罐容量标定

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

加油站的地下储油罐在使用一段时间之后，由于地基变形等

原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。因此必须进行重新标定。本文主要通过研究储油罐变为识别与罐容标定的问题来建立模型。我们首先通过简单的模型入手，通过对无变位的罐体进行研究。进而研究变位和纵向倾斜对罐容的影响。在研究无变位的罐体时，建立坐标系，并忽略罐体的厚度，利用积分的方法计算出储油量和测量油位高度的关系。再与题中给的附件一中的数据相比较，将计算结果与实际的数据用matlab 画在同一个图形当中，经计算其误差均小于3.5%。在对纵向倾斜角为4.1度时，分三种情况进行讨论，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

然后我们又对如图1所示的实际中的油罐进行考虑，建立了罐体变位后标定罐容表的数据模型。即罐内储油量与油位高度和变为参数（纵向变位角α和横向变位角β）之间的关系。在建立模型的过程中，将罐体分为中间的圆柱体和两边的罐体，分别利用积分求出罐容量与油位高度之间的关系。在计算中圆柱体的体积时，我们同样也分三种情况进行讨论。在得到罐体容量与油位高度和变为参数的关系之后，计算出比较准确的α，β值，给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐体容量标定值。然后与附表二中的数据比较，检验实验结果的准确性。

关键词

变位 罐容表标定值

一 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二 问题分析

这道题主要是要解决在地下储油罐发生变位后如何重新标定罐容表的问题。所以我们就要建立储油体积与油位高度的关系。在油量高度间隔为1cm 和10cm 时，计算出所有的高度对应的储油量的值，进而得到罐容量标定值。

在第一问中需要做两个实验，一是纵向无变位，一是纵向有变位。纵向无变位的时候相对比较简单。我们只需要建立合适的坐标轴，通过合适的积分运算，就能求出罐里储油量和油位高度之间的关系。对于纵向变位为4.1度时，由其图像特点，其储油量要分为三部分进行计算，采用二重积分的方法。得到积分公式后用附表一中的数据对积分公式进行检验，验证其准确度。

在第二问中，需要研究的是实际中的储油罐，其体积分为三个部分来求，中间的圆柱体和两边的球冠体。对于纵变位角α和横变位角β，我们需要先建立

罐容量与油位高度和变位参数的关系式。然后再通过附表二中的数据确定出α和

β的值，进而给出油位高度间隔为10cm 的罐容量标定值。

三 模型假设

（1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由表中数据得到的容积即为油罐的

标准容积；

（2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积；

（3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针

到油面的距离；

（4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。

四 符号说明

x 是油面在坐标轴上的横坐标；

z是油面在z 轴上的坐标； △s 位图形中截面的面积；

h为油浮子与罐体底面的距离；

H为储油罐左端油面距地平面的高度； V表示的是储油量； α表示的是纵向倾斜角； β表示的是横向倾斜角。

五 模型的建立与求解

5.1 小椭圆形储油罐的罐容标定

5.1.1 罐体无变位

在图-1中建立如图所示的坐标系

对如图的截平面进行积分 便可表示出储油量了。

图1 无变位 由图-2和几何知识我们能求出小椭圆界面的方程，如下：

x

22

0. 89

+

z

22

0. 6

2

=1

0. 89z 0. 6

22

2

求出：x = 而

0. 89-

△s=2x hdz=20. 89-

2

0. 89z 0. 6

h -0. 6

2

22

*2.45dz=4.90. 89-

0. 89

2

2

0. 89z 0. 6

2

22

dz

运用积分求出罐容量V=⎰ =2.18025 ×（h-0.6）×

4. 9*

h

2

-

0. 89z 0. 6

2

22

-0. 6

dz

h 0. 6

h 0. 3

-

0. 36

+1.3083 ×【arcsin （

-1）+

π/2】

关系式求出，然后将题中给出的数据以油位高度（h ）为横坐标，体积（v ）为纵坐标的坐标系中作图，并将计算得到的数据画在同一图中，得到的图形如图-3。

储油量与油位高度关系图

[**************]0

储油量 / L

[***********]00

0.2

0.4

0.60.8油位高度 / m

1

1.2

1.4

图-3

从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。

5.1.2 α=4.1度纵向变位

建立如图-4所示的坐标系

图-4

由几何知识可得 H-h=0.4*tanα

储油量要分三种情况讨论，通过二重积分即可算得储油量。 第一种情况：当0≤H ≤2.45*tanα 时

可知截面为三角形，将此三角形的面积表示出来，然后对其进行二重积分，即可表示出储油量与油位高h 的关系。

如图-5所示，

图-5

三角形的高为 h1=H*sinα △s=1/2*2*x *H sinα V1=⎰

h -0. 6-0. 6

0. 89

2

-

0. 89z 0. 6

2

22

（0.4tan α+h）sin αdz

V 1=-8.622⨯10

6

-3

H -1.242⨯10H +20.69H +1.17⨯10H -7.021⨯10

-3

442389

+7.45⨯10⨯arcsin (1.667⨯10 -4.47⨯10⨯arcsin (

1.667⨯10

9

H -1)H

H -1)+7.45⨯10⨯6

-3

第二种情况 当2.45*tanα≤H ≤1.2时 其截面为梯形，如图-6所示:

