基于截面轴力与弯矩屈服面本构积分的梁-柱单元

第 31 卷第 4 期 2014 年 4 月

Vol.31 No.4 Apr. 2014

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ENGINEERING

MECHANICS

文章编号：1000-4750(2014)04-0203-07

基于截面轴力与弯矩屈服面本构积分的梁 柱单元

陈永盛，吴 斌

(哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江，哈尔滨 150090)

摘

要：梁-柱单元模型是杆系结构有限元分析的基础，现有的塑性铰模型和纤维模型无法兼顾计算精度与效率。

该文依托 Euler-Bernoulli 梁理论，并以塑性理论和数值方法为基础，选用截面组合思想构建截面的轴力与弯矩的 屈服面，提出了在截面内力空间上基于轴力与弯矩屈服面进行截面本构积分的平面梁柱单元。通过一悬臂柱的静 力弹塑性分析和框架柱的动力弹塑性分析算例，验证了所提出的截面轴力弯矩(NM)耦合单元模型，在计算精度上 接近纤维模型，在计算效率上远高于纤维模型。 关键词：梁-柱单元；截面 NM 耦合模型；纤维模型；刚度法；屈服面 中图分类号：O242.21 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.10.0808

BEAM-COLUMN ELEMENT BASED ON CONSTITUTION INTEGRATION OF YIELD SURFACE OF SECTIONAL AXIAL FORCE AND BENDING MOMENT

CHEN Yong-sheng , WU Bin

(School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin, Heilongjiang 150090, China)

Abstract:

Beam-column element model is the basis of structural finite element analysis; however, existing Based

plastic hinge model and fiber model can not simultaneously satisfy calculation accuracy and efficiency.

on Euler-Bernoulli beam theory, theory of plasticity and numerical method, a novel planar beam-column element was proposed in this paper, which was derived through constitution integration of yield surface of sectional axial force and bending moment in sectional internal force space. Both static and dynamic elastoplasticy analyses were implemented for a cantilever column and frame columns respectively. The results show that the calculation accuracy of proposed model is close to fiber model, while the efficiency is much higher than that of fiber model. Key words: beam-column element; section NM coupling model; fiber model; stiffness method; yield surface 形，这有悖于经典的塑性流动理论[2]；塑性铰模型 无法考虑塑性沿杆件纵向的分布。 2) 分布塑性模型 通 过截面本 构 积 分 能够描述 塑性 沿 单元 纵向 的分 布。 截面的本构可以是现象型弯矩-曲率关系或通过 纤维的单轴应力-应变关系导得。纤维模型[3]能够很 好解释截面轴力与弯矩的相互作用，但是其计算量 大， 计算效率 低 ， 耗时 大 约 是 塑性铰 模型的 102 倍[4]。Nigam[5]、Morris[6]等提出在杆端采用屈服面 进行单元弹塑性状态确定的分析方法； Orbison 等[7] 通过试验和曲线拟合提出了一个新的屈服面模型。

梁-柱单元模型是杆系结构有限元分析的基础， 它关系到建筑结构分析的计算精度和效率，因此得 到了广泛的研究与探讨。 在以往的文献中，国内外学者提出并发展了许 多包含材料非线性的梁-柱单元数学模型， 归纳起来 分为两类[1]：集中塑性模型和分布塑性模型。1) 集 中塑性模型通常假定塑性只发生在杆件的两端(称 之为塑性铰)， 塑性铰模型的计算量小， 计算效率高； 塑性铰 模型 可 以 考虑 轴 力 存 在 对 截面弯 曲承载能 力的影响，但它假定仅纯弯屈服，而无轴向塑性变

———————————————

收稿日期：2012-10-30；修改日期：2013-01-13 基金项目：国家自然科学基金重大国际(地区)合作研究项目([1**********]) 通讯作者：吴

斌(1970―)，男，湖北人，教授，博士，博导，从事结构振动控制与结构混合试验研究(E-mail: [email protected]).

作者简介：陈永盛(1982―)，男，河南人，博士生，从事结构混合试验方法研究(E-mail: [email protected]).

