图形中点能想到什么

由中点联想出去？

高屋建瓴

线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想途径是：中线倍长；作直角三角形斜边的中线；构造中位线；构造中心对称全等三角形等。

1. （“希望杯”邀请赛试题）如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC

的中点，AB=10厘米，则MD 的长为____________________．

2. （2011年北京市竞赛题）如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD

所在平面上移动，始终保持EF ∥AB ．线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为____________________．

3. (太原市竞赛题) 如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB

M 、N 分别为BC 、AE 的中点，求证：MN ∥AD.

4. （山东省中考题）已知正方形ABCD 中．E 为对角线BD 上一点，过E 点作E F ⊥ BD

交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG . (1)求证：EG =CG;

°

(2)将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45，如图②所示，取DF 中点G ．连接EG ，CG. 问(l)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得到什么结论？

5. （“祖冲之杯”邀请赛试题）如图，以△ABC 的AB 、AC 边为斜边向形外作Rt △ABD

和Rt △ACE ，且使∠ABD =∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM =ME.

6. (2011年黄冈市中考题) 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上

中点，过D 点作D E ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F. 若AE=4，FC=3，则EF=________

7. （山东聊城中考题）如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=2AD，E 、

F 、C 分别是OC 、OD 、AB 的中点． 求证：(1) BE ⊥ AC ； (2)EG =EF.

8. (宁波中考题) 如图，在△ABC 中，AB=AC，延长AB 到D ，使BD=AB，E 为AB 中点，

连结CE 、CD ，求证：CD= 2EC.

9. （重庆市竞赛题）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为

AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ= ∠FQP ，若BD=10，则AC=____．

10. （山东省竞赛题）在菱形ABCD 中，∠A =100°，M ，N 分别是边AB 、BC 的中点，

MP ⊥CD 于点P ，则么∠NPC 的度数为____________．

11. (河北省竞赛题) 如图，在四边形ABCD 中一组对边AB =CD，另一组对边AD ≠BC ，分

别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ，则AB 与MN 的关系是( ) ． A. AB =MN B ．AB>MN

C ．AB

12. （全国初中数学联赛试题）如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、

CB 到E 、F ，使DE =DF，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ． 求证：∠PAE=∠PBF.

13. （山东省竞赛题）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，A C ⊥BD 于O ，试判断AB+CD与

AD +BC的大小，并证明你的结论．

14. （江苏省竞赛题）已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE =90°．如图甲，连结DE ，设M 为DE 的中点． (l)求证：MB =MC;

(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图 乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．

15. （江苏省中考题）如图，在△ABC 内取一点P ，使么∠PBA=∠PCA ，作PD ⊥AB

于点D ，PE ⊥AC 于点E ，求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．

16. （四川省竞赛题）如图，已知A G ⊥BD ，A F ⊥CE ，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的

角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为________

17. （2013•烟台）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），

分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．

（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是_____________________ ，QE 与QF 的数量关系式: ___________________________________;

（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．