2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（-∞,+∞）1、设函数f (x ) 在连续，其2阶导函数f ''(x ) 的图形如下图所示，则曲线y =f (x ) 的
拐点个数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)
【考点】拐点的定义 【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f ''(x ) 的图形可知，曲线y =f (x ) 存在两个拐点，故选(C).
2、设y =则（）
12x ⎛1⎫
e + x -⎪e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y "+ay '+by =ce x 的一个特解，23⎭⎝
（A ）a =-3, b =-1, c =-1. （B ）a =3, b =2, c =-1. （C ）a =-3, b =2, c =1. （D ）a =3, b =2, c =1. 【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
12x 1x
e , -e 为齐次方程的解，所以2、1为特征方程λ2+a λ+b =0的根，从而23
a =-(1+2)=-3, b =1⨯2=2, 再将特解y =xe x 代入方程y "-3y '+2y =ce x 得：c =-1.
3、若级数
∑
a n 条件收敛，则x =x =3依次为幂级数∑na n (x -1)的：
n =1
n =1
∞∞
n
（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)
【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
∑a
n =1
∞
n
条件收敛，故x =2为幂级数
∑a (x -1)
n n =1
∞
n
的条件收敛点，进而得
∑a n (x -1)的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
n =1∞
∞
n
因而x =x =3依次为幂级数∑na n (x -1)的收敛∑na n (x -1)的收敛区间仍为(0,2)，
n =1
n =1
n
∞
n
点、发散点.
4、设D 是第一象限中曲线2xy =1,4xy =
1与直线y =x , y =围成的平面区域，函数f (x , y ) 在D 上连续，则
π
⎰⎰f (x , y ) dxdy =
D
（A ）
πd θ24
1
sin 2θ12sin 2θ1sin 2θ12sin 2θ
π
f (r cos θ, r sin θ) rdr （B
）π2d θ4
f (r cos θ, r sin θ) rdr
ππ
（C ）
πd θ34
f (r cos θ, r sin θ) dr （D
）π3d θ4
f (r cos θ, r sin θ) dr
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y =x 得，θ=
2
π
4
；由y =得，θ=
π
3
由2xy =
1得，2r cos θsin θ=1, r =
由4xy =
1得，4r cos θsin θ=1, r =
π
2
所以
⎰⎰f (x , y ) dxdy =πd θ3
D
4
f (r cos θ, r sin θ) rdr
⎛111⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪
5、设矩阵A =12a ，b =d ，若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax =b 有无穷多个
⎪ ⎪ 14a 2⎪ d 2⎪⎝⎭⎝⎭
解的充分必要条件为
（A ）a ∉Ω, d ∉Ω （B ）a ∉Ω, d ∈Ω （C ）a ∈Ω, d ∉Ω （D ）a ∈Ω, d ∈Ω 【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★
⎡111⎢【详解】[A , b ]=12a ⎢
2
⎢⎣14a 1⎤⎡11
⎢
d ⎥−−→⎢01⎥
⎢d 2⎥⎦⎣00
1a -1
(a -1)(a -2)
⎤
⎥
d -1⎥ (d -1)(d -2)⎥⎦
1
Ax =b 有无穷多解⇔R (A ) =R (A , b )
6、设二次型f (x 1, x 2, x 3) 在正交变换x =Py 下的标准形为2y 1+y 2-y 3，其中
2
2
2
P =(e 1, e 2, e 3) ，若Q =(e 1, -e 3, e 2) ，则f (x 1, x 2, x 3) 在正交变换x =Qy 下的标准形为
（A ）2y 1-y 2+y 3 （B ）2y 1+y 2-y 3 （C ）2y 1-y 2-y 3 （D ）2y 1+y 2+y 3 【答案】(A)
【考点】二次型 【难易度】★★
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⎡200⎤⎢⎥T 222
【详解】由x =Py ，故f =x T Ax =y T (P T AP ) y =2y 1且：P AP =010 +y 2-y 3
⎢⎥⎢⎣00-1⎥⎦
⎡100⎤⎡200⎤
⎥=PC , Q T AQ =C T (P T AP ) C =⎢0-10⎥Q =P ⎢001⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣0-10⎥⎦⎣001⎥⎦
T T T 222f =x Ax =y (Q AA ) y =2y -y +y 123，故选(A) 所以
7、若A , B 为任意两个随机事件，则
（A ）P (AB ) ≤P (A ) P (B ) （B ）P (AB ) ≥P (A ) P (B )
（C ）P (AB ) ≤
