尼克尔森微观经济学

第三部分 生产和供给

第7章 生产函数

※ RTS 的性质

※ 规模报酬不变的生产函数的性质

※ 位似生产函数 V .S 规模报酬

※ 替代弹性的性质

※ 技术进步

◆ RTS 递减的条件

dRTS f k 2f ll -2f k f l f kl +f l 2f kk 22→ =

→ ⇔f (k , l ) 是拟凹函数 f kl >0是RTS 递减的充分条件，但不是必要条件

◆ 规模报酬不变生产函数的性质

（1）MP tl ) =MP (l , ) l (tk , l k k 和MP L 是齐次零次性 ⇒MP

k /l 有关 → 令t =1/l ⇒MP （2）MP l (k /l ,1) =MP l (k , l ) k 和MP L 仅与

（3）RTS 仅与k /l 有关 ⇔ 位似生产函数

◆ 位似生产函数 V .S 规模报酬

（1）位似生产函数

→ 任何齐次函数的单调变换

→ F (k , l ) =[f (k , l )] r 其中f (k , l ) 为规模报酬不变的生产函数

（2）位似生产函数可以是任何一种规模报酬的情况

→ r >1（规模报酬递增）/ r =1（规模报酬不变）/ r

◆ 替代弹性（Elasticity of substitution）的性质

（1）假设前提: 沿着等产量线；要素价格不变，其他可能的要素投入保持不变

（2）表达式: σ=d (lnk /l ) d (lnk /l ) = dRTS d (f l /f k )

→ 针对规模报酬不变的生产函数: σ=f k ⨯f l f ⨯f kl

（3）不同生产函数的替代弹性

→ 完全替代（线性）：σ=∞ / 固定比率 ：σ=0 / Cobb-Douglas: σ=1

→ CES生产函数（q =[k p +l p ]r /p p ≤1 → σ=p ≠0 r >0） 1=σ 1-p → 性质: r >1（规模报酬递增）/ r

※ 技术进步

（1）生产函数: q =A (t ) f (k , l )

其中G i =（2）G q =G A +e q , k G k +e q , l G l di /dt （变化率） i

（3）特例: q =Ae θt k αl 1-α

→ G q =θ+αG l +(1-α) G k

→ q =A (e φt k ) α(e εt l ) 1-α（分别考虑技术对劳动和资本的影响）

→ θ=αφ+(1-α) ε

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第8章 成本函数

※ 成本最小化条件

※ 生产扩张曲线（Expansion Path）

※ 成本函数的性质

※ 要素投入替代偏弹性（Partial elasticity of substitution）

※ 技术进步对成本的影响

◆ 成本最小化条件

（1）最小化的条件: RTS =f l w = f k v

→ f l f k = 即: 最后一美元的边际产量对于任何一种投入要素都一致 w v

（2）拉格朗日乘子的涵义

→λ=w v = f l f k

→ 实质: 边际成本，即增加一单位产量（约束）对成本的影响

◆ 生产扩张曲线（Expansion Path）

（1）在等成本线的图上，不同产量水平下使得RTS =w 的所有投入要素组合的点的连线 v

（2）位似生产函数 ⇒ 生产扩张曲线为直线

→ 类似于位似偏好下，收入扩张曲线为直线

→ Cobb-Douglas / CES / 完全替代 / 固定比率的生产扩张曲线都为直线

（3）不存在劣等投入要素（

◆ 成本函数的性质

（1）成本函数是要素价格的一次齐次性 ⇒C (tw , tr , q ) =tC (w , r , q )

（2）成本函数是产量，要素价格的非减函数

→ 直观证明: 假设要素价格从w 0上升到w 1 ，其成本函数是w 的递减函数 则: w 0l *+r 0k *>wl 1' +r 0k ' ∂q w o l ' +r 0k ' ⇒w 0l *+r 0k *>w o l ' +r 0k ' （不满足成本最小化） → 包络定理证明: ∂C *∂L ==λ(=MC ) ≥0 ∂q ∂q

∂C *∂L ==l ≥0 ∂w ∂w ∂C *∂L ==k ≥0 ∂v ∂v

（3）成本函数是要素价格的凹函数

∂2C *∂∂L ∂k =() =

（4）AC 是要素价格的一次齐次；且为要素价格的增函数

→ Proof: AC =C ，而C 是要素价格的增函数 q

（5）MC 也是要素价格的一次齐次；对于正常要素，MC 是要素价格的增函数，对于劣等

投入，MC 则为要素价格的减函数 ∂MC ∂(∂L /∂q ) ∂2L ∂2L ∂k → Proof: ==== ∂v ∂v ∂v ∂q ∂q ∂v ∂q

对于正常投入: ∂k >0 ∂q 对于劣等投入: ∂k

◆ 要素投入替代偏弹性（Partial elasticity of substitution）

（1）表达式: s kl =

∂(lnk /l ) ∂(k /l ) w /v =≥0 ∂(lnw /v ) ∂(w /v ) k /l → 对于固定比率的生产函数: s kl =0

（2）对比替代弹性（σ）

→ σ基于生产函数的性质 / s kl 基于成本最小化的前提

σ不允许其他要素的投入量发生改变；s kl 则允许其使→ 对于存在其他投入要素时，

用量发生变化

→ 由于成本最小化要求

◆ 技术进步对成本的影响

（1）假设 f w =RTS =l ，因此σ和s kl 在数值上是一致的 v f k

→ 生产函数为: q =A (t ) f (k , l ) k =k (t ) l =l (t )

