圆的教材分析
《圆》的教材分析
北京第四十三中学 李世魁
各位老师:大家好! 今天我和各位老师交流《圆》(上、下)这两章的教学内容。由于时间关系,我就将从知识结构图和需要注意的基本图形及常用结论,这两个方面和大家交流。
先说知识结构图
《圆》这章是在小学学过的一些圆的基础上,较为系统地研究圆的概念和性质,与圆有关的位置关系,与圆有关的计算这三部分内容。
圆的概念和性质包括:圆的概念,圆的对称性,圆周角的有关结论。 与圆有关的位置关系包括:点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。 与圆有关的计算包括:求弧长、扇形面积以及正多边形和圆的有关计算。
关于圆的对称性,教材先利用圆的轴对称性得到垂径定理,再利用圆的中心对称和旋转不变性得到弧、弦、圆心角之间的关系定理。而以垂径定理为中心和解直角三角形甚至和圆周角的有关结论的综合应用,是教学的重点也是中考的常考点。
关于圆周角的有关结论,除了在教学中强调定理外还要注意书上黑体字的教学,都要使学生熟练应用,因为这是中考的常考点。同时还要补充圆内接四边形的有关结论。
关于直线与圆的位置关系,教材重点研究了直线和圆相切的情况,给出了切线的作法及判定定理和性质定理。再此基础上,介绍了三角形内切圆、内心等概念和切线长定理。最后通过“探究与应用”,介绍了与圆有关的比例线段。圆的切线的判定定理和性质定理的题设和结论容易混淆,是本章教学的难点也是中考的常考点。关于切线长定理的基本图形和相关结论是中考的常考点。与圆有关的比例线段可以和相似三角形的基本图形相联系,其做为常用结论也应该在教学中给予重视。
在得到弧长、扇形面积公式的基础上,结合第26章展开图知识点,可求圆柱、圆锥的侧面积、全面积。在教学中应让学生熟练掌握相关的基本图形和基本结论。
这六个本章知识或不同章节知识的结合点,都是中考的常考内容。
回顾北京市2007—2011年中考所涉及《圆》的考题。选择填空5年共考了5道题,解
这5年中圆所占的分值为5—13分。选择或填空有时考圆,知识点为:垂径定理、圆周角的有关结论、圆与圆的位置关系、圆锥侧面展开图以及圆中动点函数问题。解答题每年都考1道,前2年为第19题,近3年为第20题。解答题第一问均为求证切线或先判断后证明。这五年的第二问都与三角函数或解直角三角形知识点相结合,2009年和2011年还结合了相似三角形知识点。特别是2011年的第二问如运用与圆有关的比例线段的结论将使解答简单(后面还会具体解读)。
具体教学中,这些知识点在《圆》上和《圆》下这两章分布如下:
再谈基本图形及常用结论
基本图形总是和基本定理密切相关。
1、圆柱圆锥的侧面展开图
在22.1圆的有关概念这一节中,讲完弧长、扇形面积公式之后,补充讲26章圆柱、圆锥侧面展开图。使学生熟记以下基本图形和基本结论,动手操作并配用几何画板辅助教学。
①圆柱侧面展开图是矩形
侧h
侧
222
πr
2
侧
S =2πr h
S =πr R
h +r =R 360r n =
R n πR S =
360
在教学中,根据学生的情况,逐步分层落实以下例题: 例1是(东城一模第6题)此题直接应用结论:
已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积等于
例2是(通州一模第7题)此题需掌握三视图,再直接应用结论:
如图,是一个几何体的三视图,根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为( ) A .6π B .12π
C .24π
D .48π
A .11π
B .10π
C .9π
D .8π
例3是最终落实到S 、R 、r 、h 、n 知二求三的水平。
一个圆锥的母线长为3cm ,侧面展开图是圆心角为120o 的扇形,则圆锥的侧面积 是
2、垂径定理
定理内容为“垂直于弦的直径平分(这条)弦,并且平分(这条)弦所对的两条弧。”这个定理的学习过程中,应该突出“垂”和“径”两个字。“径”指直径或半径,甚至是过圆心的线段(弦心距)。“垂”指的是这条直径或半径,甚至是过圆心的线段与弦垂直。教学中应该让学生掌握这个定理的三个基本图形。
进一步引导学生将所得到的结论也逐个分解,就可以得到如下的五方面:①过圆心,②垂直于一条弦,③平分弦,④ 平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧。而这五方面中,能够做到“知二推三”这样共得到10个命题,其中一个做为“垂径定理”,而其他九个则作为“垂径定理”的推论,其中“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”是书上给出的推论。
cm ,则圆锥的底圆半径是2
,则圆锥的高是.
