初一上数学 几何图形初步 培优
线段及其中点问题
板块一、有理数基本加、减混合运算 【例1】
已知线段AB 的长度为a ，点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，求MN 的长。
【例2】 . 已知，线段AB=10cm，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的
长。
【例3】 点C 在线段AB 上，AC=8cm，CB=6cm，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点. (1)求MN 的长;
(2)若点C 为线段AB 上任意一点，AC +CB =k ，其他条件不变，则MN 的长度为多少？
有理数基本运算
【例4】 如图，已知B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 中点，N 是CD 中点，若MN =a , BC =b . 求
AD.
【例5】 如图，已知线段AB 和CD 的公共部分BD =
12cm ，求
AB ，CD 的长。
11
AB =CD , 线段AB ，CD 的中点E 、F 的距离是34
【例6】 在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，
N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。
【例7】 （1）如图，点C 在线段AB 上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段
MN 的长；
（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由。 （3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC -BC = b cm，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由。
A
M C N B
【例8】 已知线段AB=acm,点A 1平分AB,A 2平分AA 1,A 3平分AA 2, ……, A n 平分AA n -1, 则AA n =_________cm.
【例9】 过两点最多可画1条直线（1＝
2⨯13⨯2
）；过三点最多可画3条直线（3＝）；过同一平面内四点22
最多可画______________条直线；过同一平面内ｎ点最多可画______________条直线；
【例10】 在一条直线上取两上点A 、B, 共得几条线段? 在一条直线上取三个点A 、B 、 C,共得几条线段? 在一条
直线上取A 、B 、C 、D 四个点时, 共得多少条线段? 在一条直线上取n 个点时, 共可得多少条线段?
【例11】 如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s、2 cm/s的速度沿直线AB 向
左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）
（1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB
上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ －BQ=PQ
，求
PQ
的值。 AB
1
AB ，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点2
MN
在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM －PN 的值不变；②的值不变，可以说明，
AB
（3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有CD =只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。
【例1】 如图所示，AB 为一条直线，OC 是∠AOD 的平分线，OE 在∠BOD 内，∠DOE=
求∠EOB 的度数。
【例2】 如图，已知∠AOB 是∠AOC 的余角，∠AOD 是∠AOC 的补角，且
比较大小、绝对值、找规律 角的度量
1
∠BOD ，∠COE=72°，3
1
∠BOC =∠BOD ，求∠BOD 、∠AOC 的度数
2
D
C
B
O
【例3】 已知，如图∠BOC 为∠AOC 内的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC 。 （1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON 的度数； （2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON 的度数；
（3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON
的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。 （4）从前三问的结果你发现了什么规律？
A
【例4】 （1）如图所示，已知∠AOB 是直角，∠BOC=30度，OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数。 （2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON 的度数。 （3）你从（1），（2）的结果中能发现什么规律？
O
B N
【例5】 O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。 （1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；
（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示） （3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。
①探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：2∠
AOF +∠BOE =的度数之间的关系。
1
(∠AOC -∠AOF ) ，试确定∠AOF 与∠DOE 2
【例6】 如图，已知∠AOB=60度，OC 是∠AOB 的平分线，OD ，OE 分别是∠BOC 和∠AOC 的平分线。
（1） 求∠DOE 的大小；
（2） 当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD ，OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问：此时∠DOE 的大小是
否和（1）中相同吗？说明理由。
B
O
【例7】 如图，在图（a ）中，在角内引一条射线时，图中共有（ ）个角； 在图（b ）中，在角内引两条射线时，图中共有（ ）个角；
在图（c ）中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n 条射线（n 为自然数）时，则共有几个角？
（a ）
（b ）
（c ）
借助方程求解数轴上动点问题 比较大小、绝对值、找规律
【例1】 已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点
同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？
⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为
40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
【例2】 如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为—20，B 点对应的数为100。
⑴求AB 中点M 对应的数；
⑵现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的
D 点相遇，求D 点对应的数。
【例3】 已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。
⑴若点P 到点A 、点
B 的距离相等，求点P 对应的数；
⑵数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点
A 、点B 的距离相等？
【例4】 已知数轴上A 、B 两点对应数分别为—2，4，P 为数轴上一动点，对应数为x 。
⑴若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数。
⑵数轴上是否存在P 点，使P 点到A 、B 距离和为10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。 ⑶若点A 、点B 和P 点（P 点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P 为AB 的中点？
【例5】 电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K0向左跳一个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位
到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K 100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K 0点表示的数。
【例6】 如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm，CB=6cm，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。 （1） 求线段MN 的长；
（2） 若C 为线段AB 上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理
由。你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3） 若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC —BC=bcm，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN
的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。
A M C N B
【例7】 如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12， （1）写出数轴上点A 、B 表示的数；
（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒
3
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN =
1
CQ ，设运动时间为3
t (t >0) 秒。
①求数轴上点M 、N 表示的数（用含t 的式子表示） ②t
为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点。