二次函数动点问题
二次函数动点问题
1.(2015资阳)如图,AD 、BC 是⊙O的两条互相垂直的直径,点P 从点O 出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y 与点P 运动的时间x (单位:秒)的关系图是( )
A . B.
C . D.
2.(2015广元)如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,点P 从A 点出发.按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动.记PA=x,点D 到直线PA 的距离为y ,则y 关于x 的函数大致图象是( )
A . B .
C . D .
试卷第1页,总10页
3.(2015凉山州)菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B (2,0),∠DOB=60°,点P 是对角线OC 上一个动点,E (0,﹣1),当EP+BP最短时,点P 的坐标为 .
4.(2015南充)(10分)已知抛物线y =-x 2
+bx +c 与x 轴交于点A (m ﹣2,0)和B (2m+1,0)(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点为P ,对称轴为l :x=1. (1)求抛物线解析式.
(2)直线y =kx +2(k ≠0)与抛物线相交于两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)(x 1
(3)首尾顺次连接点O 、B 、P 、C 构成多边形的周长为L ,若线段OB 在x 轴上移动,求L 最小值时点O ,B 移动后的坐标及L 的最小值.
试卷第2页,总10页
5.(2015内江)(12分)如图,抛物线与x 轴交于点A (-
1
,0)、点B (2,0),与y 3
轴交于点C (0,1),连接BC . (1)求抛物线的函数关系式;
(2)点N 为抛物线上的一个动点,过点N 作NP⊥x轴于点P ,设点N 的横坐标为t
1
1
(3)若-
3
(-
试卷第3页,总10页
6.(2015自贡)(12分)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线
x =-1,且抛物线经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴交于点B . (1)若直线y =mx +n 经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和
最小,求出点M 的坐标;
(3)设点P 为抛物线的对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.
试卷第4页,总10页
7.(2015遂宁)(10分)如图,一次函数y =kx +b 与反比例函数y =
m
的图象交于A x
(1,4),B (4,n )两点. (1)求反比例函数的解析式; (2)求一次函数的解析式;
(3)点P 是x 轴上的一动点,试确定点P 并求出它的坐标,使PA+PB最小.
试卷第5页,总10页
8.(2015宜宾)(12分)如图,抛物线y =-
12
x +bx +c 与x 轴分别相交于点A (﹣2,2
0),B (4,0),与y 轴交于点C ,顶点为点P . (1)求抛物线的解析式;
(2)动点M 、N 从点O 同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动,过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ,交抛物线于点H . ①当四边形OMHN 为矩形时,求点H 的坐标; ②是否存在这样的点F ,使△PFB为直角三角形?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
试卷第6页,总10页
9.(2015泸州)如图,已知二次函数的图象M 经过A (﹣1,0),B (4,0),C (2,﹣6)三点.
(1)求该二次函数的解析式; (2)点G 是线段AC 上的动点(点G 与线段AC 的端点不重合),若△ABG与△ABC相似,求点G 的坐标;
(3)设图象M 的对称轴为l ,点D (m ,n )((1-
)是图象M 上一动点,当△ACD
27
时,点D 关于l 的对称点为E ,能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ,使8
得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形?若能,求出点P 的坐标;若不能,
请说明理由.
试卷第7页,总10页
10.(2015眉山)(本小题满分11分)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点D 的坐标为(1,-
9
),且与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,A 点的坐标为(4,0).P 2
点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m . (
l )求抛物线所对应的二次函数的表达式;
(2)若动点P 满足∠PAO 不大于45°,求P 点的横坐标m 的取值范围;
(3)当P 点的横坐标m
11.(2015绵阳)(14分)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,G 是AD 延长线时的一点,且DG=AD,动点M 从A 点出发,以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G 点匀速运动(M 不与A ,G 重合),设运动时间为t 秒,连接BM 并延长AG 于N .
(1)是否存在点M ,使△ABM为等腰三角形?若存在,分析点M 的位置;若不存在,请说明理由;
(2)当点N 在AD 边上时,若BN⊥HN,NH 交∠CDG的平分线于H ,求证:BN=HN; (3)过点M 分别作AB ,AD 的垂线,垂足分别为E ,F ,矩形AEMF 与△ACG重叠部分的面积为S ,求S 的最大值.