在教学过程中,我们要落实垂径定理与其他知识点相结合作辅助线的教学,如以下四个图:
不难发现,不论做几条辅助线,最后都构造出了由半径、圆心到弦的距离、弦长的一半所组成的直角三角形,便将问题转化为勾股方程或解直角三角形的问题。进一步也可以和相似三角形或四边形等知识相结合。
以下四道例题是应用垂径定理或作辅助线的具体题目,教学中可选为例题使用。 例1是(2010年中考第11题)直接应用垂径定理+勾股定理
如图,AB 为⊙O 直径,弦CD ⊥AB ,垂足为 点E ,连结OC ,若OC =5,CD =8,则AE =___2___.
例2是(2011山东泰安中考第10题)作辅助线应用垂径定理+解直角三角形
如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,
若AB =6,则⊙O 的半径为( ) A. 2 2 C.
例3是(2011山东威海中考第15题)作辅助线应用垂径定理+解直角三角形
如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ,若AE =5, BE =1
,
2 D. 22
CD 则∠AED=【答案】 30°
例4是(2011安徽中考第13题)作辅助线应用垂径定理+解直角三角形
如图,⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直,垂足为E ,
且AB =CD ,已知CE =1,ED =3,则⊙O 的半径是 .
【答案】
3、圆周角有关结论
在22.4这节中,可用几何画板辅助教学。先讲清圆周角概念,注意和圆心角概念的区分(用好P144练习1);再通过应用几何画板猜想并证明圆周角定理;再得到推论1在同圆和等圆中,弧等弧所对的圆周角相等,圆周角相等所对的弧也相等;再详细讲解书P143例1及其证明过程,补充圆内接四边形的定义尤其要补充讲解圆内接四边形的两个结论,使学生在选择填空中会直接用结论,在证明题中会写出例题的证明格式;再得到推论2,简单的说就是:直径对直角,直角对直径。
在教学中可根据学生的情况,逐步分层落实以下例题: 例1是(2009年北京中考第10题)垂径定理+圆周角:
如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB , E 为弧BC 上一点, 若∠CEA =28°,则∠ABD= 28 °.
例2是(门头沟一模第6题)垂径定理+圆周角+解直角三角形: 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,交⊙O 于点D . 若∠CDB =30°,⊙O
CD 的长是
A
B
3
A . B .3 C
. D .9
2
例3即可以用圆周角推论+圆内接四边形重要结论,也可以作辅助线用圆周角定理及推论
如图,四边形ABCD 四个顶点都在圆O 上,AB 是圆直径, 若∠BAC=20°,则∠D= 。
4、切线的判定和性质
切线的判定定理:经过半径的外端点,且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定和性质的基本图形是一个,可以利用下面两个图形加强对定理的理解。
基本图形 辨析图形
做切线题时,做辅助线的常用思路
在判定切线时,常用的思路有:作半径,证垂直;(已知切线与圆有公共点)
作垂直,证半径。(未知切线与圆有公共点)
在使用切线时,常用的思路有:作半径,用垂直。
例1是(2011 浙江湖州第9题) 为切线性质(作半径,用垂直)结合三角形相似求比例线段
如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是AB 延长线上一点,BC =OB ,CE 是⊙O 的切线,切点为D ,过点A 作AE ⊥CE ,垂足为E ,则CD :DE 的值是( ) 【答案】C
A .
1 2
B .1 C .2 D .3
例2是(2005年海淀卷第21题)为切线判定(作半径,证垂直)
如图,⊿ABO 中,OA=OB,以O 为圆心的圆经过AB 中点C ,且分别交OA 、OB 于
点E 、F. (1)求证AB 是圆O 的切线.
求证:AC 与⊙O 例3是(书P12习题24-1的第7题)切线性质、判定综合应用(作半径,用垂直;作垂直,
证半径。)
如图,⊿ABC 为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,⊙O 与腰AB
求证:AC 与⊙O 相切.
5、切线长定理
定理内容是:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
在教学中应逐步加深切线长定理的基本图形的认识
A
相切。
PA=PB
等腰三角形ABP
O C B 双垂图
P
三线合一
在教学中既要落实计算又要落实证明,见例题:
例1是 (2011重庆綦江第7题) 考查切线长基本图形+弧长计算
如图, P A 、PB 是⊙O 的切线,切点是A 、B ,已知∠P =60°,OA =3,那么∠AOB 所对弧的长度为( )
A .6л B .5л C .3л D .2л
【答案】:D
例2是(2011山东济宁第20题)考查切线长基本图形+切线性质的证明题
如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点E ,交AM 于点D ,交BN 于点C ,F 是CD 的中点,连接OF ,
(1)求证:OD ∥BE ;
(2)猜想:OF 与CD 有何数量关系?并说明理由.