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舒兴平等[8]利用该屈服面在单元杆端进行单元状态 确定并进行了试验，但这种判断模式比较复杂且不 能考虑分布塑性；周强等[9]在单元内部截面上利用 屈服面进行截面状态确定， 但选用文献[7]中的屈服 面模型没有针对性，也没给出截面状态确定的详细 过程。 为了平衡计算效率与计算精度的矛盾，并能正 确 揭示 轴 力的 存 在 与 变 化 对 截面弯 曲承载 力的 影 响。本文依托 Euler-Bernoulli 梁理论，并以塑性理 论和数值方法为基础，提出了在截面内力空间上基 于轴 力与 弯矩屈服面本 构 关 系 积 分的 平面 梁柱单 元。通过静力弹塑性分析和动力弹塑性分析算例， 验 证了 所提 梁柱 单 元 有 较 高 的 计 算 精 度 和 计 算 效率。

截面内力为：

s ( x) = [ N ( x), M ( x)]T 其中： N ( x) 为截面轴力； M ( x) 为截面弯矩。

截面变形为：

e ( x) = [e a ( x), c ( x)]T 其中： e a ( x) 为轴力变形； c ( x) 为截面曲率。

2) 变形协调条件 截面变形 e ( x) 与结点位移 d e 的几何关系为：

e ( x) = B ( x) × d e (1) 其中， B ( x) 为几何变换矩阵，以下简记为 B 。

0 0 -1 0 0 ù é -1 B=ê ú ë 0 6x / L 3x - 1 0 6x / L 3x - 1û B 可通过对位移形函数求导得， x Î [ -1,1] 。

依据 Euler-Bernoulli 梁理论，位移形函数是通 过对轴向位移采用 Lagrange 线性插值， 对横向位移 采用三次 Hermite 插值来构造的。 3) 截面本构关系 截面内力增量 Ds ( x) 与变形增量 De ( x) 关系：

1 基于刚度法的单元分析

1.1 单元分析层次与模式简介 在杆系有限元分析中，单元分析的目的是获得 结点力与结点位移的关系。也就是已知结点位移， 求结点力并更新单元的刚度矩阵。 单元分析的层次有三种：基于构件层次、基于 截面 层次 和 基 于材料 层次 。 单元分析的模 式 有 两 种：刚度法和柔度法[10

―12]

Ds ( x) = Dst ( x) × De ( x) (2) 其中， Dst ( x) 为截面切线刚度矩阵。本文第 2.2 节

将在截面弹塑性刚度矩阵上重点讨论。 4) 单元平衡方程 由虚位移原 理和上文 几何 方程 式 (1) 及 本 构方 程式(2)可得：

，为了简便起见，下面选

用刚度法在截面层次上进行单元分析(见图 1)。

Ue K e × U e = Re

Re

f e = ke × d e 其中， ke 为单元刚度矩阵： ke = ò B T Dst Bdx =

0 L

(3)

de = T × U e

Re = T ¢ × f e

de

ke × d e = f e

fe

ò-1

1

B T Dst B

L L ns dx = å BiT Dsti Bi × wi ， 2 2 i =1

e ( x) = B × d e

f e = ò0 B T × s ( x )dx

L

L 1 L L ns f e = ò B T s ( x)dx = ò B T s (x ) dx = å BiT si × wi ， 0 -1 2 2 i =1 ns 为积分截面数， wi 为权重。

e ( x)

Dst × e ( x) = s ( x)

s ( x)

2 截面状态确定与本构积分

2.1 弹塑性状态的确定[13] 在荷载增量法或逐步积分算法中，无论是增量 步(时间步)或是迭代步，由截面变形 e ( x) 确定截面 内力 s ( x) ，必须先确定截面的弹塑性状态。 以时间步为例， 结合图 2(其中横轴 M z 为弯矩， 纵轴 N 表示轴力)进行说明。对给定的截面，已知：

t t t 时刻的量 t s 、 State (t 时刻截面弹塑性状态)、 e及 t +Dt t +Dt t t +Dt e 或 De = e- e， 欲求： t + Dt 时刻的量 s 、