12.(2015广安)(10分)如图,边长为1的正方形ABCD 一边AD 在x 负半轴上,直线l :y =
1
x +2经过点B (x ,1)与x 轴,y 轴分别交于点H ,F ,抛物线y =-x 22
+bx +c 顶点E 在直线l 上.
(1)求A ,D 两点的坐标及抛物线经过A ,D 两点时的解析式;
(2)当抛物线的顶点E (m ,n )在直线l 上运动时,连接EA ,ED ,试求△EAD的面积S 与m 之间的函数解析式,并写出m 的取值范围;
(3)设抛物线与y 轴交于G 点,当抛物线顶点E 在直线l 上运动时,以A ,C ,E ,G 为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,求出E 点坐标;若不能,请说明理由.
试卷第8页,总10页
13.(2015
巴中)(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y =ax 2+bx -4(a ≠0)的图象与x 轴交于A (﹣2,0)、B (8,0)两点,与y 轴交于点B ,其对称轴与x 轴交于点D .
(1)求该二次函数的解析式; (2)如图1,连结BC ,在线段BC 上是否存在点E ,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点P (m ,n )是该二次函数图象上的一个动点(其中m >0,n <0),连结PB ,PD ,BD ,求△BDP面积的最大值及此时点P 的坐标.
14.(2015攀枝花)(12分)如图1,矩形ABCD 的两条边在坐标轴上,点D 与坐标原点O 重合,且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动,当点P 到达点C 时,矩形ABCD 和点P 同时停止运动,设点P 的运动时间为t 秒.
(1)当t=5时,请直接写出点D 、点P 的坐标; (2)当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时,求出△PBD的面积S 关于t 的函数关系式,并写出相应t 的取值范围;
试卷第9页,总10页
五、判断题(题型注释)
(3)点P 在线段AB 或线段BC 上运动时,作PE⊥x轴,垂足为点E ,当△PEO与△BCD相似时,求出相应的t 值. 试卷第10页,总10页
参考答案
1.B
【解析】
试题分析:(1)当点P 沿O→C运动时,当点P 在点O 的位置时,y=90°,当点P 在点C 的位置时,∵OA=OC,∴y=45°,∴y 由90°逐渐减小到45°;
(2)当点P 沿C→D运动时,根据圆周角定理,可得:y=90°÷2=45°;
(3)当点P 沿D→O运动时,当点P 在点D 的位置时,y=45°,当点P 在点0的位置时,y=90°,∴y 由45°逐渐增加到90°.故选B .
考点:动点问题的函数图象.
2.D
【解析】
试题分析:①点P 在AB 上时,0≤x≤3,点D 到AP 的距离为AD 的长度,是定值4;
②点P 在BC 上时,3<x≤5,∵∠APB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,∴∠APB=∠PAD ,又∵∠B=∠DEA=90°,∴△ABP ∽△DEA ,∴
项,只有B 选项图形符合.故选D .
3x AB AP 12=,即=,∴y =,纵观各选DE AD x y 4
考点:1.动点问题的函数图象;2.压轴题;3.动点型.
3.
(.
,2【解析】
试题分析:连接ED ,如图,
∵点B 的对称点是点D ,∴DP=BP,∴ED 即为EP+BP最短,∵四边形ABCD 是菱形,顶点B (2,0),∠DOB=60°,∴点D 的坐标为(1
,∴点C 的坐标为(3
,∴可得直线OC
的解析式为:y =,∴可得直线ED
的解析式为:x ,∵点E 的坐标为(﹣1,0)y =(1x -1,∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点,∴点P 的坐标为方程组
⎧⎧y =x ⎪⎪x =3的解,
解方程组得:,所以点P 的坐标为
(
3,,2)⎨⎨⎪⎪y =(1x -1⎩y =2⎩
故答案为:
(
3,2.
考点:1.菱形的性质;2.坐标与图形性质;3.轴对称-最短路线问题;4.动点型;5.压轴题;6.综合题.
