近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（
33
A 、{a } B、{a , e } C、e , a D、e , a , a
c
）是子群。
{}{}
2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设σ1、σ2、σ3是三个置换，其中σ1=（12）（23）（13），σ2=（24）（14），σ3=（1324），则σ3=（ B ） A 、σ
21
B、σ1σ2 C、σ
2
2
D、σ2σ1
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----双射-------------。
4
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----a 0, a 1, , a n 使得
a 0+a 1+α +a n αn =0。
8、a 是代数系统(A , 0) 的元素，对任何x ∈A 均成立x a =x ，则称a 为---右单位元------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、-----消去律成立----。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是--交换环--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
2、设E 是所有偶数做成的集合，“∙”是数的乘法，则“∙”是E 中的运算，（E ，∙）是一个代数系统，问（E ，∙）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x＝b 。 2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b 。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C、4 阶 D 、 6 阶
2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A 、（N, ≤） B、（Z, ≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),⊆)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A 、(1)，(123)，(132) B、12) ，(13)，(23) C 、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则
f -1[f (a )]=----------。
3、区间[1，2]上的运算a b ={mina , b }的单位元是-------。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
n
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a =e ，那么m 与n 存在整除关系为
--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S2也是子环吗？ 3、设有置换σ=(1345)(1245) ，τ=(234)(456) ∈S 6。
-1τστ1．求和σ；
-1
2．确定置换στ和τσ的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 。
1、{(1, -1), (1, 0), (1, 1)(2, -1), (2, 0), (2, 1)}；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域； 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：
σ=(1653)(247)(8) τ=(123)(48)(57)(6)
可知σ为奇置换，τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积：
σ=(13)(15)(16)(24)(27) τ=(13)(12)(48)(57)
2、解：设A 是任意方阵，令
B =
11
(A +A ') C =(A -A ') 22，，则B 是对称矩阵，
而C 是反对称矩阵，且A =B +C 。若令有A =B 1+C 1，这里B 1和C 1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B -B 1=C 1-C ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B =B 1，C =C 1，所以，表示法唯一。 3、答：（M m ，+m ）不是群，因为M m 中有两个不同的单位元素0和m 。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
2-1-1-1(xy ) =e xy =(xy ) =y x =yx （对每1、对于G 中任意元x ，y ，由于，所以2-1
x =e x =x 个x ，从可得）。
2、证明在F 里
ab -1=b -1a =
a
(a , b ∈R , b ≠0) b
-
a ⎫⎧
Q =⎨所有⎬(a , b ∈R , b ≠0)
b ⎭⎩有意义，作F 的子集 Q 显然是R 的一个商域 证毕。
-
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、9、
；6、相等；7、商群；8、特征；
m n
；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2
种，„等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
)(56) ，τ-1σ=(16524) ； 3、解： 1．στ=(1243
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a ≠0∈μ，由理想的定
-1
a 义a =1∈μ，因而R 的任意元b =b ∙1∈μ
这就是说μ=R，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。