科学规律的形式

科学规律的形式

作者：姜水根

一、科学规律的内容与形式

通常大家都认为，物理理论是描述客观世界的真理，它反映世界上物质运动的规律，所以人们把物理理论直接称为科学规律．人们常说，开普勒是“天空的立法者”，开普勒三定律是为行星运动“立法”．诚然，这种说法若是出于对科学家的赞美尚可理解，倘若论及真理的客观性，这句话是不妥的．行星的运动是客观的，开普勒三定律并不是为行星的运动“立法”，在开普勒发现它们以前，它们也一直存在并发生着作用，开普勒只不过发现了它们而已，所以说科学规律并不是科学家人为创造出来的．科学家是从客观事物中发现了客观世界本身所固有的规律，科学规律的内容是客观的．牛顿定律和万有引力定律反映了宏观世界的物体机械运动的规律；分子动理论、气体实验定律等反映了物体热运动的规律；欧姆定律和法拉第电磁感应定律等反映了电磁相互作用的规律；„„科学规律的内容属于客观世界，物理理论作为科学规律的真理性的体现，就是它对客观世界的描述与客观世界的运动吻合． 虽然客观世界的运动是有规律的，但是它并没有直接显示出来，客观世界只是向我们展示现象，不向我们展示本质．物质的运动既没有告诉我们天体发生相互作用的公式，也没有让我们看见气体分子运动分布的函数．科学规律的发现与科学家的工作是分不开的．如果没有科学家的研究，人们对科学规律只能日常用之而不知，每日遇之而不解，人们把太阳看成是一只火鸟，把彩虹想象为鹊桥，殊不知太阳的能量是靠核聚变提供的，彩虹的形成是由于光的色散作用．

经过科学家的努力，人们现在已经掌握了大量的科学规律，这些科学规律的内容虽然是客观的，但是它们的形式是主观的，因为它们是人类思维的产物．内容和形式反映了事物的两个侧面，科学规律也具有这两个侧面，科学规律是客观内容与主观形式的统一．

内容和形式是互相依存、不可分割的．当我们阐述科学规律的内容的时候就必然要采用一定的形式，阐述的方式就是它的形式．比如我们讲到物体受力时的运动，应满足牛顿第二定律，即加速度的大小与力的大小成正比，与物体的质量成反比，用公式表示就是F ＝m ａ．当我们讲到两个物体因为具有质量而发生相互作用时，我们可以用万有引力定律来描述这种相互作用，即这种相互作用遵守平方反比律．即使我们不用数学公式，对于客观世界的规律也要有一个表述方式，这就是科学规律的形式．

我们所探讨的科学规律的形式是指与内容直接相关、反映事物（运动）本质的形式，而不是像出版书本，是采用横排还是竖排，或者采用彩图还是照片这样的外在的形式，我们要讨论的是科学规律为什么要采用现行的表述方式．在艺术上，要表现某一个主题可以采用诗歌、小说或者绘画、电影等不同的形式，那么在科学上，要表述物质运动的规律也要采用适当的形式．

二、科学规律表述形式的发展

人类对自然的观察、研究，对现象的纪录和对规律的表述方式是逐步发展的．

人类开始的时候是用图画对自然进行纪录．象形文字的形成就是很好的说明．比如我国古代的“雨”字，就是对下雨的形象描述；“旦”字，意指太阳在地平线上，即白天的意思（如图1所示）．

图1

神话是人类在童年时期对诸多自然现象的解释，比如山神、河伯、雷神、风神之类，虽然现在看来显得幼稚，但是神话一方面体现了古代人们丰富的想像力，另一方面更是表达了古代人们掌握自然规律的愿望，人们并不满足于所看到的现象，而是希望能找出支配现象的

自然的规律．

谚语是在人们掌握了一定的自然规律之后出现的．谚语易记好懂，每个民族都有自己的谚语．比如我国古代对月相就有“阴晴圆缺”这样的表达，“九曲黄河万里沙”是对黄河既生动又精炼的概括．农业是古代人们的主要生产方式，气候与农业生产是密切相关的，人们对气候的变化非常关心，所以这方面的谚语特别多．比如二十四节气歌“春雨惊春清谷天„„”，从冬至到春耕的九九歌“一九二九难出手，三九四九冰上走„„九九加一九，耕牛遍地走”．与日常生活有关的天气的谚语就更多了，“春雾雨，夏雾火，秋雾凉风冬雾雪”是表述不同季节的雾所征兆的天气，“东虹轰隆西虹雨”，是表述出现彩虹与是否下雨之间的关系；还有“日晕三更雨，月晕午时风”“朝霞不出门，晚霞行千里”等等，这些谚语表明古人对大气的变化规律的掌握，至今人们还经常引用它们．

古代科学家常常用案例或故事来表述科学规律．研究带电体吸引轻小物体的现象，《论衡》表述为：“顿牟掇芥，磁石引针，皆以其真是，不假它类．他类削似，不能掇取者，何也：气性殊异，不能相感动也．”对于磁铁能够指方向的性质，《梦溪笔谈》表述为：“方家以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也”，这些都是一般现象的科学描述．其他如关于小孔成像的描述、关于发声物共鸣的描述，这些描述往往不是单纯的现象记录，而总是跟一定的规律相联系的．这种描述后来成为近代科学发展的先声，吉尔伯特的电磁著作就系统地记载了各种电现象和磁现象，而成为研究电磁现象的专著．

