二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

一、基本定义：

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二、 解的情况：

二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解

2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 三、二元一次方程的解法：

1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

1、代入消元法 2、加减消元法 3、教科书中没有的几种解法

(一)加减-代入混合使用的方法. 例： 13x+14y=41 (1)

14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 y=2

把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法 例3： x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=29

29t=29

t=1 所以x=1,y=4 四、 列方程（组）解应用题 （一）、其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 （二）、常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)： ⑵追及问题（同时出发）： ⑶水（风）中航行： 2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5. 数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc

6．几何问题：常用几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

二元一次方程组练习题

（范围：代数： 二元一次方程组）

一、选择：

1、任何一个二元一次方程都有（ ） （A）一个解； （B）两个解；（C）三个解；（D）无数多个解；

2、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）

（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个 3、如果

xya



3x2y4的解都是正数，那么a的取值范围是（ ）

（A）a

43； （C）2a4

3

； （D）a43； 4、关于x、y的方程组x2y3m

的解是方程3x+2y=34的一组解，那么

xy9mm的值

是（ ）

（A）2； （B）-1； （C）1； （D）-2； 5、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

xy4

（A）

1xy5x1xx1 （B）y

9yz7 （C）3x2y6 （D）yxyxy1

6、已知方程组

xy5

有无数多个解，则a、b

ax3yb1的值等于（ ）

（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7 （C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=14

7、若5x-6y=0，且xy≠0，则5x4y

5x3y

的值等于（ ）

（A）

23

（B）

32

（C）1

（D）-1

8、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2

-3xy的值是（ ）

（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）12 三、填空：

9、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______ 若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________； 10、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________； 11、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________；12、若

x1ax2yy1是方程组b4xy2a1的解，则a_______



b_______； 13、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________； 14、如果x=1，y=2满足方程ax1

4

y1，那么a=____________； 15、已知方程组

2xay3



4x6y2m有无数多解，则a=______，m=______；

16、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；

17、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________； 18、从方程组

4x3y3z0

x3yz0

(xyz0)中可以知道，x:z=_______；y:z=________； 四、解方程组

xy19、5x2y11a3x4y

(a254x4y6a为已知数)； 20、；

xy2

1

21、3x3yx(y1)y(1x)23x2y

2x(x1)yx2

0 22、253(2x3y)2(3x2y)25； 

236

3xy4zx:y4:723、 13

5xy3z5； 24、

x:z3:5；

xyz3

x2y3z30五、解答题：

25x的系数，

x107x81解得y的系数，解得47；乙看错了方程②中的76，若两人的计算都准

y581747

y19确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

26、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足(2x+y-1)2

+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；

27、代数式ax2

+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是 28，试求出这个代数式；

28、当a、b满足什么条件时，方程(2b2

-18)x=3与方程组axy1



3x2yb5都无解；

29、a、b、c取什么数值时，x3-ax2

+bx+c与(x-1)(x-2)(x-3)恒等？ 30、m取什么整数值时，方程组

2xmy4

x2y0

的解：

 （1）是正数；

（2）是正整数？并求它的所有正整数解。 六、列方程（组）解应用题

31、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

32、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两

只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少

人？

33、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？

34、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的1

3

，求这两个水桶的容量。

35、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与

甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

36、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的1

20

是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

二元一次方程组测试题

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）

A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1y2

x+4y=6 D．4x=4

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A．

xy4

B.2x3y7

2a3b115b4cC.

x29D.xy86y2xx2y4

3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）

A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ） A．

x3B.y2

x3C.

x3y4

y2D.

x3

y2

5．若│x－2│+（3y+2）2

=0，则的值是（ ）

A．－1 B．－2 C．－3 D．

32

6．方程组4x3yk

的解与x与y的值相等，则k等于（ 

2x3y5）

7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③

1

+y=5； ④x=y； ⑤x2x

－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4

8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A．xy2462yxB.

xy24622xyC.

xy2162y2xD.

xy246

22yx2

二、填空题

9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________． 10．在二元一次方程－

1

2

x+3y=2中，当x=4时，y=______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－

3－2yn－

1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

12．已知x2,

是方程x－ky=1的解，那么

y3k=_______．

13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．

15．以

x5

y7为解的一个二元一次方程是_________．

16．已知x2mxy3

y1是方程组



xny6的解，则m=_______，n=______．

三、解答题

17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．

18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

19．二元一次方程组4x3y7



kx(k1)y3的解x，y的值相等，求k．

20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？