析，溶解和分离过程。气中溶解有凝析油，含量随露点压力改变；油中又溶解有气，

含量随泡点压力变化。这种相间传质现象构成凝析油气渗流的重要特征。 ④凝析油气藏开

发过程巾，储集地层变形，进而改变介质的孔隙度和渗透牢。有学者研究发现，这种介质孔

隙度、渗透率的变化遵循一定下，储层变形还将影响天然气、凝析油采收牢，他的实验显示：

在刚性水压驱动条件下，强变形地层的气体采收率比弱变形地层的要高出14.8％，而凝析油

采收率正相反， 弱变形地层的较高． ⑤湍流的影响不可忽视。凝析油气渗流中，气体渗流

速度高，构成湍流流动。这时 达西定律不适用，代之应采用非线性的渗流规律。 ⑥含CO2

和H2S 等腐蚀性气体。 2.22.22.22.2 凝析油气藏开发凝析油气藏开发凝析油气藏开发凝

析油气藏开发 所谓凝析油气藏的合理开发是指在遵守资源和环境保护前提下，力争取得

最大的国民经济效益，即达到最佳经济技术指标，获得最高天然气和凝析油采收率。凝析油

气藏开发方案很多，如衰竭式、注水注气保持地层压力等。此外，也应用混合方案。

2.2.12.2.12.2.12.2.1 衰竭式衰竭式衰竭式衰竭式开发开发开发开发 这是最为简单和

直观的开采方案。它具有容易满足国民经济对天然气的需求，基建投资少，可很快收回成本

等一系列优点。其缺点是天然气及凝析油采收率低、凝析油损失大，从经济和长远角度考虑

是不理想的。 2.2.22.2.22.2.22.2.2 循环注气循环注气循环注气循环注气开发开发开发开

发 这是最常用的保持地层压力的方法。因通常注入采自同一层位而又经脱油的气体，故

称循环注气。它一方面能保证最充分地驱替含凝析油的湿气，防止凝析油滞留地层，另一方

面可储备天然气，用于将来出售。 回注比是循环注气开发的一重要参数，回注比愈大，采

收率就愈高。但提高回注量需付出经济代价，如提高地面设施的能力和容量。如果因提高回

注量投入大量资金，而开发上收效甚微，经济上显然不足取。王瑞河由数值模拟得出结论：

回注比控制在0.7左右的循环注气，是苏1潜山凝析气藏的最佳开采方式。

2.2.32.2.32.2.32.2.3 注水注水注水注水开开开开发发发发和循环注气相比和循环注气相

比和循环注气相比和循环注气相比 注水开发有明显优点：天然气可马上出售， 注入花

费少， 组分构成不变以及可较好保持地层压力。但迄今为止注水方案并未获得实际应用。

原因在于注入水俘获大量天然气，这部分天然气很难在随后采用降压方式予以开采。

2.2.42.2.42.2.42.2.4 注注注注NNNN2222开发开发开发开发 将从空气中分离产生的

氮气注入凝析油气藏有利于提高油气采收率。只要有足够能源供应并采用适宜的技术，氮气

可在任何地方产生，注入的氮气可以同天然气一样在地层内循环维持压力，防止在井周围产

生凝析液。Daltanb an et al，Bruggeman et al借助数值实验等手段详细比较了上述开发方案。

2.32.32.32.3 凝析油气藏试井分析凝析油气藏试井分析凝析油气藏试井分析凝析油气藏

试井分析 作为渗流理论的一个组成部分，试井分析必不可少。对凝析油气系统，存在1

个临界饱和度，当反转凝析液超过临界值时，液态才开始流动。而对实际凝析油气渗流，凝

析液饱和度通常低于这个数值，即可认为地层中凝析液流速为零。因此，有人提出凝析油气

井试井资料的处理可沿用单相气井的试井分析方法。 但实践证明，这种方法不能确切地表

征凝析油气渗流的真实情况。在井筒及地层流动过程中， 随压力、温度降低，出现了反转

凝析现象，这决定了凝析油气井试井分析方法应与单相气井有所不同。 张树宝等将井口得

到的凝析液量折算成相应的凝析气量，再用二项式或指数式来整理凝析油气藏的试井资料。

国外的试井研究则侧重于应用虚拟压力、虚拟的规律。在某些情况

压力积分和定态理论的概念。这些做法都获得较为理想的结果。 3 3 3 3 控制方程控

制方程控制方程控制方程 3.13.13.13.1 物质平衡方程物质平衡方程物质平衡方程物

质平衡方程 假设地层均质各向同性，水中不溶解气体。忽略重力、浮力和毛管力影响。

利用质量守恒原理， 可以推出 气 (3-1) 油 (3-1) 水 (3-1) 式中，分别为溶解油气比和凝析油