→ 生产函数是规模报酬不变的

→ 技术中性，即: 不影响要素的价格，从而不影响要素的要素投入选择

（2）结论:

C t (v , w , q ) =C 0(v , w , q ) /A (t ) → Proof: C t (v , w , q ) =qC t (v , w ,1) =qC 0(v , w ,1) /A (t ) =C 0(v , w , q ) /A (t )

（3）技术进步不改变总成本的要素价格的弹性

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第9章 利润最大化

※ 逆弹性法则

※ 利润函数性质

※ 条件要素需求 V .S 要素需求

※ 生产者剩余

※ 利润最大化

※ 要素价格对要素需求的影响

◆ 逆弹性法则

（1）P -MC 1=- P e q , p （推导: MC =P (1+1) ） e q , p

（2）这个式子仅针对e q , p

（3）面对供给者的需求越有弹性，P 与MC 的差距越小（e q , p →∞，P =MC ）

◆ 利润函数性质

（1）利润函数是价格的一次齐次性 ⇒π(tp , tw , tv ) =t π(p , w , v )

→ 产量和要素需求是价格的零次齐次性 ⇒q (tp , tw , tv ) =q (p , w , v ) k (tp , tw , tv ) =k (p , w , v ) l (tp , tw , tv ) =l (p , w , v )

（2）利润函数是产出价格P 的非递减函数

→ 直观证明: 假设利润函数是产出价格P 的递减函数，产出价格从p 0上升到p 1 则: p 0q *-wl *-rk *>p 1q ' -wl ' -rk ' 另外: p 1q *-wl *-rk *>p 0q *-wl *-rk *⇒p 1q *-wl *-rk *>p 1q ' -wl ' -rk ' → 与利润最大化矛盾 → 包络定理证明: ∂∏(p , v , w ) =q ≥0 ∂p

（3）利润函数是要素价格的非递增函数

→ 直观证明: 假设利润函数是w 的递增函数，要素价格从w 0上升到w 1 则: pq *-w 0l *-rk *

（4）利润函数是产出价格的凸函数

→ （定义）: 只需证明 k ∏(p 1, v , w ) +(1-k ) ∏(p 2, v , w ) ≥∏(kp 1+(1-k ) p 2, v , w ) ∏(p 3, v , w ) =∏(kp 1+(1-k ) p 2, v , w ) =p 3q 3-vk 3-wl 3 ⇒∏(p 3, v , w ) =k (p 1q 3-vk 3-wl 3) +(1-k )(p 2q 3-vk 3-wl 3) ⇒∏(p 3, v , w ) ≤k (p 1q 1-vk 1-wl 1) +(1-k )(p 2q 2-vk 2-wl 2) ⇒∏(p 3, v , w ) ≤k ∏(p 1, v , w ) +(1-k ) ∏(p 2, v , w )

∂2∏∂∂∏∂(-k ) =() =≥0 ∂v 2∂v ∂v ∂v → 包络定理证明:

◆ 条件要素需求 V .S 要素需求

（1）条件要素需求函数

→ ∂C *∂L ==k c ∂v ∂v ∂C *∂L c ==l ∂w ∂w

（2）要素需求函数

→ ∂∏(p , v , w ) =-k ∂v ∂∏(p , v , w ) =-l ∂w

◆ 生产者剩余

（1）生产者剩余的定义: 生产者进行生产比没有生产所能得到的额外收益

（2）短期生产者剩余PS =∏(p 1) -∏(p 0) =p 1q 1-vk -wl 1-(-vk ) =p 1q 1-wl 1

（3）短期生产者剩余PS =∏(p 1) -∏(p 0) =∏(p 1) -(-vk ) =∏(p 1) +vk

（4）∆PS =welfare -gain =

◆ 利润最大化

（1）问题描述: ∏=pf (k , l ) -(vk +wl )

（2）利润最大化的条件:

→ 一阶条件: MRP l =MR ⨯MP l =p ⨯MP l =w ⎰p 2p 1q (p ) dp =⎰p 2p 1∂∏dp =∏(p 2) -∏(p 1) ∂p MRP k =MR ⨯MP k =p ⨯MP k =v → 二阶条件: πkk =f kk 0（生产函数是拟凹函数）

◆ 要素价格对要素需求的影响

（1）仅考虑劳动是唯一可变的要素（短期）

p ⨯MP l =w ⇒1=p ⨯f ll ⨯∂l ∂l 1⇒=

（2）同时考虑存在两种可变要素（长期）

→

→ 替代效应（RTS 递减） → （w ↓⇒l ↑） → 产出效应（w ↓⇒MC ↓⇒l ↑） → 单个企业（P 不变）V .S 整个行业（P 降低 → 产出效应较小）

→ Slutsky 方程 ∂l ∂l c ∂l c ∂q → l (p , v , w ) =l (v , w , q ) =l (v , w , q (v , w , p )) ⇒ =+∂w ∂w ∂q ∂w c c

∂l c

⇒substitution -effect = （替代效应是负的，w ↓⇒l ↑） ∂w

∂l c ∂q ∂l c ∂q (P =MC ) ∂MC ⇒output -effect ==∂q ∂w ∂q ∂MC ∂w

（w ↓⇒l ↑） ∂q (P =MC ) ∂MC ∂(∂L /∂q ) ∂2L ∂l c

→ 无论劣等投入或是正常投入，产出效应都是负的（所谓的“吉芬品”不存在） → 要素需求是自身要素价格的负向函数

→ 然而，不同要素价格对需求的影响是不确定的!!!

