运用几何画板动态演示无限逼近思想的探讨
第２３卷第３期
Ｖ０１．２３
Ｎｏ．３
钦
州学
院学报
２００８年６月
Ｊｕｎｅ．，２（）（）８
ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＱＩＮＺＨｏＵＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
运用几何画板动态演示无限逼近思想的探讨
梁常东，檀大耀
（钦州学院数学与计算机科学系，广西钦州５３５０００）
［摘要］利用几何画板的迭代功能，动态演示数学的无限逼近的过程，搭建形象思维到抽象思维的桥
梁。促进形象思维向抽象思维转化．
［关键词］
无限逼近；动态演示；迭代
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１６７３—８３１４（２００８）０３—００１１一０４
［中图分类号］０２２３
在学习极限的概念、定积分的定义、定积分的应用等数学内容时，需要说明无限逼近的过程，传统的做法是利用静态的图形，依靠教材的描述，老师的讲解，让学生在大脑中去想象、去完成无限逼近的过程．随着信息技术的发展，我们可以利用数学教学软件平台实现无限逼近过程的动态演示．显然，动态的图象比静态的图象更能体现无限逼近思想的精髓，但老师们在制作动态的无限逼近方面的课件时感到制作难度大而且费时．下面从提高制作效率的角度，谈谈运用几何画板制作无限逼近类课件的简易方法，并给出原理解释．
１
果，例如，把一条线段凡等分，事情虽然简单，却很
容易误入歧途．一般的做法是：作一线段ＡＢ一设定参数ｎ一以点４为中心，将点召缩小到原来的１／凡，得到点口’一把点Ａ迭代到点曰’．最后却发现
线段的份数不对，长度也不相等．因此，有必要对利用迭代功能进行ｎ等分线段的关键技术作出说
明．
２．１分离迭代不变量
如果选择点８７为原象进行带参数的迭代，则点Ａ的平移量由线段Ａ日的长度和参数ｎ确定，在迭代过程点Ａ的位置会发生变化，因而线段ＡＢ的长度随之变化，迭代的结果并不是对线段ＡＢ进行凡等份，而是按比例分割，分割后得到的线段是ｎ＋ｌ段而不是ｎ段（图１）．为实现线段Ａ曰的几等份，可以在ＡＢ上任取一点Ｄ，将点Ｄ按向量Ａ曰’平移，得到Ｄ’，迭代次数设置为凡一ｌ，把点Ｄ迭代到点｜Ｄ’，这样能确保迭代过程中的平移量不变，从而达到凡等份的效果．（图２）
１
原理分析
几何画板中，重复的图象或数据变换过程可
以通过迭代或带参数的迭代功能实现．通过迭代功能对图象进行变换，一方面能够省去烦琐的重复操作过程。简化操作步骤；另一方面能够通过迭代次数变化来实现动态演示，使得无限逼近等思想方法得到更为直观形象的体现．
２
＾＝５．００＾Ｄ
口’
Ｄ’
ｎ—ｌ＿４．∞
÷＝ｏ．２０
Ｂ
技术关键
曰
由于对迭代原理不了解，或对数学原理不熟悉，人们在使用迭代功能时往往得不到希望的效
图ｌ
［收稿日期］２００８一０４一１１
［基金项目］新世纪广西高等教育教学改革工程“十一五”第一批立项项目（桂教高教［２００５］１６８号１７８）［作者简介］梁常东（１９６５一），男，广西灵山人，钦州学院数学与计算机科学系讲师．
１２
钦州学院学报
第２３卷
ｌ
厅＝５．ＯＯ＾一１＝４．００——＝Ｏ．２０
ｎ
ＡＢＦＢ
Ｄ
Ｄ’
图２
一般地，进行带参数的迭代，如果要求迭代过程中的旋转量、平移鼍等保持不变，只需把决定旋转量、平移量的对象独立出来，不参与迭代，即不作为迭代的原像或初像．
２．２
同步技术
分离迭代不变量后，迭代从点Ｄ开始，而实际要求是从点Ａ开始，因此，需要拖动点Ｄ，使之与点Ａ重合，实现同步演示．
３应用举例
案例１
动态演示数列极限的几何意义
制作要求：数列的项数可以变化，绘制出各项在茗轴上的对应点，随着项数的增加，能观察到数列的项及其对应点逐步逼近的趋势．
制作步骤：
（１）选择数列不妨以数列｛【ｎ＋（一１）”１】／ｎ）为
僦
（２）建立参数建立参数ｎ＝１，ｍ＝１０；计算ｎ
＋ｌ：
（３）绘制点绘制点（ｎ，０）一计算口。＝［（ｎ＋１）＋（一１）¨“卜１］／ｎ一绘制点（口。，０）
（４）迭代依次选择点（ｎ，０）、参数ｍ，并按住ｓｈｉｆｔ键不放，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】功能打开迭代对话框，把（ｎ，０）的初象置为（口。，０），进行迭代（图３）；