图1 Fig.1

基于截面层次的单元

Element based on section level

1.2

基于刚度法的梁柱单元 基于 Euler-Bernoulli 梁理论，采用刚度法进行

二维梁柱单元分析。 1) 结点与截面变量 在局部坐标系下，二维梁柱单元的结点位移和 结点力向量分别为： d e 和 f e 。

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t +Dt

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State 和 Dst ( 截面 切 线 刚度 ， 下 文 的 Dse 或Dsep )

1) 计算试探内力 按截面弹性矩阵 Dse 计算截面内力增量的预测

4) 更新相关信息 更新截面内力与切线刚度： (8) s = t s + Ds [13―14] 2.2 本构关系的积分 现在 重 点 研究 超 过屈服面 之 后 变形 产 生的 内 力增量 Ds2 (见式(7))，本文采用基于显式积分的切 向预测径向返回算法(见图 2)求解。 1) 切向预测 设截面屈服准则的一般形式为： j ( s ( x)) - 1 = 0 该屈服函数的全微分形式为：

t +Dt

的基本步骤如下：

% ，并形成试探内力。 值 Ds % = Dse × De Ds

t +Dt trial

(4) (5)

s

% = t s +Ds

2) 确定截面状态 将 截面 试 探内 力 t +Dt s trial 代入 截面 的 屈服 函 数

j ( t +Dt s trial ) ，根据 j 值及 t State ，确定比例因子 r

和 t +Dt State 。 当 t State =0，即截面原来的状态为弹性时： a) 若 j ( t +Dt s trial ) ≤ 1 ，则当前状态也为弹性： 令 t +Dt State = 0 ， r = 1 ； b) 若 j ( t +Dt s trial ) > 1 ，则当前状态变为塑性： 令 t +Dt State = 1 ，计算 r (见图 2)。 当 t State = 1 ，即截面原来的状态为塑性时： a) 若 j ( t +Dt s trial ) ≤ 1 ，则当前状态变为弹性： 令 t +Dt State = 0 ， r = 1 ； b) 若 j ( 令

t +Dt trial

æ dj ö (9) dj = ç ÷ × ds = 0 è ds ø 由相关流动法则知，截面塑性变形为： dj de p = l (10) ds 内 力 增 量 ds 仅 由 变形 增 量 de 的 弹性 部 分 产 生，因此： ds = De × de e = De × (de - de p ) (11)

将式(10)代入式(11)并联立式(9)，

T

s

) > 1 则当前状态仍为塑性：

State = 1 ， r = 0 。 3) 计算内力增量 计算变形增量 De 对应的内力增量 Ds ：

t +Dt

æ dj ö 令： L = ç ÷ × Dse × de ；(加载准则函数) è ds ø dj æ dj ö H =ç ；(正的标量) ÷ × Dse × ds è ds ø 则：塑性变形的大小为： l = L / H 。 从而塑性阶段增量内力-变形关系可以写成： ds = ( Dse - Dsp ) × de = Dsep × de (12)

其中， Dsp = (6)

T

T

Ds = òt

t

e +De

e

Dse × (de - de p ) =

t

% + òt r Ds

e +De

e + r De

Dse × (de - de p )

到达屈服面前变形产生的内力增量： % Ds1 = r Ds 超过屈服面后变形产生的内力增量：

1 dj æ dj ö Dse × ç ÷ × Dse 为塑性矩阵。 H ds è ds ø 基于上述理论，可求得超过屈服面之后变形产 生的内力增量 Ds2 ，并更新截面刚度矩阵 Dst ： Ds2 = òt

t

T

Ds2 = òt

t

e +De

e + r De

Dse (de - de p )

% Ds

(7)

e +De

e + r De

Dse (de - de p ) = Dsep (1 - r )Δe (13)

截面总内力增量 Ds = Ds1 + Ds2 。

j ( s) = 1

% × Ds (1 - r )