P (A ) +P (B ) P (A ) +P (B )
（D ）P (AB ) ≥
22
【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】 P (A ) ≥P (AB ), P (B ) ≥P (AB )
∴P (A ) +P (B ) ≥2P (AB ) ∴P (AB ) ≤
P (A ) +P (B )
（C ）故选
2
8、设随机变量X, Y 不相关，且EX =2, EY =1, DX =3, 则E ⎡⎣X (X +Y -2)⎤⎦= （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】
【难易度】★★★ 【详解】
22
⎤E ⎡X +XY -2X =E X ()+E (XY )-2E (X )⎣X (X +Y -2)⎤⎦=E ⎡⎣⎦
=D (X )+E
2
(X )+E (X )E (Y )-2E (X )=5
二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
ln cos x
=2x →0x 1
【答案】-
2
9、lim
【考点】极限的计算 【难易度】★★
1-x 2
ln cos x ln(1+cos x -1) cos x -1=-1 【详解】lim =lim =lim =lim x →0x →0x →0x →0x 2x 2x 2x 22
π
(10、⎰π
2-2
sin x
+x ) dx =
1+cos x
π2
【答案】
4
【考点】积分的计算 【难易度】★★
π
sin x π222
【详解】⎰π( +x ) dx =2⎰xdx =
0-421+cos x
π
11、若函数z =z (x , y ) 由方程e +xyz +x +cos x =2确定，则dz 【答案】
【考点】隐函数求导 【难易度】★★
z
(0,1)
=
.
【详解】令F (x , y , z ) =e +xyz +x +cos x -2，则F x '=yz +1-sin x ，F y '=xz ，F z '=xy ，又当x =0, y =1时，z =0，所以
z
∂z F x '∂z
=-=-1，
∂y ∂x (0,1)F z '
=-
(0,1)
F y '
=0，因而dz F z '
(0,1)
=-dx
12、设Ω是由平面x +y +z =1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
⎰⎰⎰(x +2y +3z ) dxdydz =
Ω
【答案】
1 4
【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
òòò(x +2y +3z )dx dydz =6òòòzdx dydz =6ò
W
W
10
zdz òòdx dy
D z
其中D z 为平面z =z 截空间区域W所得的截面，其面积为
12
1-z (). 所以 2
òòò(x +2y +3z )dx dydz =6òòòz dx dydz =6òz ×
W
W
1
131212
1-z dz =3z -2z +z dz =()()ò0
24
20 0
-12 0 0
13、n 阶行列式0【答案】2
n +1
22 2
0 2
0 -12=
-2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
=2n +1-2
14、设二维随机变量(X , Y ) 服从正态分布N (1,0,1,1,0)，则P (XY -Y
.
1 2
【考点】
【难易度】★★
【详解】 (X , Y ) ~N (1,0,1,1,0)，∴X ~N (1,1),Y ~N (0,1),且X , Y 独立
∴X -1~N (0,1)，P {XY -Y
11111=⨯+⨯= =P {X -10}+P {X -1>0，Y
22222
三、解答题：15～23小题, 共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
设函数f (x ) =x +a ln(1+x ) +bx ⋅sin x ，g (x ) =kx ，若f (x ) 与g (x ) 在x →0是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】f (x ) =x +a ln(1+x ) +bx ⋅sin x
3
⎡⎡⎤x 2x 3x 33⎤=x +a ⎢x -++ο(x )⎥+bx ⎢x -+ο(x 3)⎥
233! ⎣⎦⎣⎦
a ⎛a ⎫
=(1+a )x + -+b ⎪x 2+x 3+ο(x 3)
3⎝2⎭
∴f (x ) 与g (x ) =kx 3是等价无穷小 ⎧⎧
⎪1+a =0⎪a =-1⎪⎪
1⎪a ⎪
∴⎨-+b =0 ⇒⎨b =-
2⎪2⎪
1⎪a ⎪
=k k =-⎪⎪3⎩3⎩
16、（本题满分10分）
设函数在f (x ) 定义域I 上的导数大于零，若对任意的x 0∈I ，曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处
的切线与直线x =x 0及x 轴所围成的区域的面积为4，且f (0)=2，求f (x ) 的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图：
x =x 0处的切线方程为l ：y =f '(x 0)(x -x 0) +f (x 0)
l 与x 轴的交点为：y =0时，x =x 0-
f (x 0) f (x 0)
，则AB ==x -x 0， f '(x 0) f '(x 0)
因此，S =
y '111f (x 0)
AB ⋅f (x 0) =f (x 0) =4. 即满足微分方程：2=，解得：
y 822f '(x 0)
11
=-x +c . y 8
又因y (0)=2，所以c =17、（本题满分10分）
已知函数f (x , y ) =x +y +xy ，曲线C :x +y +xy =3，求f (x , y ) 在曲线C 上的最大方向导数.
