数的起源和发展
第24卷 第5期 零陵学院学报 Vol. 24 No.5 2003年9月 Journal of Lingling University Sep. 2003
数的起源和发展
郑正亚
(零陵学院 数学系,湖南 永州425006)
摘 要:数的起源和发展的过程及主要数系的基本运算性质。*
关键词:数;有理数;无理数;实数;复数;四元数;超复数
中图分类号: O1 文献标识码:C 文章编号:1671-9697(2003)05-0013-03
人类在最原始时代可能就有了数的意识(有人认为,大约在30万年前人类有了数的概念),至少在为数不多的一些东西中增加几个或从中取出几个时,能辨识其多寡。因为研究表明了:有些动物也具有这种意识,如人可以教会狗做简单的加法。
人类最早认识的数可能是“1”,然后是“2”、“3”,大于3的数,他们都理解为一堆或一群。曾经生活在巴西的保托库德部落就只有“1”和“多”两个词来表达数。而在托列斯峡群岛上的某些部落里,只有“1”(即“乌拉勃”)和“2”(即“阿柯扎”),就靠这两个数进行计算。如,在他们的语言中,“3”用“阿柯扎、乌拉勃”来表示。那时候还没有文字来记录数。人类用在树皮、木棒、兽骨上刻痕的方法或用结绳的方法来记录数。1937年在捷克摩拉维亚地方出土的一块幼狼胫骨上刻有55道刻痕。这块狼骨的年代,据考证大约在3万年前。至今在欧亚、非大陆的某些地方,仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法,来计算他们的畜群。中国古代文献《周易・系辞下》有“上古结绳而治”之说,“结绳而治”即结绳记事或结绳记数。这种记事方法在秘鲁高原一直盛行到19世纪,而世界上有些地方,如日本琉球岛的居民至今还保持着结绳记事的传统。
最早的书写数字起源于距今五千年以前的埃及和美索不达米亚。现存的世界上几种古老的书写记数系统有:
古埃及的象形数字(公元前3400年左右);巴比伦楔形数字(公元前2400年左右);中国甲骨文数字(公元前1600年左右);希腊阿提卡数字(公元前500年左右);中国筹算数码(公元前500年左右);印度婆罗门数字(公元前300年左右);美洲玛雅数字(年代不详)
考古学家提供的证据表明,人类在5万年前就采用一些计数方法。最早采用的进位制有二进制、三进制、五进制、十进制、十二进制、六十进制等等。
人类最早可能用手指计数,一只手五个指头,一双手十个指头,若加上一双脚趾则为二十个,这大概是五进制、十进制、二十进制的来由。玛雅数字系采用二十进制。巴比伦楔形数字系采用六十进制,埃及、中国、希腊和印度则采用十进制。德国农民日历,一直到1800年还采用5进制。
十进位值制记数法是中国人发明的。所谓位值制是一个数字在不同的位置代表不同的值。殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代,又开始出现严格的十进位值制筹算记数。这种十进位值制记数法是中国对人类文明的重大贡献,马克思说“这是最奇妙的发明之一”。可以肯定地说,若没有这种先进的记数方法,数学就不可能发展到今日的水平。
人类认识了自数数后接着认识了正分数。所谓分数就是把两个自然数相除所得之商(不论其能否整除)当作一个数。分数也是现实生活需要而产生的,如7个人分3个猎物,每人分多少?于是就产生了分数。中国对分数的研究比欧洲早1400多年!成书至迟于公元前2世纪的中国古代数学著作《周髀算经》中已
l 收搞日期:2003—03—26
l 作者简介:郑正亚(1942—),湖南永州人,教授。主要研究方向是代数和数学教育。
13
有了分数运算,而稍迟一些的中国古代数学名著《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则,还给出了求分子、分母的最大公约数方法。分数系是一个稠密的数系,它对于加、乘、除三种运算是封闭的,为了使减法运算也在数系内通行无阻,人类引进了零和负数。也可能是为了表示没有物体而引进零,为了表示相反意义的量:如前进与后退,上升与下降,向东与向西而引进负数。什么时候引进零和负数具体年代已无从考证。但中国的《九章算术》一书中已有“正负术”,即正、负数的加减运算法则。魏晋时期的中国古代大数学家刘徽对负数的出现作了很自然的解释:“两算得失相反,要令正负以名之”,并且能在筹算中用红筹代表正数、黑筹代表负数。印度数学家公元7世纪才开始使用负数,而欧洲直到十六、十七世纪,绝大多数数学家还不承认它是数,有人称负数为“谬论”。
中国也是最早认识“零”的国家之一。刘徽注《九章算术》,已明确以“零”为数。在筹算中则以空位表示“零”。印度人最先使用“0”这个符号,现在用来记数的十个阿拉伯数字是印度人发明的,后经阿拉伯传入欧洲,所以称为“阿拉伯数字”。
整数、分数统称有理数。对自然数系而言,有理数系是较完美的数系了,它对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算封闭。
公元前5世纪在古希腊的毕达哥拉斯学派认为:任何量都可以表成两个整数之比(即有理数)。但该学派的成员希帕苏斯在公元前470年左右首先发现了不能用整数比表示的数。他画了一个边长为1的正方
,而这个X无法用两个整数之比表示出来,难道这个正方形,设它的对角线长为X,由勾股定理得X=
形的对角线没有长度吗?这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到恐慌,因为它动摇了这个学派的哲学核心。他们对新数的发现严守秘密,但希帕苏斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去,他被同伴们扔进了大海。这个数后来叫做“无理数”。无理数的发现引发了“第一次数学危机”。大约一个世纪以后,这一“危机”由毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出的新比例论而暂时消除。有理数、无理数统称实数。
