关于圆的问题
圆
知识点一、圆的定义及有关概念
重点:掌握圆的定义及有关概念 难点:熟练掌握运用概念
1、圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。
在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;•最长弦长为_______.
解题思路:圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP垂直的弦,答案:10 cm,8 cm.
知识点二、平面内点和圆的位置关系
重点:掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系 难点:运用点和圆的位置关系及数量关系
平面内点和圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时,d>r;反过来,当d>r时,点在圆外。 当点在圆上时,d=r;反过来,当d=r时,点在圆上。 当点在圆内时,d<r;反过来,当d<r时,点在圆内。 例 如图,在Rt△ABC中,直角边AB3,BC4,点E,F分别是BC,AC的中点,以点A为圆心,AB的长为半径画圆,则点E在圆A的_________,点F在圆A的_________.
解题思路:利用点与圆的位置关系,答案:外部,内部
,4).试判断点练习:在直角坐标平面内,圆O的半径为5,圆心O的坐标为(1P(3,1)与圆O的位置关系.
答案:点P在圆O上.
知识点三、圆的基本性质
重点:掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论 难点:定理及推论的运用
1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 例1 如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
解题思路:在一个圆中,若知圆的半径为R,弦长为a,圆心到此弦的距离为d,•根据垂径定理,有R2=d2+(
a
)2,所以三个量知道两个,就可求出第三个.答案C 2
例2、如图,A、B、C、D是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 解题思路:运用圆周角与圆心角的关系定理,答案:A
例3、如图1和图2,MN是⊙O的直径,弦AB、CD•相交于MN•上的一点P,