（５）动态演示数列极限的几何意义隐藏不必要显示的对象，选择参数ｍ。按“＋”号或“一”号改变参数的值，观察图形的变化一考察ｎ足够大时数列的项及其对应点的变化趋势．（图３）
ｎｎ＋１。
ｎ＝ｌ，ＯＯ说明Ｏ
２．０００．５０雌
ｎ＋ｌ＝２．Ｏ
选择参数ｍ１３．ＯＯ１．３３按下”＋”２４０００７５¨‘＝Ｏ．００
３５．ＯＯ１．２０或“一”健，４６０００．８３口＝Ｏ．５０¨
观察口。和图５７．００１．１４ｍ＝８．００
象的变化
６８００Ｑ．８８７
９．００’．１１”
—‘‘＿
８
１Ｄ．００
０．９０
三－。‘。｛…－｝…十…－…◆’‘’卜…｝…’～●…◆…卜－．’…＿…・卜……－卜…｝－
Ａ
ｏ．５
ｌ
１．５
舳
图３
案例２动态演示割圆术
制作要求：圆内接正多边形的边数可以变化，
计算圆内接正ｎ边形的面积。随着正多边形边数的增加，能观察到正多边形及其面积逐步逼近的趋势．
制作步骤：
（１）建立参数建立参数ｎ＝６，计算凡一１，计
算３６０。／ｎ；
（２）作圆：作圆Ｄ；
（３）作圆内接正多边形的一边在圆Ｄ上任取一点口一以Ｄ为旋转中心，将点曰旋转３６００／凡，得到点Ｃ一连结Ｂ、Ｃ一填充△ＡＢｃ的内部；
（４）作圆内接正多边形依次选择点Ｂ参数ｎ，并按往ｓｈｉｆｔ键，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】功能打开迭代对话框，把Ｂ的初象置为ｃ，进行迭代；
（５）计算面积计算圆的面积ｓ。＝几・ｓ圳。．
（６）动态演示割圆术隐藏不必要演示的对象，选择参数ｎ，按“＋”号或“一”号改变参数的值，观察图形的变化一考察儿足够大时正多边形及其面积的变化趋势．（图４）
＾＃６
＾－１＝５．∞
说明
——＝６０∞ｏ
３６扩
＾
选择参数一，按面积＾Ｄｃ口＝３．７４厘米２
“＋”或“一”键，观察图象和面积的变化。
＆＝＾・ｆ面积Ａｏｃ日）霉２２－４３厘米２
面积△０ｃ日
＾（面毛鲤△Ｄｃ丑）０３７４陵幂２２２４３重带２１
３７４瞳米２２２４３置米２２３７４匿米２２２４３匝带２３
３７４匾米２２２４３豆半２４
３７４履带２２２４３叠米ｏ５
３
７４凰※２
２２４３置米－
图４
案例３动态演示定积分的几何意义
制作要求：（１）曲边梯形的分割次数可以变化，随着分割次数的增加，能观察到图形逐步逼近的趋势；（２）对于不同的分割，能计算出用来近似曲边梯形的各小矩形的面积和，作为曲边梯形面积的近似值．
制作步骤：
（１）设定曲边梯形：建立坐标系一设定函数：不妨取以戈）＝口５，其中。为新建参数，打开参数属性对话框，把ｎ的键盘调节值设为Ｏ．１一设定区间：在石轴上作线段ＡＢ一绘制函数图象在设定区
第３期
梁常东，檀大耀：运用几何画板动态演示无限逼近思想的探讨
１３
间上的图象：在ＡＢ上任取一点ｃ，度量点Ａ、Ｂ、ｃ的横坐标硝、名。、菇。，通过【图表】菜单的【绘制点】功能，得到点（石．，口朝）、（并。，ｏ砧）、（％，口”），选择
点ｃ和点ｃ．（戈。，口”），通过【作图】菜单的【轨迹】
功能，作出函数在设定区间的图象（如图５）；
（２）作小曲边梯形：隐藏点Ｃ、Ｃ。，在线段ＡＢ
１
上任取一点Ｄ，新建参数ｎ，计算出二，以Ａ为中
，‘
１
心，土为定比，对点Ｂ进行缩放，得到点曰’，标记
ｎ
向量ＡＢ７，按标记向量对点Ｄ进行平移，得到点Ｄ
７
一绘制函数图象上的点Ｅ、Ｆ（如图５），连接ＤＥ、
Ｄ’Ｆ，得到小曲边梯形ＤＤ’Ｆ
Ｅ（如图５）；
（３）作小曲边梯形的近似矩形：绘制点Ｈ，得
到矩形Ｄ
Ｄ
７日Ｅ，用某种颜色填充其内部（图６）；
＇
ｉ。Ｏ・１０
口ｌＤ兰１．７０ｄｂ。＝２．０１工Ｄ墨２．３８工矿＝３．１３
图５
１
ｉ。０－１０
４抽＝１．７０４‘∥皇２．０１工。＝２．３８工。・＝３．１３
图６
＾面投Ｄ‘』）酬＆＋ｆ曲骞协‘ＤＥＨ
０
０６５厘米２０８５
４；Ｉ．２５
１
Ｏ７７麓水２
１
４２
≈－’．辅
２｝０９’厦求２２３３３’０７厦米２
３４０
一・＇．ｎ
４
，？７鏖唯２
４
６７
Ｊ＾ｔ＾●＇￡
５ｌ，５Ｉ）噩求ｏ８１７６。Ｔ
，●ｌ●．●５
７７匿术２７。４西－¨７＾∥
１００３０
７；２０９墨术２｝８
２４
７越柬２；
’２４９挑圳：：：≯：￡篡…啪一