Dst = Dsep ，其中 Dsep 为截面弹塑性刚度矩阵。

2) 径向返回 若式(13)采用显式欧拉方法，则 Dsep 是(图 2)中

t +Dt

轴 力N

% r × Ds

Ds1

t

s

Ds

Ds2

t +Dt

s trial

起点 C 的切线刚度，从而 Ds2 在 C 点切线方向。由 于曲线外凸，故 t +Dt s¢ (点D) 总在屈服面之外，有必 要采用回归映射算法(这里选用径向返回)使

s¢

t +Dt t +Dt

s

s = t +Dt s¢ ×

1 j ( t +Dt s¢)

s (点E ) 落在屈服面上。值得注意的是为减小预 测误差，应该使用子增量法。

t +Dt

弯矩M z

3 单元截面屈服函数表述

在截面层次单元的弹塑性分析中，确定一个控

Fig.2

图 2 内力空间与内力路径示意图 The schematic of force space and force trajectory

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制 截面屈服 的 函 数 是 至 关 重 要 的 。 下 面 首 先 给 出 AISC-LRFD99 推荐的双线性相关方程， 然后依据截 面组 合 思想 ， 推 导工 字 型 截面 相 关 曲线 作 为屈服 函数。 3.1 规范推荐的相关曲线 根据 AISC-LRFD 的双线性公式，截面的 N-M 相关曲线可以表示如下： N N M 当

消去 以上 两式 中 的 h ， 则 可 得轴 力 Ｎ 和弯矩 Mz 的相关公式：

(2a + 1) 2 N 2 M z × 2+ =1 4a + 1 N y M pz

(17a)

当轴力较大 ( N > Aw f y ) 时， 塑性中和轴在腹板 外 ， 按 照 上 述 方法 可 得轴 力 Ｎ 和弯矩 Mz 的 相 关 公式：

N N 8M ≥ 0.2 时， + = 1.0 Ny N y 9M p

4a + 1 M z N + × =1 N y 2(2a + 1) M pz

函数：

(17b)

从 而 ， 理想弹塑性材料 H 型 钢 截面 的 屈服

该相关曲线虽然简单，但它在描述截面的承载 能力时通用性差，以至于对许多其他截面不经济； 此外 这个 分 段 函 数 描述 的 曲线 在 N = 0.2 N y 时不 连续。 3.2 截面组合式相关曲线 Chan 和 Chui[15]提出了截面组合思想，用来确 定 I 或 H 型截面的塑性极限承载力。其核心是假设 腹板承担轴力，剩余屈服的部分抵抗弯矩。 选 H 型钢柱为研究对象(见图 3)，假定其为理 想弹塑性材料(屈服强度为 f y )，设一个翼缘面积为

j(N , M z ) = j(N , M z ) =

(2a + 1)2 N 2 M z × 2+ , 4a + 1 N y M pz N Ny + 4a + 1 M z , × 2(2a + 1) M pz

N 1 ≤ N y 2a + 1 N 1 > N y 2a + 1

4 数值模拟结果分析与比较

选焊接 H 型钢悬臂柱和框架柱为研究对象， 采 用截面 NM 耦 合单元 和纤维 模型单元 建 模， 在 Pentium IV、CPU2.8GHz、内存 512M 计算机上， 对悬臂柱进行静力弹塑性分析，对框架柱进行动力 弹塑性 分析， 比较这两种 单元模型的 计算精度 与 效率。 H 型钢选用 Q235，HA250×250，其截面尺寸 见表 1 。截面 NM 耦 合单元 ( 记 为 S-N1&M1) 在 MATLAB 中 编 程 模 拟 ， 而 纤 维 模 型 单 元 ( 记 作 M-Fiber)在 OpenSees 用 dispBeamColumn 单元来模 拟，这两种单元模型都采用刚度法列式，结构分析 也选用统一的方法，保证比较的一致性。

Af = a Aw ( 其 中 Aw 为 腹板 面积 ， 为了 简 化 取 h » hw )，则该截面单独受轴力或弯矩作用时的极限承 载能力如下： N y = Af y = (2a + 1) Aw f y (15a)

M pz = Wpz f y = 2 Af f y h / 2 + 2 ´ 0.5 Aw f y hw / 4 » (a + 0.25) Aw f y h

Af = b ´ t

hh

(15b)

fy

Aw = hw ´ tw

表1 Table 1

焊接 H 型钢截面尺寸及特性

(1 - 2h ) h

M

N

The section dimension and features of welding H section steel

尺寸/mm d 250 300 bf 250 200 tw 6 6 tf 12 12 面积/cm2 73.5 64.5 惯性矩 Iz/cm4 9080 11010