4.(1)y =-x 2+2x +3;(2)M (﹣1,0),N (1,4);
(3)O′(-156,0),B′(,0)时,周长L
3. 77
【解析】
试题分析:(1)由对称轴公式求出b 的值,再由根与系数的关系求出c 的值,从而求出二次函数解析式;
(2)将一次函数与二次函数组成方程组,得到一元二次方程x 2+(k -2) x -1=0,由根与系数的关系求出k 的值,进而求出M (﹣1,0),N (1,4);
(3)O ,B ,P ,C 构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO,根据线段OB 平移过程中,OB 、PC 长度不变,得到要使L 最小,只需BP+CO最短,作点P 关于x 轴(或OB )对称点P′(1,﹣4),连接C′P′与x 轴交于点B′,然后根据平移知识和勾股定理解答.
试题解析:(1)由已知对称轴为x=1,得-b =1,∴b=2,抛物线y =-x 2+bx +c 与2? (1)
2x 轴交于点A (m ﹣2,0)和B (2m+1,0),即-x +2x +c =0的解为m ﹣2和2m+1,(m ﹣2)
+(2m+1)=2,3m=3,m=1,将m=1代入(m ﹣2)(2m+1)=﹣c 得,(1﹣2)(2+1)=﹣c ,∴c=3,∴m=1,c=3,抛物线的解析式为y =-x +2x +3; 2
⎧y =kx +22(2)由⎨,得到:∴∴x 1+x 2=-(k -2) ,x 1x 2=-1,x +(k -2) x -1=0,2⎩y =-x +2x +3
∴(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(k -2) +4,∴当k=2时,(x 1-x 2) 2的最小值为4,即
∴x 1+x 2=0,∵x 1
,N (1,4); y 2=4,∴当x 1-x 2最小时,抛物线与直线的交点为M (﹣1,0)
(3)O (0,0),B (3,0),P (1,4),C (0,3),O ,B ,P ,C 构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO,∵线段OB 平移过程中,OB 、PC 长度不变,∴要使L 最小,只需BP+CO最短,如图,平移线段OC 到BC′,四边形OBC′C是矩形,∴C′(3,3),作点P 关于x 轴(或OB )对称点P′(1,﹣4),连接C′P′与x 轴交于点B′,设C′P′解析式为y =ax +n , 2
ì7a =ïì1571515ïïa +n =-42∴í,解得:í,∴y =x -,当y=0时, x =,∴B′(,0),157227ïïî3a +n =3ïn =-2î
6156=,故点B 向左平移,平移到B′, 777
66同时,点O 向左平移,平移到0′(-,0). 77
6即线段OB 向左平移时,周长L 最短, 7又3-
此时,线段BP ,CO 之和最短为
,O′B′=OB=3,
∴当线段OB 向左平移6156,即点O 平移到O′(-,0),点B 平移到B′(,0)时,周777
长L
3.
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.压轴题;4.平移的性质.
5.(1)y =-32572357x +x +1;t +; (2)S =-t +224126
(3)
(9
9,)或(1,2). 63
1
3【解析】 试题分析:(1)可设抛物线的解析式为y =a (x +)(x -2) ,用待定系数法就可得到结论;
(2)当-1
1
论,由PN=2PO得到关于t 的方程,解这个方程,就可得到答案.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y =a (x +)(x -2) ,把C (0,1)代入可得:1
3
13311=a ⨯⨯(-2) ,∴a =-,∴抛物线的函数关系式为:y =-(x +)(x -2) ,即3223
35y =-x 2+x +1; 22
1325(2)当-
[1**********]t +; ∴S=AB•PN=⨯(2+) ⨯(-t +t +1) =-t +223224126
PO PN PO PN ==(3)∵△OPN ∽△COB ,∴,∴,∴PN=2PO. OC OB 12
1325325①当-
理得:3t 2-9t -2=0,解得:t
11
,t
2=>0,-
<3999
9<0,∴
t=,此时点N
的坐标为(,); 6663
②当0<t <2时,PN=y N =y N =-325325t +t +1,PO=t =t,∴-t +t +1=2t ,整理得:2222
223t 2-t -2=0,解得:t 3=-,t 4=1.∵-<0,0<1<2,∴t=1,此时点N 的坐标为33
(1,2).