气比，、、、（m=g、o 、w ）分别为各相的体积系数、渗流速度、饱和度和流量，为介质孔隙

度，下标g 、o 、w 分别表示气、油和水。 3.23.23.23.2 运动方程运动方程运动方程运动

方程 (3-4) 其中分别代表渗透率和相对渗透率，为粘性系

数，为压力，为重度。 对凝析油气渗流， 气流速度较高，产生偏离上述达西定律现象。许

多学者将这归因为湍流因素的影响或惯性的影响，合理的解释是： 随渗流速度的增加，惯

性引起最初的偏离，湍流则影响更高速度下的流动。 显而易见， 应用(3-4)需要知道三相相

对渗透率数据． 这可通过油水或油气两相的实验数据代替， 或由饱和度一毛管压力关系曲

线预测。 水、气相对渗透率可直接使用实验数据，它们只是自身饱和度的函数．而油相相

对渗透率则为水、气饱和度的两元函数， 其表示有多种，比较而言，Stonc-Ⅱ公式和Aziz

公式应用比较广泛。 3.33.33.33.3 状态方程状态方程状态方程状态方程 如前所述，

凝析油气渗流特征之一为高温高压特性。这决定了理想气体状态方程的不适用性。为此，人

们提出了一系列修正方程，主要包括RK 、ZJRK 、SRK 、PR 。

Martin 指出，上述各状态方程可统一表示成压缩因予的3次方程形式。Coais 用基本热

力学平衡关系导出这一通用状态方程 对RK ，ZTRK ，SRK 状态方程, 实际经验表明，尽

管使用上述状态方程有时可得较好结果，但不能视为完全可靠的方法。特别在衰竭式开发中，

状态方程往往无法计算出和实验相符的反转凝析液饱和度数值。幸运的是， 利用参数调整

(通常由非线性阿归自动完成) ，状态方程还是能够调整计算出令人满意的结果。 3.4 3.4 3.4

3.4 约束关系约束关系约束关系约束关系 其中，分别代表气、油、水相饱和度。 4

4 4 4 解析方法解析方法解析方法解析方法 4.14.14.14.1 精确解法精确解法精确解法

精确解法 假定： ①地层均质等厚，各向同性；② 忽略重力、浮力和毛管力影响；③理

想气体等温渗流；④凝析液饱和度低于临界数值，即研究的是凝析液的积聚过程。 此时，

地曝压力p 和凝析液饱和度S 满足 (4-1) (4-2) 其中

a ，b ，c 为常数，大小取决于介质以及地层条件。 4.1.1 4.1.1 4.1.1 4.1.1 一一一一维不稳定

凝析油气渗流定解方程维不稳定凝析油气渗流定解方程维不稳定凝析油气渗流定解方程维

不稳定凝析油气渗流定解方程 (4-3) (4-4) 定解条件p(0,t)= ,p(,t)=，p(x,0)=，S （x,0)=0

根据定理， 可得方程(4-3)，(4-4)的自模解 (4-5) 其中,,, 。压力分布可

容易求出。 4.1.24.1.24.1.24.1.2 平面径向不稳定凝析油气渗流类似地有平面径向不稳定

凝析油气渗流类似地有平面径向不稳定凝析油气渗流类似地有平面径向不稳定凝析油气渗

流类似地有 (4-6) 4.2 4.2 4.2 4.2 近似解法近似解法近似解法近似解法

4.2.14.2.14.2.14.2.1 稳态替换法稳态替换法稳态替换法稳态替换法 所谓稳态替换法,

顾名思义, 即将每一lj 寸刻不稳定渗流视为稳定渗流并代替之， 从而求出相应的不稳定渗流

解。 ① 平面径向不稳定凝析油气渗流．众所周知，柑应的气体稳定渗流p(r,t)为 (4-7) 式中R(t)为假想供给边缘半径。代入(4-2),积分并略去2阶以上小量，有 (4-8)

计算表明，精确解(4．6) 和近似解(4．8) 之间差别别小。 ② 1维不稳定凝析油气渗流。同

样将气体稳定渗流压力分布代入(4-4)，得 (4-9) 其中

5 5 5 5 数值模报数值模报数值模报数值模报 从上节可以看出, 凝析油气渗流仅在

一些特殊条件下才有相应解析解，而更多的情况下解析解并不存在。因此，一般的凝析油气渗流问题唯有借助数值模拟方法加以解决。根据烃类流体性质(PVT数据) 计算的方法，可以将凝析油气渗流数值模拟方法划分为4类模型：黑油模型，改进黑油模型，组分模型和中介模型。对于具体凝析油气渗漉问题，其数值模型的选择取决于油气藏的特点及其开发方案