（3）替代效应和产出效应的计算

→ substitution -effect =l c (v ', w , q *)-l (v , w , p ) → output -effect =l (v ', w , p ) -l c (v ', w , q *) 其中q *=q *(v , w , p )

→ 注意: 替代效应是沿着等产量曲线计算的!!!

====================================================================== 第四部分 竞争市场

第10章 局部均衡竞争模型

※ 市场均衡的数学模型

※ 长期均衡（针对: 成本不变的行业）

※ 长期供给曲线的形状

※ 市场中的企业数量分析

※ 长期中的生产者剩余

◆ 市场均衡的数学模型

（1）Q D =D (p , α) Q S =S (p , β)

其中α包括各种可能移动需求曲线的因素: 其他商品价格、收入、偏好 β包括各种移动供给曲线的因素: 要素价格、技术

→ e D , αD α∂p = e p , α= ∂αS p -D p e s , p -e D , p

→ S βe S , β∂p e p , β= =∂βD p -S p e D , p -e S , p

→ 推导: Q D =Q S ⇔dQ D =dQ S ⇔D p dp +D αd α=S p dp +S βd β

◆ 长期均衡（针对: 成本不变的行业）

（1）企业利润最大化要求: p =MC

长期利润为零: p =AC （这个条件只有当存在自由准入和退出时成立）

（2）求解步骤

Step1: 由AC =MC ⇒q *和p *=AC min Step2: Q D (p *) ⇒Q * Step3: n =Q * q *

◆ 长期供给曲线形状

（1）成本不变行业（企业进入不影响要素价格） ⇒e s , p =∞

（2）成本增加行业（随着企业的进入AC ↑和MC ↑）

→ LS 向右上方倾斜，但比短期的供给曲线弹性更大 ⇒e s , p >0

（3）成本减少行业（随着企业进入AC ↓和MC ↓）

→ LS 向右下方倾斜 ⇒e s , p

（4）对比: 短期供给弹性 V .S 长期供给弹性

→ 短期: 供给曲线的弹性总是正的， e ss , p >0

→ 长期: 供给曲线的弹性可以是正的，也可以是负的

◆ 市场中的企业数量分析

（1）q *的变化取决于AC 和MC 的相对变化程度（假设要素价格变化引起了成本变化） → ∂q *∂MC -1∂AC ∂MC =[][-] ∂v ∂q ∂v ∂v

→ 若AC 上移幅度大于MC 上移幅度，则q *增加

→ Proof: AC (v , w , q *)=MC (v , w , q *)

⇒∂AC ∂AC ∂q *∂MC ∂MC ∂q * +=+∂v ∂q *∂v ∂v ∂q *∂v (∂AC =0) ∂q *

（2）企业数量变化: ∆n =n 1-n 0=

Q 1Q 0-* *q 1q 0→ 假设: 要素价格增加引起成本增加（所以: 均衡产量总是下降的） **→ 若: q 1（Q 1q 0** 若: q 1（Q 1

→ 实证中，企业的数量会随着要素价格的增加（成本增加）而减少

◆ 长期中的生产者剩余

（1）长期中的生产者剩余属于要素拥有者

→ 对比: 短期（生产者剩余属于生产者）

（2）不同情况下的生产者剩余的大小

→ 不变成本的行业: PS =0（要素的供给曲线水平）

→ 成本增加的行业: PS >0（要素的供给曲线斜向上倾斜）

→ 不同的要素供给成本，使得较低成本的要素拥有者获得了生产者剩余

（3）长期生产者剩余的计算

→ 对比: 短期生产者剩余（二者都是供给曲线之上，价格曲线之下的面积） → → 要素价格最终由边际企业的成本决定!!

（4）经济租产生的原因

→ 稀缺性（表现为: 要素的供给不是完全弹性的，即: 随着要素供给的增加，要素

价格上升，斜向上倾斜的要素供给曲线）

→ 解释: 不变成本的行业不存在长期生产者剩余

→ 要素的供给是完全弹性的（仅存在唯一的供给价格）

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第11章 应用竞争分析（局部均衡下的社会福利分析）

※ 税负转移的数学推导

※ 关税的福利分析

◆ 税负转移的数学推导（假设: 从量税） S p e S dP D （1）==≥0 dt S p -D p e S -e D

D p dP S e ==D ≤0（e D ≤0，e S ≥0）dt S p -D p e S -e D → 推导: dP D -dP S =dt 以及dQ D =dQ S ⇒D p dP D =S p dP S （2）-dP S /dt e =-D dP D /dt e S

→ 弹性越小的一方，税负转移越大；反之，弹性越大的一方，税负转移越小

（3）DW =-1dt 2() [e D e S /(e S -e D )]p 0q 0 2p 0

dQ /Q 0⇒dQ =e D dP D ⨯Q 0/P 0=e D e S /(e S -e D ) dt ⨯Q 0/P 0 dP D /P 0

e S e S dP D =⇒dP D =dt ） dt e S -e D e S -e D → 推导: e D = （需要用到:

11dt ⇒DW =-(dt )(dQ ) =-() 2[e D e S /(e S -e D )]p 0q 0 22p 0

→ 若e S =0或e D =0，则DW =0（税收不会影响市场最终的交易量） → 当e D 和e S 较小时，DW 也较小

◆ 关税的福利分析

（1）定性分析

（2）定量分析（从价税: P R =(1+t ) P W ） → 结合上图

2→ DW 1=0.5(P R -P W )(Q 1-Q 3) =-0.5t e D P W Q 1≥0 2DW 2=0.5(P R -P W )(Q 4-Q 2) =0.5t e S P W Q 2≥0 → 推导: Q 3-Q 1P R -P W =e D =te D Q 1P W

Q 4-Q 2P R -P W =e S =te S Q 2P W

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第12章 一般均衡的福利分析

※ 供给的一般均衡

※ 一般市场均衡的条件及求解

※ 贸易对要素价格的影响

※ 帕累托有效的生产配置

※ 商品组合的帕累托有效配置（考虑生产和消费的关系）

※ 完全竞争市场的配置和帕累托有效配置

◆ 供给的一般均衡

（1）Edgeworth Box （两种产出 + 两种要素）

→ 坐标轴: 要素（L 和R ）的总量；O x 和O y : 商品x 和y

→ 要素分配的有效性条件: RTS x =RTS y （两种商品的等产量线相切）

（2）生产可能性曲线（PPF ）（一个生产者 + 两种要素 + 两种产出） → 商品组合满足两个条件 → 所需的要素总量恒定

→ 要素在不同商品中的分配是有效的（RTS x =RTS y ）

→ PPF上的商品组合也就是Edgeworth Box上契约线的左右组合 → PPF的内涵: 要素如何组合生产以及如何在不同产出之间进行分配 → 对比: 其他几种不同内涵的PPF → 一个生产者 + 一种要素 + 两种产出: 反映要素总量的恒定

→ 两个生产者 + （一种要素）+两种产出: 反映不同生产者的比较优势（即: 产

出如何在不同人之间进行分配）

（3）RPT （rate of product transformation）产品转换率

→ 定义式: RPT =-→ RPT =

dy

(沿着PPF) dx

MC x

MC y

→ 推导: 沿着PPF ，由于投入要素总量一定，因此满足C (x , y ) =0

⇒dC =

dC dC dx +dy =0⇒MC x dx +MC y dy =0 dx dy

（4）解释: RPT为什么随着x 的增加而增大（即: PPF是凹的）

→ 原因1: 两种商品的生产都是规模报酬递减（MC x ↑和MC y ↑）

0.5

→ 举例: x =f (l x ) =l x ; y =f (l y ) =l y ; l x +l y =100

0.5

⇒x 2+y 2=100

→ 原因2: 某些要素对生产x 或生产y 更有利，随着产量增加被迫采用较不合适的要

素，从而使得MC x ↑

→ 不满足要素同质性

→ 原因3: 两种商品的要素密集型不同（所需的k /l 的比例不同⇒契约曲线非直线）

→ 若不存在以上三种情况，即: 生产是规模报酬不变的 / 要素密集型相同 / 要素满足

同质性，则PPF 就是一条直线!!

◆ 一般市场均衡的条件及求解 （1）一般市场均衡的条件:

→ 生产: RTS x =RTS y （反映在PPF ）以及RPT A =RPT B → 消费: MRS A =MRS B

0.250.750.50.5

→ 举例: x =k x l y ；L =100；K =100 l x ；y =k y

→RPT =MRS =

→ u (x , y )

P x

P y

（利润最大化 + 效用最大化 + 市场出清）

πx =(p x -AC x ）x *

（2）求解: 市场的均衡价格 →Step1: 根据PPF 确定RPT

→Step2: 根据u (x , y ) 确定MRS →Step3: MRS =RPT ⇒x */y * →Step4: x */y *代入PPF ⇒x *和y * →Step5: RTS =MRS =

P x P

⇒（x ）* P y P y

（3）求解: 预算约束（仅考虑单一的要素: 劳动；假设工资价格为w ）

*

→Step1: p x =MC x ⇒p x

→Step2:

πx =(p x -AC x ）x *（同理求出πy =(p y -AC y ）y *）

*

*

→ Step3: income =labor _income +profits =w (l x +l y ）+（πx +πy )

◆ 贸易对要素价格的影响

（1）图形解释（PPF + Edgeworth Box）

（2）分析: 贸易使得进口品（grain ）的价格下降，出口品（制造品）的价格上升 → 假设: 进口品（grain ）是资本密集型的，出口品（制造品）是劳动密集的

→ 结论: 贸易使得资本的相对价格下降(P k /P l ) ，资本的使用量(K /L ) 相对上升

→ 对资本拥有者不利，对劳动供给者有利

（3）Stolper-Samuelson 定理（斯托尔伯-萨缪尔森定理）

→ 论点: 某一商品相对价格上升，将导致该商品密集使用的生产要素的实际价格或报

酬提高；另一种要素的报酬相对下降

→ 在国际贸易中的应用: 出口行业（价格上升行业）中密集使用的生产要素的报酬提

高；进口行业密集使用的生产要素的报酬降低

→ 推导: 国际贸易使得进口行业的要素向出口行业流动；一方面造成出口对劳动需求

的相对富余，另一方进口释放的劳动供给相对短缺；从而资本相对过剩，劳动相对不足。

故：资本的相对价格下降；生产者转向使用资本，使得资本的使用量相对上升。 另外，这将推导劳动的边际产量增加，资本的边际产量减少，从而劳动的工资提高，资本的收益相对降低