设其面积s ，下底：x1=0. 89-

2

图-6

2

0. 89z 0. 6

2

2

下底：由下面的方程组给出

x2=

z=H-2.45*sina-0.6

△ s=(x1+x2)*2.45

H-h=0.4*tanα

0. 89

2

-

0. 89z 0. 6

2

22

V2=⎰2. 45sina -0. 6

H -0. 6

（x 1+x 2) *2. 45dz

6

4

2

V 2=2.558⨯10-6.462⨯10H +1.250⨯10H -7.450⨯10⨯arcsin (1.667⨯10

6

-3

9

-6.057H

3

H -1.2927)H +H -1.2927)-7.450⨯10

-25

+5.778⨯10⨯arcsin (

1.667⨯10

9

-3

⨯-3

+7.45⨯10

6

-3

⨯arcsin (1.667⨯10

6

H -1)H -4.47⨯10⨯arcsin (

1.667⨯10

9

H -1)

+7.45⨯10⨯由式H-h=0.4*tanα

可将V2表示成关于h 的关系式。 第三种情况：1.2≤H ≤1.2+0.4sina 如图-7所示：

h0=1.2-0.4*tana

h -h0s1

=tana

图7

S1=（h-h0）cota S2=2.45-s1 h1=s2/cosa △ s=2x *h1*0.5

=x *h1

V=⎰

h -h 0

xh 1 dz

h 0

V3=1.3083*109π-V1（H ）

将上述三种情况的计算结果画在坐标系中，并将实际的实验数据也画在同一坐标系中。所得的图形如图—8所示

纵向变位后储油量与测量油位高度关系图

[**************]0

罐内储油量 / L

[***********]00

200

400600800测量油位高度 / mm

1000

1200

图-8

通过计算，知计算数据与实验数据基本符合，误差也基本在3%之内。 将无变位的数据与变位的数据画在同一个图形当中。得到的结果如图-9所示：

纵向变位前后储油量与测量油位高度关系对比图

45004000

35003000

罐内储油量

[***********]00

0200

400600800测量油位高度 / mm

10001200

图-9

结合公式以及图9可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响：

变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0，刚好接触油浮子时，将数据代入公式可计算得此时储油量约为1.75L ；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L 左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm 时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L 。根据假设，为使油位高度与储油量是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。

从0到1200mm 每间隔10mm 取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值：

5.2实际储油罐变位分析

我们将储油罐分成三段来考虑，两端为球缺，中间为圆柱体。中间部分采用类似第一题的积分方法求解。对于两端的球冠体，若直接积分，结果将十分复杂，为方便计算，同时使误差尽量小，本文把球冠内油液面看做与Y 轴平行。

对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说，我们以中间圆柱体一侧底面圆心为原点，平行于罐体的轴为Y 轴，平行于油面的轴为X 轴建立空间直角坐标系。

根据图10可以得到以下关系式：

H 1=2tan α+h

n H 2=h -6t a α

用垂直于Y 轴的平面去截油罐得到图11所示的储油罐的横向变位截面示意图，图中两个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中，并使油位探针方向相同，以方便计算，此时前后液面形成夹角β：

横向变位

后油液面

图11 储油罐横向变位示意图

h 0为测量值，h 实际油位高度，根据图像可得如下关系式：

h =(h 0-1.5)cos β+1.5

综合上面几个式子，可得H 1、H 2与h 0的关系式：

H 1=(h 0-1.5)cos β+2tan α+1.5 H 2=(h 0-1.5)cos β-6tan α+1.5

5.2.1球冠体内储油量的计算

根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为1.625m ，球过球心的截面图如下，以圆心为原点，平行于空间坐标系Y 轴的轴为X 轴，建立新的平面直角坐标