【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模. ，故
2
2
18，故y =. 24-x
gradf (x , y ) =(1+y , 1+x )
故f (x , y ) 在曲线C 上的最大方向导数为
1+y 2+(1+x ) 2，其中x , y 满足x 2+y 2+xy =3，
即就求函数z =(1+y ) 2+(1+x ) 2在约束条件x 2+y 2+xy -3=0下的最值. 构造拉格朗日函数F (x , y , λ) =(1+y ) 2+(1+x ) 2+λ(x 2+y 2+xy -3)
⎧∂F
⎪∂x =2(1+x ) +2λx +λy =0⎪∂F ⎪令⎨=2(1+y ) +2λy +λx =0可得(1, 1), (-1, -1) , (2, -2), (-1, 2) ⎪∂y
⎪∂F =x 2+y 2+xy -3=0⎪⎩∂λ
其中z (1, 1) =4, z (-1, -1) =0, z (2, -1) =9=z (-1, 2) 综上根据题意可知f (x , y ) 在曲线C 上的最大方向导数为3. 18、（本题满分10分）
(Ⅰ) 设函数u (x ), v (x ) 可导，利用导数定义证明
[u (x ) v (x )]'=u '(x ) v (x ) +u (x ) v (x )'
(Ⅱ) 设函数u 1(x ), u 2(x )... u n (x ) 可导，f (x ) =u 1(x ) u 2(x )... u n (x ), 写出【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】(I)
'
f (x ) 的求导公式.
⎡⎣u (x )⋅v (x )⎤⎦= lim x →0 =lim
x →0
u (x + x )⋅v (x + x )-u (x )⋅v (x )
x
⎡⎣u (x + x )-u (x ) ⎤⎦⋅v (x + x )+u (x )⋅[v (x + x ) -v (x ) ]
x
=u ' (x )⋅v (x ) +u (x )⋅v ' (x )
(∏)
f ' (x ) ={u 1(x ) ⋅[u 2(x ) u n (x ) ]}
'
'
'
=u 1' (x ) ⋅[u 2(x ) u n (x ) ]+u 1(x ) ⋅[u 2(x ) u n (x ) ]
=u 1' (x ) ⋅u 2(x ) u n (x ) +u 1(x ) ⋅{u 2(x ) ⋅[u 3(x ) u n (x ) ]}
=u 1' (x ) ⋅u 2(x ) u n (x ) +u 1(x ) ⋅u 2' (x ) u n (x ) + +u 1(x ) ⋅u 2(x ) u n ' (x )
19、（本题满分10分）
⎧⎪z =已知曲线L
的方程为⎨起点为A
，终点为B (0,，计算曲线积
⎪⎩
z =x ,
分I =
⎰
L
(y +z ) dx +(z 2-x 2+y ) dy +(x 2+y 2) dz
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
⎧x =cos θ,
ππ⎪
【详解】曲线L
的参数方程为⎨y =θ, θ从到-
22⎪z =cos θ,
⎩
I =⎰
(y +z ) dx +(z 2-x 2+y ) dy +(x 2+y 2) dz
L
22
=⎰π2⎡-θ+cos θ)sin θ+θ-(cosθ+2sin θ)sin θ⎤⎣⎦d θ2
-
π
1⎛⎫=⎰π2 2θ+sin 2θ-sin θ-sin 3θ⎪d θ
2⎭2⎝
-
π
π
2
-
π0
=⎰2πθd θ=2sin 2θd θ=2
=2
20、（本题满分11分） 设向量组
α1, α2, α3是3维向量空间 3的一个基，β1=2α1+2k α3，β2=2α2，
β3=α1+(k +1) α3。
（Ⅰ）证明向量组β1, β2, β3是 的一个基；
3
（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基α1, α2, α3与基β1, β2, β3下的坐标相同，并求出所有的ξ。
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
⎛2 【详解】（Ⅰ）(β1, β2, β3) =(α1, α2, α3) 0 2k ⎝
2
因为01⎫ 20⎪⎪0k +1⎪⎭0
2k 220=22k 0k +1011k +1=4≠0，
所以β1, β2, β3线性无关，β1, β2, β3是 的一个基。 3
⎛2 （Ⅱ）设P =0 2k ⎝1⎫ξ20⎪⎪，P 为从基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵，又设在基0k +1⎪⎭0
α1, α2, α3下的坐标为x =(x 1, x 2, x 3) T ，则ξ在基β1, β2, β3下的坐标为P -1x ，
-1由x =P x ，得Px =x ，即(P -E ) x =0 1
由P -E =001
2k 10=2k 0k 1⎛-1⎫⎪, c 为任意常数。 =-k =0，得k =0，并解得x =c 0 ⎪k 1⎪⎝⎭1
从而ξ=-c α1+c α3, c 为任意常数。
21、（本题满分11分）
⎛02-3⎫⎛1-20⎫ ⎪⎪设矩阵A =-13-3相似于矩阵B =0b 0. ⎪⎪⎪ 1-2a 031⎪⎭⎭⎝⎝
（Ⅰ）求a , b 的值.