◆ 帕累托有效的生产配置

（1）生产有效的三层含义（Production Efficiency） → 单一企业内部的资源配置的有效，即: 要素在不同产出之间的分配 → 要素在企业之间分配的有效性 → 企业之间的产出协调的有效性，即: 不同的产出在企业之间的分配 （2）单个企业内部的资源配置 → 两种要素 + 两种产出 + 单一企业 → 图形分析: Edgeworth Box

→ 结论: RTS x =RTS y

→ 数学证明:

max x =f (k x , l x )

s .. t y =g (k y , l y ) =g (k -k y , l -l y ) =y

→ 最大化的条件为: f k /f l =g k /g l ⇔RTS x =RTS y

→ 结论: 要素的边际技术替代率对于两种产出都相同 （3）要素在企业之间的分配 → 两种要素 + 单一产出 + 两个企业

→ 数学证明: max x =f 1(k 1, l 1) +f 2(k 2, l 2) s .. t k 1+k 2=k

→ 最大化的条件为: MPK 1=MPK 2

l 1+l 2=l

MPL 1=MPL 2

→ 结论: 每一种要素的边际产出对于不同生产者而言是相同的 （4）企业之间的产出协调（产出在企业之间的分配）→ 比较优势 → 两种产出 + 两个企业

→ 数学证明: max x 1+x 2 s .. t y =f 1(x 1) +f 2(x 2) =y （其中f (x ) 为PPF 的函数）

→ 最大化条件为:

∂f 1∂f 2

=⇔RPT 1=RPT 2 x 1x 2

→ 结论: 两个企业的产品转换率相同

◆ 商品组合的帕累托有效配置（考虑生产和消费的关系） （1）图形说明:

RPT =MRS 即: PPF和无差异曲线相切 （2）数学证明: max u (x , y )

s .. t T (x , y ) =0 （其中T (x , y ) 为PPF 的函数）

◆ 完全竞争市场的配置和帕累托有效配置 （1）完全竞争市场的配置所实现的关系

→ 成本最小化:

RTS x =RTS y =

w v

→ 利润最大化: MPL 1=MPL 2=

w p

MPK 1=MPK 2=

v p

→ 利润最大化（p i =MC i ）: RPT 1=

MC x p x

==RPT 2 MC y p y

→ 消费者效用最大化: MRS =

p x

(=RPT ) p y

（2）完全竞争市场 V .S 帕累托有效配置

→ 完全竞争市场的配置所实现的关系满足帕累托有效配置的所有条件，故: 完全竞争

市场的配置是帕累托有效的（福利经济学第一定理）

（3）完全竞争市场不成立的几种原因 → 不完美竞争（垄断/寡头等） / 外部性 / 公共品 / 信息不完全

====================================================================== 第五部分 不完美竞争模型 第13章 垄断竞争

※ 质量选择模型（对比: 垄断 V.S 完全竞争） ※ 价格歧视

※ 垄断企业的定价

◆ 质量选择模型（对比: 垄断 V.S 完全竞争） （1）垄断的质量选择的模型:

max π=P (Q , X ) Q -C (Q , X )

（

∂P ∂P

>0） 其中: X表示质量

→ 最大化的条件为:

∂πdP

=P +Q -C Q =0 （与先前的垄断组织结论一致） ∂Q dQ

∂πdP

=Q -C X =0（决定质量X 的选择） ∂X dX

Q *

（2）完全竞争下的质量选择模型

max SW =⎰P (Q , X ) dQ -C (Q , X ) （目标: 社会福利最大化）

其中: MC (Q *)=P

Q *∂SW

=⎰P X (Q , X ) dQ -C X =0 → 最大化的条件为:

0∂X

Q *∂SW

=AV ∙Q -C X =0 令AV =(⎰P X (Q , X ) dQ ) /Q 则:

0∂X

（3）垄断 V .S 完全竞争

→ 垄断:

∂πdP dP =Q -C X =0⇒C X =Q ∂X dX dX

∂SW

=AV ∙Q -C X =0⇒C X =AV ∙Q 完全竞争:

∂X

→ 即使垄断和完全竞争下选择的产量一致，二者选择的质量也是不同的

◆ 价格歧视

（1）一级价格歧视 → 垄断者的利润计算: （生产者剩余的计算）

Step1: P =MC (Q ) ⇒Q * （垄断者会选择与完全竞争一致的产量） Step2:

R =⎰P (Q ) dQ （需求曲线之下的面积）

Q *

Step3: π=R -C (Q *)

→ 注: 若是计算PS ，则: PS =π+FC =R -AC (Q *)=

（其中Q ' 为企业进入市场的最低产量要求）

⎰

Q *

Q '

(P -MC ) dQ

（2）二级价格歧视（Two-part tariffs）

→ 索价方式: T (q ) =a +pq

→ 条件: 若两个市场的一次性支付（a ）相同，则q 较大的市场的消费者不可以转卖给

q 较小的市场的消费者（前者的平均价格较低） → 计算I: 存在两个市场（不同需求函数）的T (q ) 的确定

→ 假设: a和p 在两个市场一致，MC = Step1: a =CS (q i ) min ⇒a =a (p )