17世纪中叶牛顿、莱布尼茲发明微积分,但因实数理论不完善,微积分不能严格化,引发了“第二次数学危机”,直到19世纪中叶魏尔斯特拉斯、康托、戴德金等人建立了实数理论,第一、二次数学危机才彻底消除。
有理数系虽有稠密性,但它不能填满整个数轴,即数轴上有无穷多个点代表的不是有理数,而是无理数,实数则与数轴上的点可以建立一一对应关系。
在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。许多数学家认为数学成就已经登峰造极,数的形式不会有什么新的发现了。但在解方程时,常遇到负数开平方,这时这个方程还能解吗?为了解决这一问题,引入了虚数,规定=i 做为虚数单位,i是欧拉首先使用的。将实数和虚数结合起来写成 a+bi 的形式(a 、b为实数),这就是复数。由于找不到虚数的几何表示,人们总感到虚数是虚无飘渺的数。18世纪末、19世纪初,韦塞尔、阿尔甘和高斯分别给出了复数的几何表示法,这样才确立了虚数的合法地位。随着科学技术的发展,复数在电学、水力学、地质学、航空学上有了广泛的应用,虚数就一点也不“虚”了。
数的概念发展到了复数系以后,人们一般都认为数的概念已十分完善,数这个家族成员已到齐,不会再有新的成员了。但在1843年10月16日英国数学系哈密顿发明了“四元数”。四元数是哈密顿思考了15年的结果。
四元数形如:
a+bi+cj+dk的数,
其中a、b、c、d为实数,i、j、k满足:
i2=j2=k2=-1
ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j
两个四元数相乘可以仿照复数乘法那样去做,但四元数的乘法不满足交换律。四元数是数学史上第一个不满足乘法交换律的数系,它对于代数学的发展具有革命性意义。
四元数在群论,量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。
英国数学家凯莱创造出一种八元数,共有八个单位,1,e1,e2……,e7。 八元数的一般形式为
a=a0+a1e1+a2e2+……+a7e7
14
其中ai 是实数,八元数是一种八维超复数,它的乘法既不能交换也不能结合。
魏尔斯特拉斯于1861年证明了要服从乘法交换律和其它定律的只有实数系和复数系,即也就是如果保留普通代数的所有基本性质不变,要构成比复数系更一般的数系是不可能的。1878年弗罗宾纽斯也独立地获得了类似的结果,并证明:满足除乘法交换律以外的一切代数基本性质的超复数系只有四元数一种。
随着科学技术的不断发展,对数学的要求也越来越高。向量、张量、矩阵、群、环、域等概念产生。这些概念也可以列入数学计算的范畴,但归于超复数系又不适合,所以,人们将复数和超复数叫做狭义数。把向量、张量、矩阵等概念称为广义数。到目前为止数的家庭已相当庞大,但数的概念还会不断发展。一个例子是,2000世纪60年代,美国数理逻辑学家罗宾逊提出了一种非标准理论。将复数扩充成一个更广泛的数系。人们有趣地发现,被柯西从数系中排除出去的无穷小,经过否定之否定又回到数系中来,并占据了合法的席位,就如无理数占据着实数系中合法的席位一样。
最后顺便提一下,有了数环和数域的概念以后,整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。数环的特点是对加、减、乘三种运算封闭,对加法和乘法满足结合律、交换律、分配律。数环有无穷多个,如,若
令S= {na∣n∈z} ,那么S是一个数环。
集合Q、R、C都是数域。它对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算封闭,对加法和乘法满足结合律、交换律、分配律、数域也有无穷多个,如
—a,b∈Q} ,则F是一个数域。 令F={a+b
四元数集不能作成数域,只能作成一个除环,因为它不满足乘法交换律。
本文讲的是数的自然和历史的扩充,而它的逻辑扩充就不提及了。
古希腊的毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”。这一学派的费洛罗斯曾明白地宣称:“人们所知道的一切事物都包含数,因此,没有数既不可能表达也不可能理解任何事物”。我们很难想象一个脑子中没有数的概念的人,生活会是什么样子。而今日数对人类显得更为重要。如现行的彩电将会逐渐被更清晰的数字化彩电取代。未来的经济将是被网络覆盖与笼罩的数字化经济。数字化经济对军事、文化乃至日常生活无孔不入地渗透,占领一个个技术高地。今后的人类将生活在高度数学化的文明中。
参考文献:
[1]王建午,曹之江,刘景麟. 实数的构造理论[M]. 北京:人民教育出版社,1981
[2][英] L・霍格木,李韧(曾作人译). 数学的奇境[M]. 北京:科学出版社,1979
[3]李文林. 数学史教程[M]. 北京:高等教育出版社,施普林格出版社,1999
[4]张乐瑞,郝炳新. 高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,1983
[5]谈祥柏. 数:上帝的宠物[M]. 上海:上海教育出版社,1996
[6][美] H・伊夫斯著(欧阳绎译). 数学史概论[M]. 太原:山西经济出版社,1986
On the Origin and Development of Number
ZHENG Zheng-ya
(Department of Mathematics, Lingling University, Yongzhou Hunan 425006)
Abstract:In this paper, we demonstrate the process of the origin and development of number and basic properties of main number systems.
Key words: number, rational number, irrational number, real number, complex number, quaternion, super complex number.
15