不等关系与不等式以及基本不等式
卓越个性化教案 GFJW0901
第1讲 不等关系与不等式
【2013年高考会这样考】
结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用. 【复习指导】
不等式的性质是解(证) 不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄清条件和结论,近几年高考中多以小题出现,题目难度不大,复习时,应抓好基本概念,少做偏难题.
基础梳理
1.不等式的定义
在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.
2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a a a a
-b <0⇔a <b . 另外,若b >0,则有b >1⇔a >b ;b =1⇔a =b ;b 1⇔a <b . 3.不等式的性质 (1)对称性:a >b ⇔b <a ; (2)传递性:a >b ,b >c ⇔;
(3)可加性:a >b ⇔a +c >b +c ,a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ; (4)可乘性:a >b ,c >0⇒ac >bc ;a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ; (5)可乘方:a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ,n ≥2) ; n n
(6)可开方:a >b >0⇒a >b (n ∈N ,n ≥2) .
一个技巧
作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 一种方法
待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围. 两条常用性质
①a >b ,ab >0⇒< ②a <0<b
③a >b >0,0<c <d ⇒
④0<a <x <b 或a <x <b <0①真分数的性质:
②假分数的性质:
双基自测
1.(人教A 版教材习题改编) 给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2. 其中正确的命题是( ) . A .①② C .③④
B .②③ D .①④
2.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km/h,写成不等式就是( ) . A .v <40 km/h C .v ≠40 km/h
B .v >40 km/h D .v ≤40 km/h
3.(2012·银川质检) 已知a ,b ,c ∈R ,则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) . A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
4.已知a >b ,c >d ,且c ,d 不为0,那么下列不等式成立的是( ) . A .ad >bc C .a -c >b -d 5.
1
3+1的大小关系为________. 2-1
考向一 比较大小
【例1】►已知a ,b ,c 是实数,试比较a 2+b 2+c 2与ab +bc +ca 的大小.
B .ac >bd D .a +c >b +d
【训练1】 已知a ,b ∈R 且a >b ,则下列不等式中一定成立的是( ) . a
A. b 1 B .a 2>b 2
⎛1⎛1C .lg(a -b ) >0 D. 2a < 2b
⎝⎭⎝⎭
考向二 不等式的性质
a b
【例2】►(2012·包头模拟) 若a >0>b >-a ,c <d <0,则下列命题:(1)ad >bc ;(2)d c <0;(3)a -c >b -d ;(4)a ·(d -c ) >b (d -c ) 中能成立的个数是( ) . A .1 B .2 C .3 D .4
c d
【训练2】 已知三个不等式:①ab >0;②bc >ad ;③a b 以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成正确命题的个数是( ) . A .0 B .1 C .2 D .3
考向三 不等式性质的应用
【例3】►已知函数f (x ) =ax 2+bx ,且1≤f (-1) ≤2,2≤f (1)≤4. 求f (-2) 的取值范围. ⎧-1≤α+β≤1,
【训练3】 若α,β满足⎨试求α+3β的取值范围.
⎩1≤α+2β≤3,
考向四 利用不等式的性质证明简单不等式
111
【例4】►设a >b >c ,求证:++>0.
a -b b -c c -a
【训练4】 若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:
难点突破15——数式大小比较问题
数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式,涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识,而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识,内容丰富多彩.命题的方式主要是选择题、填空题,考查不等式性质、函数性质的应用. 一、作差法
【示例】► (2011·陕西) 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) . a +b A .a <b <ab <2 a +b
C .a <ab <b <2
二、作商法
【示例】► 若0<x <1,a >0且a ≠1,则|loga (1-x )|与|loga (1+x )|的大小关系是( ) . A .|loga (1-x )|>|loga (1+x ) B .|loga (1-x )|<|loga (1+x )| C .不确定,由a 的值决定 D .不确定,由x 的值决定
\三、中间量法
a +b
B .a <ab <2b a +b
D. ab <a <2b e e
. (a -c )(b -d )
2π
【示例】► 若a =20.6,b =log π3,c =log 2sin 5,则( ) . A .a >b >c
C .c >a >b
B .b >a >c D .b >c >a
第4讲 基本不等式
【2013年高考会这样考】
1.考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题. 2.考查应用基本不等式解决实际问题. 【复习指导】
1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练. 2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养.
基础梳理
a +b
1.基本不等式:ab ≤2
(1)基本不等式成立的条件:(2)等号成立的条件:当且仅当 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ) ; b a
(2)a +b ≥2(a ,b 同号) ; ⎛a +b ⎫2
⎪(a ,b ∈R ) ; (3)ab ≤
⎝2⎭a 2+b 2⎛a +b ⎫2
(a ,b ∈R ) . (4)2
⎝2⎭3.算术平均数与几何平均数
a +b
设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为2ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题
已知x >0,y >0,则
(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当时,x +y p .(简记:积定和最小)
p 2
(2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当xy 4.(简记:和定积最大
)
一个技巧
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用
2
拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形
222
≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号) ;
这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意
忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.
中“正”“定”“等”的条件.
致.
双基自测
1
1.(人教A 版教材习题改编) 函数y =x +x (x >0) 的值域为( ) . A .(-∞,-2]∪[2,+∞) C .[2,+∞)
2
B .(0,+∞) D .(2,+∞)
a +b 1
2.下列不等式:①a +1>2a ;②≤2;③x 2+1,其中正确的个数是
x +1ab
( ) .
A .0 B .1 C .2 D .3
3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ) . 1
A. 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆) 若函数f (x ) =x +
1
x >2) 在x =a 处取最小值,则a =( ) . x -2
A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 t 2-4t +1
5.已知t >0,则函数y =的最小值为________.
t
考向一 利用基本不等式求最值
11
【例1】►(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则x y ________; (2)当x >0时,则f (x ) =
【训练1】 (1)已知x >1,则f (x ) =x +
1
________. x -1
2x
________. x +1
2
(2)已知0<x <5y =2x -5x 2的最大值为________.
(3)若x ,y ∈(0,+∞) 且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________.
考向二 利用基本不等式证明不等式
bc ca ab
【例2】►已知a >0,b >0,c >0,求证:a +b +c ≥a +b +c .
【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 111
求证:a +b +c ≥9.
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
x
【例3】►(2010·山东) 若对任意x >0a 恒成立,则a 的取值范围是________.
x +3x +1【训练3】 (2011·宿州模拟) 已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________.
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
【训练3】 (2011·广东六校第二次联考) 东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n ) 与科技成本的投入次数n 的关系是g (n ) =品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n ) 万元. (1)求出f (n ) 的表达式;
(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
80
. 若水晶产n +1
阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误
【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点,其中使用的条件是“一正、二定、三相等”,在使用时一定要注意这个条件,而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻,使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾., 【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式,若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 12
【示例】►已知a >0,b >0,且a +b =1,求a +b 的最小值. 1
【试一试】 (2010·四川) 设a >b >0,则a 2+ab A .1 B .2 C .3 D .4
1
的最小值是( ) .
a (a -b )