七年级上(一元一次方程)
第三章 一元一次方程
第1讲 从算式到方程
1.代数式
代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式.
例如:ax+2b,﹣13,2b23,a+2等.
注意:①不包括等于号(=)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈.
②可以有绝对值.例如:|x|,|﹣2.25|等.
2.列代数式
(1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.
(2)列代数式五点注意:①仔细辨别词义. 列代数式时,要先认真审题,抓住关键词语,仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分. ②分清数量关系.要正确列代数式,只有分清数量之间的关系. ③注意运算顺序.列代数式时,一般应在语言叙述的数量关系中,先读的先写,不同级运算的语言,且又要体现出先低级运算,要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写,数与数相乘必须写乘号;除法可写成分数形式,带分数与字母相乘需把代分数化为假分数,书写单位名称什么时不加括号,什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用. ⑤正确进行代换.列代数式时,有时需将题中的字母代入公式,这就要求正确进行代换.
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1.在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“•”或者省略不写.
3.在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数.
4.含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
3.代数式求值
(1)代数式的:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.
题型简单总结以下三种:
①已知条件不化简,所给代数式化简;
②已知条件化简,所给代数式不化简;
③已知条件和所给代数式都要化简.
4.方程的定义
(1)方程的定义:含有未知数的等式叫方程.
方程是含有未知数的等式,在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.
(2)列方程的步骤:
①设出字母所表示的未知数;
②找出问题中的相等关系;
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程.
5.方程的解
(1)方程的解:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值叫方程的解.
注意:方程的解和解方程是两个不同的概念,方程的解是指使方程两边相等的未知数的值,具有名词性.而解方程是求方程解的过程,具有动词性.
(2)规律方法总结:
无论是给出方程的解求其中字母系数,还有判断某数是否为方程的解,这两个方向的问题,一般都采用代入计算式方法.
6.一元一次方程的定义
(1)一元一次方程的定义
只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程.
通常形式是ax+b=0(a ,b 为常数,且a ≠0).一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0(其中x 是未知数,a 、b 是已知数,并且a ≠0)叫一元一次方程的标准形式.这里a 是未知数的系数,b 是常数,x 的次数必须是1.
(2)一元一次方程定义的应用(如是否是一元一次方程,从而确定一些待定字母的值) 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析,考虑问题需准确,全面.求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法.
7.等式的性质
(1)等式的性质
性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式;
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式.
(2)利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形,使方程的形式向x=a的形式转化.
应用时要注意把握两关:
①怎样变形;
②依据哪一条,变形时只有做到步步有据,才能保证是正确的.
8.一元一次方程的解
定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.
把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.
第2讲 解一元一次方程——合并同类项与移项
第3讲 解一元一次方程——去括号与去分母
1.解一元一次方程
(1)解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤,针对方程的特点,灵活应用,各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.
(2)解一元一次方程时先观察方程的形式和特点,若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号,且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母,就先去括号.
(3)在解类似于“ax+bx=c”的方程时,将方程左边,按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c.使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想.将ax=b系数化为1时,要准确计算,一弄清求x 时,方程两边除以的是a 还是b ,尤其a 为分数时;二要准确判断符号,a 、b 同号x 为正,a 、b 异号x 为负.
第4讲 实际问题与一元一次方程
1.由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ,然后用含x 的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程.
(1)“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式,在这一类问题中,表示出各部分的量和总量,然后利用它们之间的等量关系列方程.
(2)“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系,也是列方程的一种基本方法.通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示,进而列出方程.
2.一元一次方程的应用
(一)、一元一次方程解应用题的类型有:(1)探索规律型问题;(2)数字问题;(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=利润进价×100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和,差,倍,分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题; (10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).
(二)、利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ,然后用含x 的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
2.设:设未知数(x ),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
3.列:根据等量关系列出方程.
4.解:解方程,求得未知数的值.
5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.