Step2: 把a =a (p ) 带入π=2a +(p -MC )(q 1+q 2) ，

∂π

=0⇒p * ∂p

Step3: 把p *带入a =a (p ) ⇒a *；把p *带入需求函数⇒q i *

→ 计算II: 假设p 在两个市场一致，但a 允许不一致

→ 定价策略为: p =MC , a i =CS i

→ 垄断者同一级价格歧视下一样，获得了最大的生产者剩余，而消费者剩余为0 → 其他的定价方式（实现“自我选择”） →

（3）三级价格歧视（两个市场分别定价） → 对比: 单一的定价方式 → 三级价格歧视下，垄断企业可以获得更高的利润

→ 社会福利损失的比较是不确定的，一般认为只有当三级价格歧视下销售的总量

增加时，其社会福利的损失才低于单一的定价方式，即: 社会福利水平较高

→ 线性需求下，三级价格歧视相对于完全竞争市场的无效损失比采取单一价格策略的无效损失大；但二者的总产量是一样的!!

D

→ Proof: 假设两个市场的需求曲线为: Q 1D =a -bp 和Q 2=c -dp ，且MC =t

→ 考虑两个市场分别定价（三级价格歧视） →作为垄断者，则由MR =MC =t 可得:

1a

(+t ) 2b 1c

p 2=(+t )

2d 11

⇒Q =Q 1+Q 2=(a +c ) -(b +d ) t

22Q 1=

p 1=

1

(a -bt ) 21

Q 2=(c -dt )

2

***

→ 完全竞争，则: p 1=c -dt =p 2=t Q 1*=a -bt Q 2

1*(a -bt ) 2*

→ 福利损失: DW 1=(Q 1-Q 1)(p 1-p 1) =

28b

1*(c -dt ) 2*

DW 2=(Q 2-Q 2)(p 2-p 2) =

28d

1(a -bt ) 2(c -dt ) 2

⇒DW =DW 1+DW 2=[+]

8b d

→ 考虑两个市场统一定价（单一价格垄断）

面对的需求曲线为: Q =Q 1+Q 2=(a +c ) -(b +d ) p

D

D

D

→ 作为垄断者，则由MR =MC =t 可得:

1

Q ' =[(a +c ) -(b +d ) t ]

2

p ' =

1a +c (+t ) 2b +d

→ 完全竞争: 则p *=MC =t Q *=(a +c ) -(b +d ) t

11[(a +c ) -(b +d ) t ]2

→ 福利损失: DW ' =(Q *-Q ')(p ' -p *)=

28(b +d )

11

(a +c ) -(b +d ) t 221

单一价格歧视: Q ' =[(a +c ) -(b +d ) t ]

2

→ 二者的总产量是相同的!!!

→ 比较: 三级价格歧视 V.S 单一价格垄断

→ 三级价格歧视: Q =

1(a -bt ) 2(c -dt ) 2

+] → 三级价格歧视: DW =[

8b d

1[(a +c ) -(b +d ) t ]2

单一价格歧视: DW ' =

8(b +d )

DW

◆ 垄断企业的定价 （1）针对不同群体定价 → 总产量达到完全竞争下的水平，但一部分消费者按边际成本支付，一部分按垄断高价支付 → 高价群体补贴低价群体

（2）Rate-of-return regulation → 数学模型:

max π=pf (k , l ) -wl -vk s . t . s =

p f (k , l ) -

k

w l

=s (>v )

→ 拉格朗日乘数法: L =pf (k , l ) -wl -vk +λ[wl +sk -pf (k , l )]

→ 0

制的扩张生产） → 利润最大化的条件:

∂L

=pf l -w +λ[pf l -w ]=0⇒pf l =w ∂l

→ 与没有限制的垄断企业一致

∂L

=pf k -v +λ[s -pf k ]=0（与没有限制的垄断企业不同!! ） ∂k

→ 在这种机制下，企业会倾向去投资过多的资本

Proof: 由一阶条件知: pf k =

v -λs λ(s -v )

=v -

对于不存在限制的垄断企业: pf k *=v

⇒pf k K *（投资过多）

====================================================================== 第14章 传统的不完美竞争模型 ※ 准竞争模型

※ Stackelberg Model （斯塔克尔贝格模型，产量领先模型） ※ 空间差异模型 ※ 垄断竞争

※ 完美的可竞争市场

◆ 准竞争模型

（1）假设：企业在做决策时，都认为自己是价格的接受者 （2）求解步骤:

Step1: 对于每个企业，p =MC (q i ) ⇒q i =q i (p ) Step2: Q =Q =

D

S

∑q ⇒p *

i

◆ Stackelberg Model （斯塔克尔贝格模型） （1）博弈的可能结果： 若每个企业都争做领导者 → 完全竞争 若没有人愿意做领导者 → 古诺均衡 （2）古诺均衡的稳定性分析 → 从Stackelberg Model角度而言，古诺均衡不是稳定的 → 每个人都有动机去争做领导者 →

◆ 空间差异模型

（1）选定位置的定价策略 → → 帕累托无效的: 消费者因为价格差异的缘故，而需要走更多的路途

（2）不关心价格，只关系市场份额的选址策略 → 竞争的结果: 两个企业都选在中点处（帕累托无效的） → 帕累托有效的选址: 两个企业分别位于1/4处

◆ 垄断竞争

（1）长期均衡的结果

→ 利润最大化: MR =MC →长期利润为零: P =AC （恰好在需求曲线和AC 的切点）

→ 原因: 由于利润为0，则生产选择必定在AC 和需求曲线的交点上；然而，若该

点不是切点，则必然存在其他的产量水平，其对应的需求曲线在AC 曲线之上，即: P >AC ; 这与利润最大化矛盾（故: 只可能是二者的切点）

（2）模型的缺陷 → 忽略了潜在进入者对长期均衡的破坏 → 潜在进入者的行动分析

→ 由于MC =MR

→ 潜在进入者可以设定价格P ' 满足: AC min ≤P '