第20题
【答案】(1)证明:连接OE ,
∵AM 、DE 是⊙O 的切线,OA 、OE 是⊙O 的半径,
∴∠ADO=∠EDO ,∠DAO=∠DEO =90°,
∴∠AOD=∠EOD=
1
∠AOE , 2
1
∵∠ABE=∠AOE ,∴∠AOD=∠ABE ,
2
∴OD ∥BE
1
(2)OF =CD ,
2
理由:连接OC ,
∵BC 、CE 是⊙O 的切线, ∴∠OCB=∠OCE ∵AM ∥BN ,
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得∠ADO=∠EDO , ∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90° 在Rt △DOC 中,∵F 是DC 的中点,∴OF=
B
第20题
1
CD . 2
当有三条切线时,会产生两种情况:见以下基本图形 情况1:△ABC 的周长=2AE的长
A
情况2:△ABC 的内切圆
设AE=AG=x,BE=BF=y,CF=CG=z,
x+y=AB
Z+y=BC
x+z=AC
2(x+y+z)=AB+BC+AC
情况2变式:当△ABC 为Rt △ABC 时
还可得到结论:
b
内接圆的半径r =
a +b -c
2
B
b
a +b -c
的运用 2
3
已知:如图,Rt ⊿ABC ,∠C=90°,AC =8,cosB=,Rt ⊿ABC 5
例题是:解直角三角形+公式r =求:⊙O 的半径
基本图形及常用结论中的,
常用结论主要指的是与圆有关的比例线段。在教材P11,探索与应用中介绍。也就是三个定理。
1、相交弦定理
PA ·PB=PC·PD 。
B
相交弦定理可由相似三角形证明得到。所以相交弦定理的基本图形与相似三角形的基本图形联系十分紧密。不论以下哪种连线法,都可以产生相似三角形。证明时只需用到圆周角定理。
B B
⊿PA C∽⊿PDB ⊿PA D∽⊿PCB
2、割线定理
基本图形如下图,结论还是PA ·PB=PC·PD 。
割线定理可由相似三角形证明得到。所以割线定理的基本图形与相似三角形的基本图形联系十分紧密。不论以下哪种连线法,都可以产生相似三角形。证明时需用到圆周角定理或用圆内接四边形外角等于内对角。
⊿PA D∽⊿PCB ⊿PA C∽⊿PDB
3、切割线定理
切割线定理可以看成割线定理的特例,基本图形如下图,结论变为PA 2=PC·PD 。
切割线定理可由相似三角形证明得到。所以切割线定理的基本图形与相似三角形的基本
∵∠P=∠P ,∠PAD=∠C ∴⊿PA D∽⊿PCA
但∠PAD=∠C 过O 做直径AC ′,连结DC ′ ∵直径AC ′
∴∠C ′+∠DAC ′=90°
∵PA 切圆O 与A
∴∠PAD+∠DAC ′=90° ∴∠PAD=∠C ′ ∵∠C =∠C ′
C ∴∠PAD=∠C
这个定理就是已经删掉的弦切角定理:切线与过切点的弦所夹的角等于切线与过切点的弦所夹的弧所对的圆周角。在教学中结论要告诉学生,名称不要出现,定理不可直接用需证明。
这三个定理可以让学生一起记:A 、B 、C 、D 均为⊙O 上的点,直线AB 、CD 相交于点P ,PA 、PB 、PC 、PD 这四条线的关系是PA ·PB=PC·PD 。当点A 、B 重和时,PA 2=PC·PD 。最终使学生熟知此结论,选择填空题会直接用,证明题不可直接用需证明。更应该使学生熟记圆中三角形相似的基本图形、结论和证明方法。
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为大家选择了如下三道例题:
例1是(宣武区2009年初三第一学期期末试题的第18题)此题可以连结CO 用垂径定理来求CE 、ED 长,如运用相交弦定理可直接求CE 、ED 的长。
如图,在⊙O 中,直径AB 垂直弦CD 于E ,AE=2cm,EB=8cm,求BD 的长。
例2是(2011西城一模的第21题)此题并不是应用相交弦定理,而是学生在熟悉圆中三角形相似的基本图形、结论和证明方法的基础上,极易想到本题的解题思路。
A
B
如图,D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点 B 在⊙O 上, 且AB =AD =AO .
(1)求证:BD 是⊙O 的切线;
(2)若E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F , △BEF 的面积为8,且cos ∠BF A = 求△ACF 的面积.
例3是(2011年北京中考第20题)在第2问中,如使用割线定理可直接求出CD 的长,再求出AD 的长;由AB ⊥BF ,BD ⊥AF 这个双垂图形得出BF 的长。
A
如图,在△ABC ,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、
2
, 3
1
BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上,且∠CBF =∠CAB 。
2
(1)求证:直线
BF 是⊙O 的切线;
(2)若AB =5,sin ∠CBF =
B
F ,求BC 和BF 的长。
提供资料说明
2007——2011年北京中考,圆有关的题 2011年北京中考模拟,圆有关的题
2011年全国中考,圆有关的题(学科网下载) 几何画板课件
以上就是我的浅显认识,仅作抛砖引玉之用。感谢各位老师!
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