综上所述:点N
)或(1,2). 考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法求二次函数解析式;3.相似三角形的性质;4.动点型;5.综合题;6.压轴题.
6.(1)y =x +3,y =-x -2x +3;(2)M (-1,2); 2
(3)P 的坐标为(-1,-2)或(-1,4) 或(-1,3+3-) 或(-1,). 22
【解析】
试题分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y =mx +n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;
(2)设直线BC 与对称轴x =-1的交点为M ,则此时MA+MC的值最小.把x =-1代入直线y =x +3得y 的值,即可求出点M 坐标;
(3)设P (﹣1,t ),又因为B (﹣3,0),C (0,3),所以可得BC =18,PB =(-1+3) +t 2222
22222=4+t ,PC =(-1) +(t -3) =t -6t +10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即
可求出点P 的坐标.
⎧b ⎪-2a =-1⎧a =-1⎪⎪试题解析:(1)依题意得:⎨a +b +c =0,解之得:⎨b =-2,∴抛物线解析式为
⎪c =3⎪c =3`⎩⎪⎩
y =-x 2-2x +3,
∵对称轴为x =-1,且抛物线经过A (1,0),∴B (-3,0),把B (-3,0)、C (0,3)分别代入直线y =mx +n ,得:⎨
解析式为y =x +3;
(2)设直线BC 与对称轴x =-1的交点为M ,则此时MA +MC 的值最小.把x =-1代入直线y =x +3得,y =2,∴M (-1,2).即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为(-1,2);
(注:本题只求M 坐标没说要证明为何此时MA +MC 的值最小,所以答案没证明MA +MC 的值最小的原因)
(3)设P (-1,t ),又B (-3,0),C (0,3),
2∴BC 2=18,PB =(-1+3) 2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1) 2+(t -3) 2=t -6t +10, ⎧-3m +n =0⎧m =1,解之得:⎨,∴直线y =mx +n 的n =3n =3⎩⎩2
2222①若点B 为直角顶点,则BC +PB =PC ,即:18+18+4+t 2=t -6t +10,解之得:
t =-2,
2222t =4, ②若点C 为直角顶点,则BC +PC =PB ,即:18+t -6t +10=4+t 2,解之得:
2222③若点P 为直角顶点,则PB +PC =BC ,即:4+t 2+t -6t +10=18,解之得:t 1=
3+3-,t 2=, 22
综上所述P 的坐标为(-1,-2)或(-1,4) 或(-1,3+3-) 或(-1,). 22
考点:1.二次函数综合题;2.最值问题;3.动点型;4.压轴题;5.分类讨论.
7.(1)y =
【解析】
试题分析:(1)把A 的坐标代入y =
(2)先把B 的坐标代入y =417;(2)y =-x +5;(3)P (,0). x 5m 即可求出结果; x 4得到B (4,1),把A 和B 的坐标,代入y =kx +b 即可求得x
一次函数的解析式;
(3)作点B 关于x 轴的对称点B′,连接AB′交x 轴于P ,则AB′的长度就是PA+PB的最小值,求出直线AB′与x 轴的交点即为P 点的坐标.
试题解析:(1)把A (1,4)代入y =
(2)把B (4,n )代入y =m 4得:m=4,∴反比例函数的解析式为:y =; x x 4得:n=1,∴B (4,1),把A (1,4),B (4,1)代入y =kx +b ,x
⎧4=k +b ⎧k =-1得:⎨,∴⎨,∴一次函数的解析式为:y =-x +5; 1=4k +b b =5⎩⎩
(3)作点B 关于x 轴的对称点B′,连接AB′交x 轴于P ,则AB′的长度就是PA+PB的最小值,由作图知,B′(4,﹣1),∴直线A B′的解析式为:y =-517x +,当y=0时,x=33
1717,∴P (,0).
55
考点:1.反比例函数与一次函数的交点问题;2.轴对称-最短路线问题;3.最值问题;4.动点型.