随着实践和思维的深入，人们对自然规律的描述逐渐走向抽象化和符号化．比如人们对于自然界存在的两种不同的电荷，分别用“＋”和“－”来表示，正负号的表述方式与电荷守恒规律相联系，两者是和谐的．而对于两种磁极，在自然界从来没发现过单独存在的磁极（即磁荷），所以也就没有磁荷守恒规律，磁极总是成对出现的，不同的磁极分别用“N ”和“S ”来表示．后来人们又发现了磁极与电流的右旋关系，于是就出现了磁极的手征性表示（如图2所示）．

图2

对客观事物和规律的量化描述在人类历史上很早就出现了．量化首先出现在土地的丈量和一些实用的测绘上．毕达哥拉斯对数尤其钟爱，传说毕达哥拉斯是从音乐与数的简单比例关系中受到启发的．关于乐音的数量关系，我国也很早就有记载，《管子·地员篇》：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟之首以成宫；三分而益之以一，为百有八，为微；不无有三分而去其乘，适足，以是生商；有三分而复于其所，以是生羽；有三分去其乘，适足，以是成角．”这个表述实际上就是一种数学运算，按照这个计算，黄钟的宫、商、角、微、羽音的管长分别为：微（108）、羽（96）、宫（81）、商（72）、角（64）．更成熟的算法是明代的朱载育论证的十二平均律，当时在世界上是领先的，他所用的就是求等比数列的公式．

到伽利略开创近代科学的时候，他的研究采取了实验的探索方法和数学的表述形式．伽利略说：“自然之书用数学写成”，这句话一针见血地指出了科学规律形式化发展的方向．从此以后，科学规律的主要表述形式就是数学．

三、科学规律的数学化

伽利略首先使运动数学化．他研究斜面上铜球的运动，先测量铜球滚下整个斜槽所用的时间，再测量铜球滚下全槽的１/４所用的时间，经测量发现，后者所用的时间正好是前者的一半．他还测量了铜球滚下全槽的１/２、２/３、３/４的距离所用的时间，把测得的数据进行比较，通过数字研究小球运动的路程和时间的比例关系．伽利略不但注重定量的研究，

还特别注重控制变量的研究，使得实验在其他变量得到控制的前提下，单变量地进行研究．这样，伽利略在这里实际上是运用了数学中的单变量函数．与以前的数学表述不同的是，伽利略的数学化不仅指出了物理量之间数量上的关系，更重要的是他把一个运动过程数学化了．在伽利略眼里，自然的运动和数学是合而为一的，所有的运动都可以用数学做精确而完善的描述，比如天体的运动是完美的圆运动，物体的自由落体运动是匀变速运动等． 牛顿继承和发展了伽利略的数学方法．他把物体相互作用的规律以方程的形式表述出来．以方程的形式来表述自然规律，是牛顿划时代的贡献．牛顿定律与万有引力定律都表达了力作用的规律．力是一个抽象的概念，力的定量化，或者说把一个抽象的概念数学化，使科学规律的数学化进程大大加快了．

科学规律在走向数学化的同时，数学本身也是不断向前发展的．笛卡儿开创了解析几何，牛顿和莱布尼茨又发明了微积分，这些发明不但推动了数学本身的发展，也给科学研究和科学规律的描述提供了强有力的武器．数学的高度抽象化和符号化，使得现代科学研究也走向了高度抽象化和符号化．数学作为一种工具，从代数方程发展到微分方程，从标量运算发展到矢量运算，从数量表述发展到矩阵表述，以及数学的思想方法，所有这些都被有效地用在科学研究和科学规律的描述上．

科学规律的数学化到现代我们已经习以为常了．很多物理量我们是用数学来定义的，大部分的物理规律我们都采用了公式表述；力的合成、运动的合成、参考系变换等都用到了矢量运算；气体状态的表述、物理量量纲表述以及量纲分析法的使用，光学仪器对光的作用等，都可以用矩阵描述；物体经过哈哈镜等光具变形成像之后的像序问题、电路图的等效变换、印刷电路板的制作问题的思考等，可以归结为拓扑的思想；气体分子的速率分布、原子核的衰变、激光的产生等用到了概率的思想．可以说，在自然科学领域中，物理学是运用数学最广泛、最深入的一门学科了，因而物理学也是在自然科学领域中最精致最完善的一门学科． 简明精确的数学语言是表述科学概念、科学理论的重要形式，是科学发展的要求，也是科学成熟的标志之一．因为只有定量化的数学描述才能经得起在量上的实验检验，也才能从量的细微差别上寻找理论的不足之处和发展方向．正如马克思所说：“一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步．”