图12 球冠还原为球后截面图

该圆的方程为：

x +y =1.625

2

2

2

x 表示圆上一点到Y 轴距离，所以：

以平行于空间坐标系Y 轴的平面去截球冠，得到如下所示截面图：

图13 球冠体截面图

可以得知：

0.6250.625

θ=arc cos() =arc

x 所以球冠内油料截面面积为：

S =θx -2

x ==arc -y ) -22

当球冠内油位高度为H 时，球冠内储油量为：

V g =

⎰

H -1.5-1.5

S d y

在计算两端球冠内储油量时，分别用H 1、H 2代替H 即可求出结果。 5.2.2中间圆柱体内储油量的计算

计算方法与第一问中类似，用垂直于Y 轴的平面去截得到如下截面示意图：

图14 圆柱部截面示意图

截面圆的方程为：

x +z =1.5

于是得到：

x =

222

又有：

h =-y tan α+H 1

即：

y =

H 1-h tan α

于是该截面面积：

S =

⎰

h -1.5-1.5

由于有转折点，又要分三种情况讨论，分别求解。 当2tan α

V 01=

⎰

H 10

Sdy

当8tan α

V 02=

⎰

H 1H 2

Sdy

当3-8tan α

V 03=V 0-V 01

其中V 0为圆柱体的总体积

用Matlab 积分得到的结果过于冗长，不便于写在正文中，具体结果见附录。

5.2.3参数α，β的确定

由于第二种情况的可能性最大，数据最多，所以在求解参数α与β时，利用附表2中显示油高值在中间部分的值进行计算。由于显示的油量容积是利用没有变位情况下的公式计算得到的，不是真实值，故不能加以利用。附表2给出了出油量与显示油高的对应数据，我们用差值计算，即利用累计出油量与油高的变化值的对应关系求解α、β。

取流水号分别为323、337、351的三组数据， 令：

h 1=1696.61 ; h 2=1609.06 ; h 3=1516.81

于是得到如下方程组：

⎧

⎣H 1(h 1)⎤⎦+V g ⎪V g ⎡⎪⎨

⎪V ⎡H (h )⎤+V g ⎣12⎦g ⎪⎩

337

⎡⎣H 2(h 1)⎤⎦+V 02(h 1)-V g ⎡⎣H 1(h 2)⎤⎦+V g ⎡⎣H 2(h 2)⎤⎦+V 02(h 2)=⎡⎣H 2(h 2)⎤⎦+V 02(h 2)-V g ⎡⎣H 1(h 3)⎤⎦+V g ⎡⎣H 2(h 3)⎤⎦+V 02(h 3)=

∑

i =324351

m i m i

∑

i =338

用Matlab 7.0求解该方程组，得到一组解α=1.6º，β=0º

于是便得到了变位后储油量与油位高度的关系式，间隔10cm 取值代入得到如下罐容表标定值：

将得到的关系曲线

7

6

4

变位后罐容量与油位高度关系图

5

4

罐容量(L )

32

1

-1

00.511.522.53

油位高度(m)

六 模型的评价与推广

6.1模型的评价

本题主要运用微积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型，进而求出罐内油料体积与测量油位高度之间的关系式，并利用附表中的数据对模型进行检验以及求解参数，结果表明得到的公式精确度足够高，可以应用于实际。模型原理简单明了，在计算复杂积分时借助Matlab 软件，提高了计算效率。

题目中给出了储油罐向一个方向纵向倾斜后的示意图，如果储油罐向相反的方向倾斜，计算方法类似，可将本模型应用到其求解过程中。但由于油位探针在储油罐的一侧，两种情况的结果将有部分差异，这一点在实际应用中应加以考虑。

模型建立时忽略了题目未给出数据的罐壁厚度等因素，在实际中时建议测出这些值，从而进一步提高模型精度。

6.2模型的推广

本模型虽解决的是储油罐的变位识别及其罐容表标定问题，但可以推广到各种罐状容器，用类似方法建模求解，

解决该问题时，我们计算的是平顶和球缺顶的圆柱形储油罐，通过查阅国家技术监督局1996年发布的《中华人民共和国国家计量检定规程 JJG 266-1996》，卧式罐的两端顶板按形状可以分为平顶、弧形顶、圆台顶、锥形顶、球缺顶、椭球顶等类顶。本文所建立的模型可推广到其他各种情形。建议根据结果将各种卧式罐内液体体积列成表格，以后只要测出罐的必要参数及液面高度，即可根据相应表格快速计算出对应的液体体积。

七 参考文献

1. 韩忠庚 数学建模方法及其应用 高等教育出版社 2005.6 2. 数学分析 高等教育出版社 2001

3.田铁军，倾斜立式罐部分容积的计算，现代计量测试，第4期：39-44页，1999。

4. 黄明山，关于卧式容器中标定液位的简便计算方法，中国调味品，第10期：35-36页，2004。