等差数列的基本概念
等差数列
知识结构
1.等差数列的概念(证明)
a n -a n -1=d (n ≥2) 或a n +1-a n =d (n ∈N *) 2.等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d
a n =pn +q ⇔数列{a n }是等差数列; 3.等差数列的性质
(1)若m , n , p , q ∈N *,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q
(2)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如:a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅(下标成等差数列)
(3)2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ;2a n =a n -k +a n +k (n >k >0) 4.等差数列的求和公式
(a +a n ). n
(1)S n =1
2
n (n -1) d
=na 1+
2
(2)前n 项和与通项公式的关系
...... n =1⎧S 1..........
a n =⎨
⎩S n -S n -1..... n ≥2
(3)若数列{a n }为等差数列,则其前n 项和S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ....... 是等差数列 (4)S 2n -1=(2n -1) a n 二.题型选编
题组一:等差数列的通项公式及性质的应用 a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d 1. 等差数列8,5,2,…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a6=27,则d=___________
1
3. 在等差数列中已知d =-,a 7=8,则a 1=_______________
3
4. 正整数前n 个数的和是___________ 5. 5、a 15=8, a 60=20, 求a 75__________
6. 已知{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1, a 3=0, 则公差d =( ) A.-2 B.-
1
11
C. D.2 22
7、设{an }是公差为-2的等差数列,如果a 1+ a4+ a7+……+ a97=50,则a 3+ a6+ a9……+ a99= ( ) (A)182 (B)-80 (C)-82 (D)-84 8. 已知等差数列{a n }中,a 3a 7=-16, a 4+a 6=0, 求{a n }的通项公式a n 解:设{a n }的公差为d ,则
⎧⎧a 12+8da 1+12d 2=-16⎪(a 1+2d )(a 1+6d )=-16
即⎨ ⎨
a =-4d ⎪⎩a 1+3d +a 1+5d =0 ⎩1
⎧a =-8, ⎧a 1=8
解得⎨1 或⎨
d =2, d =-2⎩⎩
题组二.等差数列的性质
(1)若m , n , p , q ∈N *,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q
(2)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如:a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅(下标成等差数列)
(3)2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ;2a n =a n -k +a n +k (n >k >0)
1. 在等差数列{a n }中a 3+a 11=40,则a 4-a 5+a 6+a 7+a 8-a 9+a 10的值为( )
A.84 B.72 C.60 . D.48
2. 等差数列{a n }中, a 1+a 2+a 3=-24, a 18+a 19+a 20=78, 则此数列前20下昂的和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
3. 在等差数列{a n }中, 若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8的值等于( )
A.45 B.75 C.180 D.300
4、a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450, 求a 2+a 8=? _______
5、已知{an }为等差数列,若a 1+a5+a9=π, 则cos(a2+a8) 的值为_________. 6、已知{a n }是等差数列,且a 1-a 4+a 8-a 12+a 15=2,求a 3+a 13=___________ 8. 已知
为等差数列,
,则等
于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【解析】∵a 1+a 3+a =5105即3a 3=105∴a 3=35同理可得a 4=33∴公差d =a 4-a 3=-2∴
a 20=a 4+(20-4) ⨯d =1. 选
B 。
7、a 2+a 5+a 8=9, a 3∙a 5∙a 7=-21,求数列的通项公式;
2
题组三:等差数列的前n 项和及应用 等差数列的求和公式
(1)S (a 1+a n ). n
n =2
=na +n (n -1) d
12
(2)前n 项和与通项公式的关系
a =⎧⎨
S 1..........
...... n =1n ⎩S n
-S n -1..... n ≥2 (3)若数列{a n }为等差数列,则其前n 项和S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ....... 是等差数列 (4)S 2n -1=(2n -1) a n
1.在等差数列{a n }中,若a 5+a 10=12, 则S 14=___________
2. 在等差数列{a n }中,前15项的和S 15=90 ,a 8为( )
A.6 B.3 C.12 D.4
3. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15 4、若a 8=m , 求S 15=___________
5、若a 4+a 6+a 15+a 17=50, 求S 20=___________ 6、若a 2+a 4=18, a 3+a 5=32, 求S 6=___________ 7、若a 2+a 5+a 12+a 15=36, 求S 16=___________ 8、若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450, 求a 2+a 8=___________ 9、在等差数列{a n }中,若a 3+a 15=a 5+a n ,则n=_______
10、已知等差数列{a n }的前4项和为35,后4项和为125,所有项的和为280,则这个数列的项数是((A )14; (B )15; (C )16; (D )17
11、一个项数为奇数的等差数列,奇数项的和与偶数项的和为30与24,则项数n =________; 12、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 12=21,则a 2+a 5+a 8+a 11= .
13、已知等差数列{a n }满足:a 1+a 2+a 3+
+a 101=0,则有( )
(A )a 1+a 101>0;(B )a 2+a 101
14、若等差数列{a 2n }的各项都是负数,且a 3+a 28+2a 3⋅a 8=9,则其前10项和S 10。
3
)
15.等差数列{a n }中a 1+a 2+a 3=-24, a 18+a 19+a 20=78,求此数列的前20项和;
16、在等差数列{a n }中,S 4=4, S n -4=12, S n =24,求n 的值 ;
17、已知两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,且满足
S n 2n -1a 3
=,求; n ∈N ()
b 3T n 3n +2
18. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5=5a 3则解析
S 9
=S 5
{a n }为等差数列,∴
S 99a 5
答案 9 ==9
S 55a 3
19、若两个等差数列
{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ,且满足A n
87
(C )
B n
=
4n +25n -5
,则
a 5+a 13b 5+b 13
的值为 ( )
(A )
20、已知数列
79
(B )
1920
(D )
78
{a n }的前n 项和为S n =n 2-5n +2, 则数列a n }的前10项和为 ( )
(A )56 (B )58 (C )62 (D )60
21、等差数列{an } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160
22、等差数列{an }中,a 1+a2+……a 10=15,a 11+a12+……a 20=20,则a 21+a22+……a 30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45
23、已知等比数列前10项的和为10,前20项的和为30,那么前30项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126 24、数列{an }、{bn }都是等差数列,它们的前n 项的和为(A)
4
S n 3n +1=,则这两个数列的第5项的比为 T n 2n -1
492834
(B) (C) (D)以上结论都不对 291719