8.(1)y =-12x +x +4; 2
115139,)或(,). 441010(2)①H
(
;②F 的坐标为(
【解析】
试题分析:(1)把A 和B 的坐标代入抛物线解析式,即可求出b 、c 的值,从而得到抛物线的解析式;
(2)①表示出ON 、MH ,运用ON=MH,列方程求解即可;
②存在,先求出BC 的解析式,根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1,直线经过点P ,用待定系数法求出直线PF 的解析式,然后求直线BC 与直线PF 的交点坐标即可.
试题解析:(1)把A (﹣2,0),B (4,0),代入抛物线y =-⎧-2-2b +c =012x +bx +c 得:,⎨2-8+4b +c =0⎩
解得:b=1,c=4,∴y =-12x +x +4; 2
(2)点C 的坐标为(0,4),B (4,0),∴直线BC 的解析式为y =-x +4,
①根据题意,ON=OM=t,MH=-
即t =-12t +t +4,∵ON ∥MH ,∴当ON=MH时,四边形OMHN 为矩形,212t +t +
4,解得:t =
或t =-(不合题意舍去)
,把t =代入2
1y =-t 2+t +
4得:y =H
(
; 2
②存在,当PF ⊥BC 时,∵直线BC 的解析式为y =-x +4,∴设PF 的解析式为y =x +b ,又点P (1,977)代入求得b =,∴PF 的解析式为y =x +,∴根据题意列方程组:222
1⎧x =⎧y =-x +4⎪115⎪⎪4,解得:,∴F (,); ⎨7⎨44y =x +⎪y =15⎪⎩2⎪⎩4
93),B (4,0),∴直线BP 的解析式为:y =-x +6,∴设22
2923223PF 的解析式为y =x +b ,又点P (1)代入求得b =,∴PF 的解析式为y =x +,32636当PF ⊥BP 时,∵点P (1,
1⎧x =⎧y =-x +4⎪139⎪⎪10∴根据题意列方程组:⎨,解得:,∴F (,), ⎨223391010y =x +⎪y =⎪36⎩⎪10⎩
综上所述:△PFB 为直角三角形时,点F 的坐标为(115139,)或(,). 441010
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.存在型;4.综合题;5.压轴题;6.分类讨论.
210,-); 33
7919(3)P (,-)或P (-,-). 24249.(1)y =x 2-3x -4;(2)G (
【解析】
试题分析:(1)由A 、B 、C 三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)可求得直线AC 的解析式,设G (k ,﹣2k ﹣2),可表示出AB 、BC 、AG 的长,由条件可知只有△AGB ∽△ABC ,再利用相似三角形的性质可求得k 的值,从而可求得G 点坐标;
(3)可设出D 点坐标,从而表示出△ACD 的面积,由条件求得D 点坐标,可求得DE 的长,再根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2,从而可求得P 点坐标.
试题解析:(1)∵二次函数的图象M 经过A (﹣1,0),B (4,0)两点,∴可设二次函数的解析式为y =a (x +1)(x -4) ,∵二次函数的图象M 经过C (2,﹣6)点,∴-6=a (2+1)(2-4) ,解得a=1.
∴二次函数的解析式为:y =(x +1)(x -4) ,即y =x 2-3x -4.
(2)设直线AC 的解析式为y =sx +t ,把A 、C 坐标代入可得:⎨⎧0=-s +t ⎧s =-2,解得:,⎨⎩-6=2s +t ⎩t =-2∴线段AC 的解析式为y =-2x -2,设点G 的坐标为(k ,﹣2k ﹣2).∵G 与C 点不重合,∴△ABG 与△ABC 相似只有△AGB ∽△ABC 一种情况.∴AG AB =,∵AB=5,
AC=AB AC
=
=,
AG=
+1,
∴
528210-)∴k +1=,∴k =或k =-,∴点G 的坐标为(,; =33333(3)能.理由如下:如图,过D 点作x 轴的垂线交AC 于点H ,
∵D (m ,n )((1-
∵△ACD 的面积为m 2-3m -4)),∴(H m ,﹣2m ﹣2),∵点D (m ,n )在图象M 上,∴D (m ,,271272,∴[-2m -2-(m -3m -4)][(m +1) +(2-m )]=,即828
1121322524m 2-4m +1=0,解得m =.∴D (,-).∵y =x -3x -4=(x -) -,∴22424
352151-)图象M 的对称轴l 为x =,∵点D 关于l 的对称点为E ,∴E (,,∴DE=-=2,22224
若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,则PQ ∥DE 且PQ=DE=2.∴点P 的横坐标为[1**********]+2=或-2=-,=-,∴点P 的纵坐标为(-) -∴点P 的坐标为(,[1**********]9-)或(-,-). 424
考点:1.二次函数综合题;2.分类讨论;3.动点型;4.;5.综合题;6.压轴题.