◆ 完美的可竞争市场

（1）定义: 没有任何一个潜在进入者可以通过低价进入市场，从而获取利润 （2）长期均衡: P =AC =MC =AC min

→ 其中: P =AC 表明长期利润为零；而P =AC min =MC 是为了阻止潜在进入

者

（3）对比: 完全竞争市场

→ 二者最终在长期实现的均衡价格是一致的: P =MC =AC min

→ 区别: 完全竞争市场要求是企业是价格的接受者，行业中存在无数的企业 完美的可竞争市场中企业决策可以影响价格，且企业数量可以是少数的 （4）企业数量的决定

→ n =

Q *(p *)

q *

其中p *=AC min (q *)

→

（5）现实中不存在完美的可竞争市场的原因 → 行业不可以自由进入（自然垄断、法律、行政因素等） → 需求对价格的变化并不敏感（品牌忠诚度） → 潜在进入者进入行业时需考虑某些因素（退出有成本 / 已在行业的企业的威慑）

→ 潜在进入者的差异化商品的选择空间很小

（6）完美可竞争市场中的自然垄断企业 → 特点: 自然垄断企业随着产量的增加，AC 会逐渐减少（即: 不存在AC 的最小值）

→ 完美可竞争市场中的价格要求满足: p =AC （利润为0）

→ 由于AC 不存在最小值，因此不存在p =AC min ，也就不需要p =MC

→ 求解步骤: Q D =Q S (p ) =Q S (AC ) ⇒Q *

→ 注：若方程存在两个解，则Q *应选较大的那者

====================================================================== 第15章 定价的博弈模型

※ Bertrand-Nash 均衡（考虑产量限制）

※ 首先行动优势和进入组织（entry deterrence） ※ 不完全信息博弈

◆ Bertrand-Nash 均衡（考虑产量限制）

（1）当考虑两家企业的产量限制时，均衡的价格满足：

p =D -1(q A +q B )

其中q i 为最大产量

（2）分析: 为什么其他价格不会是均衡价格？

→ P A =P B

p : 降价可以扩大产量，从而实现利润的增加

（3）Edgeworth 分析: p 也不会是均衡价格

→

◆ 首先行动优势和进入阻止 （1）首先行动优势

→ 对于Stackelberg Model，首先行动选择了特定的一个Nash 均衡点，即: 究竟是谁做产量领导者，谁做跟随者 →

（2）领导者如何阻止其他的跟随者进入市场

→ 领导者的决策: 制定某一产量，使得跟随者即便进入市场，所能得到的最大利润不

大于零

→ 领导者需要满足的条件: 领导者通过扩大规模来完全占有市场会是一个有效的手段

要求其存在规模报酬递增（一般是存在固定成本）

→ 否则，允许跟随者进入市场可能得到更多的利润

◆ 不完全信息博弈 （1）贝叶斯-古诺均衡 → 博弈参与者可能有多种类型，另一方不知道其确定的类型 →

（2）Sealed bid auction → 卖主可以得到的最高收益小于最高的保留价格 → 解释: 随着竞价者数量的增加，叫价会越来越接近真实值，但依旧低于真实值 →

====================================================================== 第六部分 要素市场定价 第16章 劳动力市场

※ 工资效应的Slutsky 方程 ※ 额外福利对劳动供给的影响 ※ 劳动力的卖方垄断分析（工会）

◆ 工资效应的Slutsky 方程

∂l ∂l c ∂l =+l 其中n 为其他的额外实际收入 （1）形式:

∂w ∂w ∂n

→ 推导: l (w , U ) =l [w , E (w , U )]=l (w , n )

c

∂l c ∂l ∂l ∂E ∂l ∂l ∂l ∂l ⇒=+=-l =-l

∂w ∂w ∂E ∂w ∂w ∂E ∂w ∂n

（这里用到: E =c -wl ） （2）工资对劳动供给的影响是不确定的 → 替代效应使得工资增加，劳动供给增加

→ 收入效应（其他额外实际收入对劳动供给的效果）是负的

（3）特殊的效用函数: u (c , h ) =c αh β (α+β=1, l +h =L )

→ 预算约束线可以写成: c +wh =wL +n → 最佳消费和闲暇选择满足:

c *

=α

wL +n wh *

=β

wL +n

→ 类似一般商品的消费选择

→ 劳动供给: l (w , n ) =L -h =(1-β) L -

→

n β w

∂l

∂l

=0（替代效应和收入效应恰好抵消） → 当n =0时，∂w ∂l

>0 → 当n >0时，∂w

◆ 额外福利对劳动供给的影响 （1 →

◆ 劳动力的卖方垄断分析（工会） （1）工会的三个可能目标与数学条件 → 就业量最大（与完全竞争要素市场一致）

→ D (l *)=S (l *) （即: 供给曲线和需求曲线的交点）

→ 总工资收入最大

→ MR =

d (l ∙MRP )

=0 （MR 曲线与x 轴的交点）

dl

d (l ∙MRP )

