例析与圆有关的探索性问题
例析与圆有关的探索性问题
数学探索是人们探索发现新知识的重要手段，也有利于培养创造性思维能力.因而成为近几年中考数学问题的热门考题，探索性问题，又叫开放性问题．一般地，主要有以下几类；
1.探索条件型问题
从给定的问题的结论出发，追溯结论成立时应具备的条件。
例1 如图1（1），△ABC内接于⊙0，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连接BD． (1)求证：∠ADB=∠E； (2)求证：AD2=AC·AE；
(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？请你利用图1（2）进行探索和证明
分析：（1）∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠C也是弧AB所对的圆周角，则∠ADB=∠C，又由条件易得∠C=∠E，即可得∠ADB=∠E；（2）易得△ADB∽△AED，得AD2=AB·AE，再利用等线段代换即可得到AD2=AC·AE；（3）可从特殊的位置进行猜想，即点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。或可先由△DBE∽△ADE推出∠DAC与∠EAD的关系。
解：（1）∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E ∵∠ADB, ∠C都是弧AB所对的圆周角,
C图①
A
∴∠ADB=∠C
又∠ABC=∠C， ∴∠ADB=∠E
(2) ∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE． ∴△ADB∽△AED
A
ADAE
∴,即AD2=AB·AE ABAD
∵∠ABC=∠C，∴AB=AC
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E
C
D图②
∴AD2=AC·AE
(3)点D运动到弧BC中点时．△DBE∽△ADE ∵DE∥BC．∴∠EDB=∠DBC．
∵∠DBC所对的是弧DC, ∠EAD所对的是弧DB ∴∠DBC=∠EAD, ∴∠EDB=∠EAD 又∠DEB=∠AED ∴△DBE∽△ADE
点评：本题充分利用圆周角相等的条件，得到三角形相似的关系。我们在解决与圆有关的问题时，通常找到已知圆周角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系。
2.探索结论型问题
一般从题设出发，通过观察、比较、分析、综合、抽象、归纳、猜想探求出结论，然后进行论证．
例2.如图2，在⊙0中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F． (1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？ (2)如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
与
的大小有什么关系？
图2
分析:（l）由∠AOB=∠COD，可得AB=CD．又因为OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得AE=CF，进而利用直角三角形全等可说明OE＝OF．（2）由Rs△OAE≌Rt△OCF得AE=CF，再结合垂径定理说明AB=CD，则问题迎刃而解．
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE＝OF．理由是：
∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD．∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=
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1
AB，2
CF=
1
CD．∴AE=CF． 2
又∵OA=OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴OE=OF．
点评: 本例是圆心角、弧、弦相等关系定理的综合运用．通过本例我们可以看出圆心角、弧、弦相等关系定理可以扩充为：圆心角、弧、弦、弦心距相等关系定理．即这四组量中有一组量相等，其他各组量分别对应相等．
3.探索规律型问题
解决探索规律型问题，要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性.
例3.不过圆心的直线l交O于C,D两点，AB是O的直径,AE⊥l，垂足为E,BF⊥l垂足为F.
(1)在图3中的三个圆中，分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母），找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得的结论．
图3
分析：直线l与AB只有两种位置关系：相交和平行．但题目中让画三种不同的位置关系，显然平行情况只有一种，故应探讨一下l与AB相交时，看还能有何不同情况，以此为突破口．
解：(1)如图4．
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图4
(2)三个图形都具有CE=DF或ED＝FC.
(3)以图4(1)证明结论，作OG⊥l于点G，则CG=GD． ∵AE⊥l，BF⊥l，OG⊥l，∴AE∥BF∥OG.又∵OA＝OB． ∴ EG=FG.∴EG-CG＝FG-DG.即CE＝DF.
点评:解类似问题的关键是立足于已知条件和所学知识的，进行综合分析，大胆、合理的猜想、论证．第(1)小题考查思维的周密性和逻辑性；第(2)小题主要考查现察能力和分析问题的能力．故在平时应逐步培养思维的灵活性、新领性、创造性，以适应当今中考的需要．
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