10.(1)y =12x -x -4;(2)﹣4≤m ≤0; 2
(3)P
P
). 【解析】
试题分析:(1)根据函数值相等的点关于对称轴对称,可得B 点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据等腰直角三角形的性质,可得射线AC 、AD ,根据角越小角的对边越小,可得PA 在在射线AC 与AD 之间,根据解方程组,可得E 点的横坐标,根据E 、C 点的横坐标,可得答案;
(3)分两种情况,P 在第二象限和P 在第三象限讨论.
试题解析:(1)由A 、B 点的函数值相等,得:A 、B 关于对称轴对称.A (4,0),对称轴是
1⎧⎧a =⎪⎪4a -2b +c =02⎪⎪x=1,得:B (﹣2,0).将A 、B 、D 点的坐标代入解析式,得:解得:⎨b =-1,⎨16a +4b +c =0,⎪⎪c =-49⎪a +b +c =-⎪⎩2⎩
抛物线所对应的二次函数的表达式y =12x -x -4; 2
(2)如图1作C 点关于原点的对称点D ,OC=OD=OA=4,∠OAC=∠DAO=45°,AP 在射线AC 与AD 之间,∠PAO <45°,直线AD 的解析式为y =-x +4,联立AD 于抛物线,得:⎧y =-x +4⎪,解得x=﹣4或x=4,∵E 点的横坐标是﹣4,C 点的横坐标是0,P 点的⎨12y =x -x -4⎪⎩2
横坐标的取值范围是﹣4≤m ≤0;
12a -a -4),2
12a -a -4PQ OQ a =由∠QPO=∠BCO ,∠PQO=CBO=90°,∴△PQO ∽△COB ,∴,即=,CO OB 42(3)存在P 点,使∠QPO=∠BCO ,①若点P 在第二象限,如图2,设P (a ,
化简,得a 2-3a -8=0,解
得a =
33+或a =(不符合题意,舍),∴22
1233
3-a -a -
4=,∴P
点坐标为(,;
2424
②若点P 在第三象限,如图3,由△PQO ∽△COB ,∴PQ :CO=OQ:OB ,∵B (-2,0),C (0,
--4),∴PQ=2QO,∴点P 坐标为(m ,
解得:m =11211m )-m =m 2-m -4,
,代入y =x -x -4,得:2222∴-
∵m
∴m =1
m ,∴P 的坐标为
,2); ∴满足条件的点为P
(1
13
3,)或P
(,). 2424
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.存在型;4.分类讨论;5.压轴题. 11.(1)答案见试题解析;(2)证明见试题解析; (3)当t=
88
2秒时,S 的最大值为.
33
【解析】
试题分析:
(1)当点M 为AC 中点时,有AM=BM,则△ABM 为等腰三角形; 当点M 与点C 重合时,AB=BM,则△ABM 为等腰三角形; 当点M 在AC 上且AM=2时,AM=AB,则△ABM 为等腰三角形;
(2)证明:在AB 上取点K ,使AK=AN,连接KN .∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN,又DH 平分直角∠CDG ,∴∠CDH=45º,∴∠NDH=90º+45º=135º,∴∠BKN=180-∠AKN=135º,∴∠BKN=∠NDH ,∵在Rt △ABN 中,∠ABN+∠ANB=90º,又BN ⊥NH ,即∠BNH=90º,∴∠ANB+∠DNH=180º-∠BNH=180º-90º=90º,∴∠ABN=∠DNH .∴△BNK ≌△NHD (ASA ),∴BN=NH; (3)①当点M 在AC 上时,即0
AF=FM=
21121
t ,∴S=AF ⋅FM =⋅t ⋅t =t 2; 222224
当点M 在CG 上时,即22
22
=4-t ,∴S =S ∆ACG -S ∆CMJ -S ∆FMG 22
=
=
111
⨯4⨯2-⨯CM ⨯CM -FG ⋅
FM 222112
4-(t -2-(4) 22=
3
-t 2+-8,
4
⎧12
t (0
∴S =⎨;
3⎪-t 2+(
12
⨯(22)=2; 488388
2时,S 的最大值为, 2) 2+,当t =在22
888
2秒时,S 的最大值为.
