求数列通项公式an的常用方法
专题:求数列通项公式a n 的常用方法
一、 观察法
已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
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例1 已知数列,,-,,- 写出此数列的一个通项公式。
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解 观察数列前若干项可得通项公式为a n =(-1)
n
2n -32n
二、 公式法
1、 运用等差(等比)数列的通项公式.
n =1⎧S 1
2、 已知数列{a n }前n 项和S n ,则a n =⎨
S -S n ≥2n -1⎩n
(注意:不能忘记讨论n =1)
例2、已知数列{a n }的前n 和S n 满足log 2(S n +1) =n +1,
求此数列的通项公式。
解得S n =2n +1-1,当n =1时a 1=3, 当n ≥2时a n =S n -S n -1=2n +1-2n =2n 所以a n =⎨
⎧3
n ⎩2
(n =1)
(n ≥2)
→累加法 三、a n +1=a n +f (n ) (f (n )可以求和)−−−−
例3、在数列{a n }中,已知a 1=1,当n ≥2时,有a n =a n -1+2n -1(n ≥2),求数列的通项公式。
解析:a n -a n -1=2n -1(n ≥2)
解决方法
a 2-a 1=3a 3-a 2=5
上述n -1个等式相加可得:
...
a n -a n -1=2n -1
a n -a 1=n 2-1 ∴a n =n 2
练习:1、已知数列{a n },a 1=2,a n +1=a n +3n +2,求a n 。 2、 已知数列{a n }满足a 1=1, a n =3
n -1
+a n -1(n ≥2), 求通项公式a n
n +1
3、若数列的递推公式为a 1=3, a n +1=a n -2⋅3
(n ∈N *) ,则求这个数列的通项公式
4. 已知数列{a n }满足 a 1=1, 且
1 ,则求这个数列的通项公式
a n +1-a n =
n (n +1)
四、a n +1=f (n ) ⋅a n (f (n ) 可以求积)
公式。
−−−−→累积法
解决方法
例4、在数列{a n }中,已知a 1=1, 有na n -1=(n +1)a n ,(n ≥2) 求数列{a n }的通项
解析:原式可化为a
a
a
n
==
n -1n -1
n n +1n -1n
n -2
......
21
=
23
a n a n -1a n -2a 3a 2
⋅⋅⋅⋅a 1 a n -1a n -2a n -3a 2a 1n n -1n -2322=⋅⋅⋅⋅1= n +1n n -143n +1
2
又a 1也满足上式;∴a n = (n ∈N *)
n +1
2n
a n ,求a n 。 练习:1、已知数列{a n }满足a 1=,a n +1=
3n +1
2、已知a 1=1, a n =n (a n +1-a n ) (n ∈N *) , 求数列{a n }通项公式. a n =
3、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2n a n ,求通项公式a n
→待定常数法 五、a n +1=Aa n +B (其中A,B 为常数A ≠0,1)−−−−−
可将其转化为a n +1+t =A (a n +t ) ,其中t =的等比数列,然后求a n 即可。
例5 在数列{a n }中, a 1=1,当n ≥2时,有a n =3a n -1+2,求数列{a n }的通项公式。 解析:设a n +t =3(a n -1+t ),则a n =3a n -1+2t
解 决 方 法
B
,则数列{a n +t }为公比等于A A -1
∴t =1,于是a n +1=3(a n -1+1)
∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项,以3为公比的等比数列。 ∴a n =2⋅3n -1-1
练习:1、 在数列{a n }中, a 1=1,a n +1=2a n +3,求数列{a n }的通项公式。 2、已知a 1=2,a n +1=4a n +2n +1,求a n 。
3、已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=2a n +(2n -1) ,求通项a n
4. 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +5⋅2n +4,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
解决方法c ⋅a n
六、a n +1=(c ⋅p ⋅d ≠0)倒数法
pa n +d
2⋅a n
例6 已知a 1=4,a n +1=,求a n 。
2a n +1
1111
解析:两边取倒数得:-=1,设=b n , 则b n +1-b n =1;
2a n +12a n a n
1b -21
令b n +1+t =(b n +t ) ;展开后得,t =-2;∴n +1=;
2b n -22
117
∴{b n -2}是以b 1-2=-2=-为首项,为公比的等比数列。
2a 14
−−−−→
2n +11⎛7⎫⎛1⎫
;即; -2= -⎪⎪,得a n =n +2
2-7a n ⎝4⎭⎝2⎭
a n
练习:1、设数列{a n }满足a 1=2, a n +1=, 求a n .
a n +1a n
2、在数列{a n }中,a 1=2, a n +1=,求数列{a n }的通项公式.
a n +32a n
3、在数列{a n }中,a 1=1, a n +1=,求数列{a n }的通项公式.
2a n +3
⎛7⎫⎛1⎫
∴b n -2= -⎪⎪
⎝4⎭⎝2⎭
n -1n -1