型号 HA250×250 HA300×200

fy

图3 Fig.3 H 型截面及截面内力分析

hh

4.1

静力弹塑性分析

H-Section and internal force analysis

算例 1. 以 图 4 所 示 悬臂 柱 为 研究 对象 ， 轴 压 比 P/Ny=0.60，进行静力弹塑性 Pushover 分析(顶点水 平位移D=0.36m)。在分析中，悬臂柱分别被划分为 (16a) 1 个单元(1Ele)和 4 个单元(4Ele)两种工况，每种工 况分别用截面 NM 耦合单元和纤维模型单元模拟， 比较两种模型的计算精度与效率。

当轴力较小 ( N ≤ Aw f y ) 时， 塑性中和轴在腹板 内，轴力和弯矩的平衡条件分别如下[16]： N = (1 - 2h )htw f y » (1 - 2h ) Aw f y

M z = Af f y (h - t ) + (h h - t )tw f y (1 - h - t / h)h » (a + h - h ) Aw f y h

2

(16b)

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D

tf = 12mm tw = 6mm

材料：Q235 f y = 235MPa N y = 1728.7kN M p = 185.8kN g m

图4 Fig.4

悬臂柱静力弹塑性 Pushover 分析

截面弯矩Ny

图7 Fig.7

悬臂柱底部积分截面内力路径及屈服面

Static elastoplastic analysis of cantilever column

悬臂柱底部剪力与顶部水平位移曲线如图 5 所 示，底部积分截面弯矩与曲率的关系如图 6 所示， 柱 底 部 截面轴 力与 弯矩屈服面 及 积 分 截面内 力 路 径如图 7 所示。两种模型所需的计算时间见表 2。

算例 1 算例 2

Internal force path and yield surface of the bottom integration section 表2 两种模型分别计算两算例耗时对比 Time consumption comparison of the two models in the two computing examples respectively

截面 NM 耦合模型 ts 1.6874/s 17.5430/s 纤维模型 tf 4.8208/s 25.6295/s

Table 2

(tf - ts ) / tf

65% 33%

由图 5~图 7 可知， 无论选用 1 个或 4 个单元来 模 拟 悬臂 柱， 本文所提出 的 截面 NM 耦 合单元 (S-N1&M1) 与 纤维 模型单元 (M-Fiber) 模 拟 结 果都 吻合很好。由图 6 和图 7 可知，用 4 个单元来模拟 悬臂 柱 能很好考虑 轴 力的 存 在 对 截面 抗 弯 承载 力 的削弱作用，而用 1 个单元来模拟悬臂柱时误差较 大。这种通过细化网格(一个构件用多个单元，如本 例中用 4 个单元描述悬臂柱)的方法， 可以减少非线

图5 Fig.5 悬臂柱底部剪力与顶部水平位移曲线 horizontal

性阶段由于位移场描述失真引起的离散误差，提高 模拟精度。 从表 2 可知，在计算效率上，截面 NM 耦合模 型比纤维模型高 65%。 4.2 动力弹塑性分析 算例 2. 以图 8 所示单层单跨钢框架为研究对象， 框架梁采用 Q235，HA300×200 型钢，框架柱采用 Q235，HA250×250 型钢(见表 1)，柱轴压比 P/Ny = 0.58。 框架柱分别被划分为一个单元(1Ele)和四个单 元(4Ele)两种工况，每种工况分别用截面 NM 耦合 单元(S-N1&M1)和纤维模型单元(M-Fiber)建模。输 入 El Centro(NS, 1940)地震记录(峰值 220gal，取持 时 6 秒)， 进行动力弹塑性分析，比较两种模型的计 算精度与效率。