９Ｉ２９１耳米２
１５４，
图７
（４）设置曲边梯形面积近似值的累加器：度量矩形ＤＤ’日Ｅ的面积，新建ｓｏ＝Ｏ，计算ｓｌ＝ｓｏ＋
面积ＤＤｌＦＥ．
（５）分割曲边梯形：计算乃一ｌ，然后依次选择点Ｄ、参数％、参数ｎ—ｌ，并按住ｓｈｉｆｔ键，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】功能打开迭代对话框，把Ｄ的初象置为Ｄ７，参数％的初象置为ｓ．，进行迭代一拖动点Ｄ，使之与点Ａ重合（图７）；
（６）观察图象与曲边梯形面积近似值的变化：隐藏不必要演示的对象，选择参数ｎ或口，按“＋”号或“一”号改变参数的值，观察图形的变化
一观察由各小矩形合并在一起而组成的多边形的
特点，并考察ｎ足够大时多边形的面积的变化趋势．
案例４动态演示旋转体的体积
制作要求：（１）动态演示用两个垂直于旋转轴的平面去截旋转体所得的一段切片；（２）将旋转体分割分ｎ份，分割份数可以变化，计算出用来近似旋转体的各小圆柱的体积和，作为旋转体的体积的近似值．
制作步骤：
（１）选择母线：以八菇）＝ｓｉｎ石在［０，１ｒ］上的一段图象为母线，并将母线反射到旋转轴的另一侧；
（图８）
（２）设置参数：建立参数，ｌ＝５，作为分割次数，计算７ｒ／，ｌ，单位设为厘米；
（３）构造切片：在旋转轴ＡＢ上取点ｃ，构造
点Ｄ（ｚｃ，／（膏。）一利用自定义工具中的椭圆工
具，选择中心和顶点类型，构造椭圆ｃＤ一将点Ｃ按水平方向平移仃／ｎ厘米，得到点Ｅ，构造点，（省。，厂（ｚ。））一构造椭圆层，一将椭圆ｃＤ按水平
方向平移∥ｎ厘米．
（４）计算体积的近似值建立参数Ｋ＝０一
计算仃・（ｃＤ）２・叩一计算Ｋ＝Ｋ＋仃・（ｃＤ）２・叩一依次选择点ｃ、参数Ｋ、参数凡一ｌ，并按下
ｓｈｉｆｔ键，通过【变换】菜单的【带参数的迭代】功能打开迭代对话框，把ｃ的初象置为Ｅ，参数Ｋ的
初象置为Ｋ，进行迭代一拖动点ｃ，使之与点Ａ重
合（图９）；
说明
（ｉ）・１厘米＝ｏ．６３厘米
１．拖动点以，观察行＝５．００飘＝０．００
切片的运动变化，
２．选择参数＾，按。＋。或ＸＥ＝１．２４
。一”键改变参数，观察＾一１＝４．００切片的运动变化
Ｘ＝０．６１
。尺ＸＤ＝０．９４
Ｆ
氕Ｘ磅＝０．５７
Ｂ
图８
（下转第１７页）
［１１］李学全，李辉．多目标线性规划的模糊折衷算法［Ｊ］．中南
［１２］王嫣，张志宏．模糊线性规划的最优解分析［Ｊ］．北京工商
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ｏｎｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ
ＬｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ
Ｍｏｄｅｌ
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Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
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（Ｄ印ｏｎ胱ｍ矿脚ｆｋｍ以泌口以∞唧以ｅｒ，ａ砌仳‰讹悠妙，ａ，曲ｏｕ５３５０００，劬讹）
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（上接第１３页）
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Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
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ｏｆＩＩｌｆｉＩｌｉｔｅＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎＵｓｉｎｇＧｅｏｍｅｔｒｉｃＳｋｅｔｃｈｐａｄ
ＬＩＡＮＧＣｈａｎｇ．ｄｏｎｇ，ＴＡＮＤａ—ｙａｏ
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［责任编辑卢明德］