=MC l (l ) （MR 曲线与供给曲线的交点）

dl

→ 扣除机会成本后的总收益最大

→ MR =MC l ⇔

→

（3）Union Bargaining Model →

→ 工会制定工资的条件: U 1/U 2=l ' （l ' 是劳动需求函数的斜率） →

====================================================================== 第17-18章 资本市场 ※ 市场租金率的决定 ※ 资本需求

※ 资源配置的时间路径 ※ 连续时间的现值计算

◆ 市场租金率的决定

（1）基本公式: p (r +d ) =v 其中p 为资本的价格，r 为实际利率，v 为租金，d 为折旧率

→ 当d =0时，p =v /r （类似于无限期债券）

（2）利用投资收入现值来解释基本公式

→ 假设: 每期的收入满足R i =MRP i =v → 推导: PDV =

v v v

++……=2

1+r (1+r ) r

net =PDV -p =0

v ⇒p =

r

（3）考虑折旧和不同的租金（租金随时间而变化: v =v (t ) ）

→ 假设: 折旧率满足: t期购买的机器在s 期的租金为v (t ) e

采用连续利率进行折现

-d (s -t )

-d (s -t )

→ 推导: s期的租金v (t ) e

折现到t 期为e

∞

-r (s -t )

v (t ) e -d (s -t )

⇒PDV =⎰e

t

∞

-r (s -t )

v (t ) e

-d (s -t )

ds =⎰e (r +d ) t v (t ) e -(r +d ) s ds =p (t )

t

⇒p (t ) =e (r +d ) t ⎰v (t ) e -(r +d ) s ds

t

∞dp (t ) (r +d ) t

⇒=(r +d ) e v (t ) e -(r +d ) s ds -e (r +d ) t v (t ) e -(r +d ) t =(r +d ) p (t ) -v (t ) ⎰t dt

dp (t )

⇒v (t ) =(r +d ) p (t ) -

dt

∞

◆ 资本需求

（1）资本需求所满足的条件: MRP k =v =p (r +d )

（2）解释: 为什么资本需求是实际利率的负函数 → 实际利率升高使得资本价格增加，从而降低了对其的需求

◆ 资源配置的时间路径 （1）一般化的数学模型: max

∙

⎰

T

U (k , c , t ) dt

其中k 为存量，C 为流量

→ 假设: dk /dt =k =f (k , c , t )

k (0)=k 0 k (T ) =k T

∙∙d λ(t ) k

=λk +k λ λ(t ) 表示k 的边际收益，且

dt

→ 注意: k 是C 的函数；但k 不是C 的函数

∙

∙

∙

→ 最优化条件: H =U (k , c , t ) +λk +k λ

⇒

∂H ∂H

=0 =0 ∂c ∂k

（2）可耗竭资源的配置

→ → 解释: 价格按市场利率水平增加 → 分析: 当期价格如何确定？

◆ 连续时间的现值计算 （1）T 期的现值

PDV =

p

=pe -rT rT e

（2）Payment Stream （假设: 每期支出f (t ) ）

→ 从0期到T 期的所有总支出的现值为: PDV =

⎰

T

f (t ) e -rT dt

→ 考虑永久债券f (t ) =p ，则PDV =

⎰

T

pe

-rT

-e -rT 1dt =p (+)

r r

→ PDV →p /r (T →∞) （与离散期间得到的结论一致）

====================================================================== 第七部分 不确定性、信息和外部性 第18章 不确定性和风险规避 ※ 冯诺依曼-摩根斯坦定理 ※ 风险规避的度量

※ 不确定情况下的选择模型

◆ 冯诺依曼-摩根斯坦定理 （1）效用指数

u (x i ) =πi u (x n ) +(1-πi ) u (x 1) 其中u (x n ) =1 ⇒u (x i ) =πi

u (x 1) =0

→

πi 不仅表示x i 的效用，也表示在仅有x n 和x 1两种情况下的赌博中，赢得x n 的概率

（2）两个赌博的比较 → 赌博A 优于B ，当且仅当前者的期望效用大于后者

◆ 风险规避度量

（1）阿罗-帕拉特（绝对）风险规避系数

→ 表达式: r (W ) =-

U ''(W )

（对于风险规避者: r (W ) >0）

U '(W )

→ 涵义: 为避免参与公平赌博所愿意支付的保险金与r (W ) 成正比

→ r (W ) 为常数的效用函数: U (W ) =-e -AW （其中: r (W ) =A ） → r (W ) 与W 的关系不确定

→ U (W ) =a +bW +cW 2(b >0, c

（2）相对风险规避系数

→ 表达式: rr (W ) =Wr (W ) =-W

U ''(W )

U '(W )

W R

(R

→ rr (W ) =1-R

→ R衡量了风险规避程度，R =1时，风险中性；R →∞，绝对风险厌恶

◆ 不确定情况下的选择模型

（1）数学模型: V (W g , W b ) =πU (W g ) +(1-π) U (W b )

→ 公平市场: P g =π

s .. tW =PW g g +PW b b

P b =1-π

（2）风险规避者的最优选择: W g *=W b * →

（3）风险规避程度和风险补偿

W b R

→ 对于效用函数: V (W g , W b ) =π，R 衡量了风险规避的程度 +(1-π)

R R

→ → 注意: 两种不同的无差异曲线都切于确定线（W b =W b ）上

W g R

====================================================================== 第19章 信息经济学