5.15.15.15.1黑油模型黑油模型黑油模型黑油模型 油藏工程中最常用的数值模拟莫过于黑油模型．其主要假设在于以两个“组分”代表烃类物质系统：1个是非挥发性组分，即黑油或标准状态下的原油；另1个是溶解在油相和水 相中的挥发性组分(标准条件下为气体) 。这假设意味着该系统至多只古3种组分(油，气、水) 种3种相态(油 气、水) ，而且随压力的降低，分离出的气体组分构成与压力无关。 只要地层压力、温度不处于临界状态，也不出现反凝析，黑油模型就可以给出令人满意的结果。但是，大多数凝析油气渗流中，这些条件往往并不满足，因此， 黑油模型对凝析油 气渗流不适用。除非对它作必要的修正，否则给出的结果不可信。 5.2 5.2 5.2 5.2 改进黑油模型改进黑油模型改进黑油模型改进黑油模型 黑油模型不能用于模拟凝析油气渗流，其根本原因在于它无法反映凝析和反凝析机理。人们试图对黑油模型进行改进，使之能够克服这一困难。Spivak et al，B anks et al，Coats ，李允等借助于考虑两拟组分的方 法处理凝析油气渗流问题，这两拟组分为凝析液和仅以气相形式出现的干气． 前者在标准条件下为液态，但可以在油藏条件下蒸发变成气态。气相中的这一凝析液成分和压力有关，其处理方式和黑油模型中油相气态成分相类似。 Cook ct al 在一维数值模拟中计入组分效应，即认为所有流体的性质(包括气相中的液态成分) 为注入气量的函数。正如Henry 指出的那样，文[62]的处理隐含平衡常数k 仅为压力函数的条件。因此这种模型对于k 值同为组分函数的情况不成立。 5.3 5.3 5.3 5.3 组分模型组分模型组分模型组分模型 组分模型在渗流理论研究中获得广泛应用。它不仅髓准确描述一般油气渗流问题的物理模型，而且可以反映凝析油气渗流的凝析、反凝析以及分离、溶解等重要机理。 组分模型求解的方程包括流体运动方程、各组分的质量守恒方程。此外还包括油气两相的相平街关系、相物质平衡方程以及摩尔分数和饱和度约束关系等。利用这些方程，可以求出压力，总组分数、各相的组分数和饱和度。详细的计算方法和步骤可参见Nghicm ct al和Aziz 。 凝析油气藏中，流体通常至少包含20种组分。因此取同样组分数的完全组分模型显然是，下可取的，因为这将花费相当可观的计算时间。组分数越少，所需计算时间越少。但是，组分太少的组分模型将不可避免地又面临黑油模型及改进黑油模型的困难。一般情况下，取7个左右虚拟组分即可达基于以上回顾， 我们认为凝析油气渗流理论的研究前景应侧重予以下几个方面。 ①从理论角度进行详细的凝析油气渗流机理研究。迄今为数不多的凝析油气渗流研究几乎都将问题作较大的简化， 如一维、地层均质各向同性等。当然这是问题的极端复杂性所决定的。对凝析油气渗流，完整的理论研究应该考虑各种复杂因素的影响，如地层非均质性； 多维渗流，地层参数随压力的变化露点压力、组分构成、重度等随埋深变化 毛管力、重力、浮力等影响；湍流影响；物化反应过程。这些因素有的可能对流动影响不大，但有些因素可能构成严重影响。从理论上确定这些因素的影响程度，对渗流理论将是极大的完善。 ②重视不同开发方案条件下凝析油气渗流的理论研究。 随着石油勘探开发 事业的发展，将来会有一大批新的凝析油气藏被探明并投入开采。从有效保护和充分利用资源角度出发，针对各种具体凝析油气藏，应该制定相应的合理开发方案。 这除了进行最优化理论的方案设计外，不同开发方案对凝析油气渗流影响的理论研究也是非常必要的。结合理论研究挖掘简单可行的凝析油气渗流近似解。和其他基础学科比较， 渗流理论有更广泛的应用要求，凝析油气渗流也是如此。完整精确的凝析油气渗流理论可能因为其复杂性而削弱它的实用性。实践中更欢迎的是模型经过简化、计算简单快速的近似解。 ④拓展凝析油气渗流研究的数学手段。由于凝析油气渗流理论研究尚很不深入，所应用的数学手段仍有待丰富．正像它们成功地用于解决油、气渗流I 可题那样，各种积分变换、变分原理、差分有限元在凝

析油气渗流研究中也应有所作为。数值模拟，作为凝析油气渗流研究的重要方法，无论其应用模型，还是其数学解法，应加以完善．各相关学科在数值模拟方面的进展和成果， 电应及时地反映和吸收到凝析油气渗流的研究当中． ④探索正确有效的凝析油气藏试井分析方法。目前这方面的理论研究工作较少，且大多是在单相气井试井分析基础上加以修正，未能正确反腆凝析油气渗流试井的真实物理情况。 ⑤ 探索正确有效的凝析油气藏试井分析方法。目前这方面的理论研究工作较少，且大多是在单相气井试井分析基础上加以修正，未能正确反腆凝析油气渗流试井的真实物理情况到精度要求。 6 6 6 6 研究构想研究构想研究构想研究构想