四、数学化的意义

人们常用图象来描述物理规律．比如关于气体的查理定律，反映了在压强不变的情况下，理想气体的体积随温度变化的规律，这个规律反映在Ｖ-ｔ图象上是一条直线（如图３所示）．通过这条直线，人们认识到低温的极限即绝对温度0Ｋ是-273℃，这个温度并不是人们在实验中得到的，而是图象的延伸指明了它．

图3

显然，数学方法的本来意义是揭示科学规律所表示的物理量的内在关系的，但是，数学的形式化的运算，使我们可以暂时脱离科学规律涉及的物理量的本来意义．比如交流电的瞬时方程ｉ＝Ｉｍｓｉｎ（ωｔ＋φ0）用旋转矢量的方法来表示（如图４所示），其实这里

的电流矢量并没有空间矢量的意义，这里所谓的矢量实际上是一种简化了的数学形式的运算，用在同频率电流的瞬时量叠加时计算特别方便．

图4

对于电路分析研究表明，对于接有电阻、电感和电容等元件的直流一阶电路，电路中的电流或电压的变化实际上是由电路元件决定的，所有这些接有不同元件的电路中的电学量（比如电流）的微分方程的解都具有相同的形式ｉ（ｔ）＝ｉ（∞）＋［ｉ（０+）－ｉ（∞）］

ｅ-(ｔ/τ) ，所以我们不需要解具体的方程，只要通过电路中的电阻、电感和电容计算出初始值i （０+）、稳态值i （∞）和时间常数τ，对照方程的形式直接就写出答案．这就是电路

分析的三要素法．这里，我们想起了恩格斯的一句话：“大多数人进行微分和积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的．” 科学规律的形式化不仅使我们计算方便，更重要的是在科学发现和技术发明上具有重要的意义．

万有引力定律和库仑定律，是两个不同领域的物理规律，它们描述的是不同的内容，本来两者是无关的，可是它们有着相同的表述形式，都遵循平方反比律，便有了诸多的联系．实际上，库仑定律在发现的过程中，受到了万有引力定律的启发，这是令人深思的．

在1755年，科学家富兰克林发现，用一根丝线把一个小木块悬挂在带电的球形金属罐外的附近时，小木块受到强烈的吸引，而把小木块悬挂在金属罐内时，木块不受电力的作用．如果是因为小木块放在金属罐的正中间，根据对称性，它受到的各个方向的电力正好抵消，这是不足为奇的，但是富兰克林把小木块放在金属罐内的任何地方，木块都不受电力的作用．富兰克林对此迷惑不解，于是他把这个现象告诉他的朋友——英国化学家普利斯特列．普利斯特列重做了这个实验，证明了空心的带电体对其内的电荷确实没有力的作用．普利斯特列立即从这一事实想到牛顿的万有引力定律．牛顿在1665年发现万有引力定律，在1687年出版的《原理》一书中，牛顿用数学方法证明了：如果平方反比定律有效，一个具有引力的物质构成的均匀球壳对其内部的物体没有引力的作用，而且任何不满足平方反比关系的力都不会有此结果．于是普利斯特列大胆地提出自己的设想：电荷间的引力作用与万有引力一样，也遵循平方反比规律．

麦克斯韦在把法拉第的电磁场做精确的数学化描述的时候，引入了“位移电流”这一假设，使他的用来描述电磁场的方程组在形式上更加对称、完美．通过对这些方程组的研究，麦克斯韦发现了电磁场的波动解，即通过解方程发现了电磁波的存在．电磁波的发现体现了科学规律的形式化对科学发展的推动作用．

振荡电流与机械振动，两者是属于不同领域内的物理现象，但是现代技术却可以把机械振动转换成电信号进行处理，也可以把电信号变换成声音信号，这里振荡电流与机械振动具有相同的数学形式．一般的电流信号在示波器上是一个相当复杂的波形，但是只要波形是周期函数F （x ），经过傅里叶级数展开，这一波形就可以分解出有限项不同频率的正弦函数，这是电工学上的分频原理．乐音是具有周期性的机械波，经过傅里叶级数分析，一个乐音可以分解成有限个纯音，频率最低的是基音，其余的是泛音，所有泛音的频率是基音频率的整数倍，这就是乐音的频谱分析．电子琴就是根据这个原理造成的，它可以奏出各种不同乐器的乐音．声音有多普勒效应，光也有多普勒效应，因为它们都是波，在时间上和空间上都具有周期性．原子核衰变有半衰期，电容器放电也有半衰期，两者都有相同的衰减规律ｎ＝ｎ0ｅ－λｔ．所有这些发生在不同领域内的科学规律，都可以通过类比进行研究，这并不是

因为它们的内容有关联，而是因为它们的数学表述形式有关联，我们的科学和技术正是以此

为基础，不断地向前发展．

科学规律的主要形式是数学，数学与物理科学既相对独立、又互相联系地发展着．当有人询问陈景润的纯数学1＋2有什么用的时候，当教育家们在思考中学生要不要学那么多的欧氏几何的时候，我们对此不以为然，我们偏好数学，我们相信，形式化运算的意义是超越形式的．

参考文献

１ 申先甲．物理学思想史．长沙：湖南教育出版社，１９９３

２ 庄崇光．物理史札记．西安：陕西师范大学出版社，１９８５