The curve of bottom shear force vs top displacement

图6 Fig.6

悬臂柱底部积分截面弯矩与曲率关系

本例采用 Alpha-OS 逐步积分方法求解结构运 动方程。左柱底部截面弯矩与曲率关系见图 9，左

Moment-curvature relation of the bottom section

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水平位移/mm 转角/(1/mm) 竖向位移/mm

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柱底部截面轴力弯矩屈服面与内力路径见图 10； 钢 框架顶部结点 3 位移时程曲线如图 11 所示。假定 由纤维模型单元模拟的结果 df 为真实值，图 12 给 出了由截面 NM 耦合单元所得的结点 3 水平位移 ds 的绝对误差 aE 与相对误差 rE，其中相对误差是由 绝 对 误差 的 绝 对 值 除 以 真 实 值 绝 对 值 的 最 大 值所 得。两种模型所需的计算时间见表 2。

P3 = 1000kN m3 = 20000kg P4 = 1000kN m4 = 20000kg

HA 300´ 200´ 6´12

HA 250 ´ 250 ´ 6 ´12 柱截面：Q235

3.6m

图 11 Fig.11

顶部结点 3 位移时程

N y = 1728.7kN

&& U g

Time history of displacement at top node 3

M p = 185.8kN g m

aE = ds - d f rE =

Fig.8

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -0.015 -0.010 -0.005 0 0.005 0.010 0.015 S-N1&M1-1Ele S-N1&M1-4Ele M-Fiber-1Ele M-Fiber-4Ele

误差

图 8 单层单跨平面钢框架计算简图 Computing model of one storey single bay steel plane frame

| ds - d f | ´ 100% max | d f |

图 12 Fig.12

结点 3 水平位移反应的绝对误差与相对误差 Absolute error and relative error of horzontal displacement response at node 3

由图 9、 图 10 可知用四个基于刚度法的单元来 模 拟 一 个 构 件能考虑 轴 力的 存 在 与 变 化 对 截面 抗 弯承载力的影响，这种细化网格提高精度是基于刚 度法单元的特性。由图 9~图 11 可知，无论将框架 柱划分为 1 个或 4 个单元，采用截面 NM 耦合单元 (S-N1&M1) 与 纤维 模型单元 (M-Fiber) 的模 拟 结 果 吻合很好。由图 12 可知，截面 NM 耦合单元相对 于纤维模型单元模拟结果的绝对误差很小，相对误 差 在 7.5% 之 内 。 这 些 差 别 来 源 于 所 提 出 的 (S-N1&M1)单元采用基于截面上 NM 屈服面的本构 关系，该本构目前未考虑截面初始屈服，而认为在 全截面屈服前截面是弹性的。从表 2 可知，在计算 效率上，截面 NM 耦合模型比纤维模型高 33%。

截面曲率/(1/m)

Fig.9

图 9 左柱底部截面弯矩与曲率关系 Moment-curvature relation of the bottom section of the left column

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 S-N1&M1-1Ele S-N1&M1-4Ele M-Fiber-1Ele M-Fiber-4Ele 截面N-M屈服面

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00

截面弯矩Mp

5 结论

本文依托 Euler-Bernoulli 梁理论，并以塑性理 论和数值方法为基础，提出了在截面内力空间上依

图 10 左柱底部截面内力路径与屈服面 Fig.10 Internal force path and yield surface of the bottom section of the left column

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据轴力与弯矩屈服面进行截面本构积分的梁-柱单 元模型。通过静力弹塑性分析和动力弹塑性分析算 例，验证了所提出的梁-柱单元的计算精度与效率。 结论如下： (1) 所提出 的 截面轴 力 弯矩耦 合梁 - 柱单元模 型属于截面层次的分布塑性单元。该单元所依托的 截面内 力 空间上轴 力与 弯矩屈服面 的 本 构 关 系是 科学合理的；该单元可考虑截面轴力存在及变化对 截面弯矩承载力的影响。 (2) 所提出 的 截面轴 力 弯矩耦 合梁 - 柱单元模 型，在计算精度上接近纤维模型单元，在计算效率 上远超过纤维模型单元。综合考虑计算精度与计算 效率，本文所提出的单元应用方便，实用性强，为 建筑结构分析提供了一种新的梁-柱单元。 本文所提出 的 截面轴 力 弯矩耦 合柱单元 依托 的是刚度法，在强非线性中必然存在误差，需要细 化网格以提高精度。另外，所提单元没有考虑塑性 沿截面横向的分布，这些问题将另文讨论。 参考文献：

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