11
（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得P -1AP 为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
⎛02-3⎫⎛1
【详解】由A = -13-3⎪
⎪相似于B = -20⎫
0b 0⎪⎪ ⎝1-2a ⎪⎭ ⎝031⎪⎭
⎧⎪0+3+a =1+b +1
则⎪⎨02-31-20
-13-3=0b 0, 解得a =4, b =5
⎪⎪⎩12a 031
λ-23
f A (λ) =|λE -A |=1λ-33=(λ-1) 2(λ-5) =0
-12λ-4
⎛1-23⎫⎛1-
当λ=1, (λE -A ) = 1-23⎪→ 23⎫
000⎪
1=λ2
⎝-12-3⎪⎪ ⎪
⎭ ⎝000⎪⎭
⎛2⎫⎛-3
特征向量ξ ⎪ ⎫⎪
1= 1⎪, ξ2= 0⎪，
⎝0⎪⎭ ⎝1⎪⎭
⎛5
当λ -23⎫⎛123⎫⎛101
3=5,(λE -A ) = 123⎪→ -121⎪→ ⎫
011⎪
⎝-121⎪⎪ ⎪ ⎪
⎭ ⎝5-23⎪⎭ ⎝000⎪⎭
⎛-1⎫⎛
则特征向量ξ -1⎪⎛
⎪, 所以P =(ξ 2-3-1⎫⎪-1 1
3=
1, ξ2, ξ3) = 10-1⎪, 得P AP = 0
⎝1⎪⎭ ⎝011⎪⎭ ⎝0
22、（本题满分11分）
设随机变量X 的概率密度为
12 00⎫10⎪⎪05⎪⎭
⎧2-x ln2x >0f (x )=⎨ 0x ≤0⎩
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数. （Ⅰ）求Y 的概率分布；
（Ⅱ）求EY .
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】P {x >3}=⎰+∞
32-x ln 2dx =
7
812k -2=(k -1)() 2() k -2, k =2,3, 4.... （I）P {Y =k }=C k -1() () 1
818 1878
17k -21+∞7（∏）EY =∑k (k -1)() () =∑k (k -1)() k -2 8864k =28K =2
1+∞2⎡1+∞k ⎤''1k -2k (k -1) x =⎢∑x ⎥=⨯设级数S (x ) = ∑364k =264(1-x ) ⎣64k =2⎦
77S () =16所以EY =S () =16 88
23、（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为 +∞2
⎧1⎪f (x ; θ)=⎨1-θ⎪⎩0θ≤x ≤1其他
其中θ为未知参数，X 1，X 2..... X n 为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求θ的矩估计.
（Ⅱ）求θ的最大似然估计.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（I）
13
x 1x 2
11+θEX =⎰dx =⋅|θ=θ1-θ1-θ221
1+θ∧n ∧n
2=1
n ∑x 2
i ⇒θ=∑x i -1
i =1n i =1
（∏）联合概率密度
f (x 1, x 2, , x n ; θ) =1
(1-θ) n , θ≤x i ≤1
ln f =-n ln (1-θ) d ln f
d θ=n
1-θ>0，故取
θ∧=min {x 1, x 2, , x n }
14