∵>2,∴当t=
333
②在0
考点:1.四边形综合题;2.二次函数综合题;3.压轴题;4.动点型;5.存在型;6.分段函数;7.二次函数的最值;8.最值问题.
12.(1)A (﹣2,0),D (﹣3,0),y =-x 2-5x -6; (2)S =
135
m +1(m ≠4);(3)E (-1,)或E (1,). 422
【解析】
试题分析:(1)通过直线l 的解析式求得B 的坐标,由正方形的边长即可求得A 、D 的坐标,再利用待定系数法即可求得抛物线经过A ,D 两点时的解析式; (2)由一次函数图象上点的坐标特征求得E 的纵坐标为
1
m +2,然后由三角形的面积公2
式即可求得S 与m 之间的函数解析式;
(3)由平行四边形的性质得出AC=EG,AC ∥EG ,可证明△EHG ≌△CDA ,从而得出E 的横坐标为﹣1,代入直线l 的解析式即可求得E 的坐标. 试题解析:(1)∵直线l :y =
11
x +2经过点B (x ,1),∴1=x +2,解得x =-2,∴B 22
(﹣2,1),∴A (﹣2,0),D (﹣3,0),∵抛物线经过A ,D 两点,∴⎨
⎧-4-2b +c =0
,
⎩-9-3b +c =0
⎧b =-52
解得:⎨,∴抛物线经过A ,D 两点时的解析式为y =-x -5x -6;
⎩c =-6
(2)∵顶点E (m ,n )在直线l 上,∴n =
1111
m +2,∴S =⨯1⨯(m +2) =m +1,即2224
S =
1
m +1(m ≠4); 4
(3)如图,若以A ,C ,E ,G 为顶点的四边形能成为平行四边形,则AC=EG,AC ∥EG ,作EH ∥y 轴交过G 点平行于x 轴的直线相交于H ,则EH ⊥GH ,△EHG ≌△CDA ,∴GH=AD=1,∴E 的横坐标为±1,∵顶点E 在直线l 上,∴y =(-1,
1315
⨯(-1) +2=,或y =⨯1+2=,∴E 2222
35
)或(1,).
22
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.存在型;4.综合题;5.压轴题. 13.(1)y =
123
x -x -4; 42
115
,-); 24
(2)E
的坐标为(8-
、(0,﹣4)、((3)
28917161
,(,-).
33624
【解析】
试题分析:(1)采用待定系数法求得二次函数的解析式; (2)先求得直线BC 的解析式为y =论即可求得;
(3)利用△PBD 的面积S =S 梯形-S ∆BOC -S ∆PFD 即可求得.
2试题解析:(1)∵二次函数y =ax +bx -4(a ≠0)的图象与x 轴交于A (﹣2,0)、C (8,
11
x -4,则可设E (m ,m -4),然后分三种情况讨22
0)两点,
1⎧a =⎪⎧4a -2b -4=0123⎪4
∴⎨,解得:⎨,∴该二次函数的解析式为y =x -x -4;
42⎩64a +8b -4=0⎪b =-3
⎪⎩2123
x -x -4可知对称轴x=3,∴D (3,0),∵C (8,0),∴CD=5,42123
由二次函数y =x -x -4可知B (0,﹣4),设直线BC 的解析式为y =kx +b ,∴
42
(2)由二次函数y =
1⎧k =⎧8k +b =011⎪
,解得:⎨, 2,∴直线BC 的解析式为y =x -4,设E (m ,m -4)⎨
22⎩b =-4⎪⎩b =-4
2222222
当DC=CE时,ED =(m -8) +m -4) =CD ,即(m -8) +m -4) =
5,解得
1212
,∴E
(8-
,; m 1=8-
m 2=8+(舍去)
2222222
当DC=DE时,ED =(m -3) +m -4) =CD ,即(m -3) +m -4) =5,解得
1212
,∴E (0,﹣4); m 3=0,m 4=8(舍去)
(m -8) 2+(m -4) 2=(m -3) 2+(m -4) 2,当EC=DE时,解得m 5=
121211115
-),∴E (,.
224
综上,存在点E ,使得△CDE 为等腰三角形,所有符合条件的点E 的坐标为
(8-
、(0,﹣4)、(
115
,-); 24
(3)过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ,∵P 点的横坐标为m ,∴P 点的纵坐标为:
123
m -m -4, 42
∵△PBD 的面积S =S 梯形-S ∆BOD -S ∆PFD
1131131317m [4-(m 2-m -4)]-(m -3)[-(m 2-m -4)]-⨯3⨯4=-m 2+m [**************]9=-(m -) +, 8324
1728917161
∴当m=时,△PBD 的最大面积为,∴点P 的坐标为(,-).
333624
=
考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.压轴题;4.分类讨论.
14.(1)D (﹣4,3),P (﹣12,8); (2)S =⎨
⎧-4t +24 (0≤t ≤6)
;(3)6.
3t -18 (6
【解析】
试题分析:(1)延长CD 交x 轴于M ,延长BA 交x 轴于N ,则CM ⊥x 轴,BN ⊥x 轴,AD ∥x 轴,BN ∥DM ,由矩形的性质得出和勾股定理求出BD ,BO=15,由平行线得出△ABD ∽△NBO ,得出比例式标;
(2)当点P 在边AB 上时,BP=6﹣t ,由三角形的面积公式得出S=BC 上时,BP=t﹣6,同理得出S=
AB AD BD 2
===,求出BN 、NO ,得出OM 、DN 、PN ,即可得出点D 、P 的坐BN NO BO 3
1
BP•AD;②当点P 在边2
1
BP•AB;即可得出结果; 2
(3)设点D (-和
4348P E C D
=t t );分两种情况:①当点P 在边AB 上时,(-t -8t )P ,由
55O E C B 55
PE CB
=时;分别求出t 的值; OE CD
13PE CD PE CB
==②当点P 在边BC 上时,P (-14+t ,t +6);由和时,分别求出
55OE CB OE CD
t 的值即可.
试题解析:(1)延长CD 交x 轴于M ,延长BA 交x 轴于N ,如图1所示:则CM ⊥x 轴,BN ⊥x 轴,AD ∥x 轴,BN ∥DM ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,CD=AB=6,BC=AD=8,∴
BD=
=10,当t=5时,OD=5,∴BO=15,∵AD ∥NO ,∴△ABD ∽△NBO ,∴
AB AD BD 2682
===,即==,∴BN=9,NO=12,∴OM=12﹣8=4,DM=9﹣6=3,BN NO BO 3BN NO 3
PN=9﹣1=8,∴D (﹣4,3),P (﹣12,8);
(2)如图2所示:当点P 在边AB 上时,BP=6﹣t ,∴S=②当点P 在边BC 上时,BP=t﹣6,∴S=
11
BP•AD=(6﹣t )×8=﹣4t+24; 22
11
BP•AB=(t ﹣6)×6=3t﹣18; 22
⎧-4t +24 (0≤t ≤6)
综上所述:S =⎨;
3t -18 (6
(3)设点 D(-
43t ,t );
55
8
t
648PE CD =①当点P 在边AB 上时,P (-t -8,t ),若时,=,解得:t=6;
55OE CB
t +885
8t
8PE CB
=若时,; =,解得:t=20(不合题意,舍去)
4OE CD
t +865
3t +6
13PE CD 6=②当点P 在边BC 上时,P (-14+t ,t +6),若时,=,解得:
55OE CB
14-t 8
5
t=6;
3t +6
PE CB 1908=若时,(不合题意,舍去); =,解得:t =
OE CD 13614-t 5
综上所述:当t=6时,△PEO 与△BCD 相似.
考点:1.四边形综合题;2.动点型;3.分类讨论;4.分段函数;5.压轴题.