定积分复习题答案
定积分复习题
一、单项选择题。
21dx的奇点的是( B )1.广义积分。 01x2
A.0 B.1 C.2 D.1
2.设a1x
x30dx,b1x2x30。 ,则a,b的大小关系为( B )
A.ab B.ab C.ab D.无法比较
3.下列关于定积分的说法正确的是( B )。
A.函数f(x)在a,b有界,则f(x)在a,b一定可积;
B.函数f(x)在a,b可积,则f(x)在a,b一定有界;
C.函数f(x)在a,b可积,则f(x)在a,b不一定有界;
D.函数f(x)在a,b无界,则f(x)在a,b可能可积。
4.下列各函数中在0,1中定积分存在的是( D )
A.lnx B.
5.111 C. D. x1x1xdbftdt=( C )。 dxx
A.ft B.fx C.fx D.fx
6.由抛物线yx22x3与x轴围成图形的面积为( C )
A.32323434 B. C. D. 3333
b
a7. 定积分fxdx存在是函数fx在闭区间a,b连续的__B__条件。
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.即不充分,又非必要
dx8. 关于广义积分的收敛性,下列结论不正确的是( B ) p1x
A.当p1时一定收敛 B.当p1时一定收敛
C.当p1时一定发散 D.当p1时一定发散
9. ysinx在0,2上的图像与x轴围成图形的面积为( D )
A.0 B.1 C.2 D.4
10. 设aedx,aexdx,则a,b的大小关系为( A )。 01x120
A.ab B.ab C.ab D.无法比较
二、填空题。
1.f2tdt=ax1f2xf2a。 2
2. 21
2xdx=4221。 53.xdx 0
4. 2
0cos3xdx=
x2。 3dycosxcosx2。 =dx2x5. 已知ycost2dt,则x
6. 已知ysindt,则0x2dy=2xsinx。 dx
7. 函数fx在闭区间a,b可导是fx在闭区间a,b
8. 曲线ylnx和直线y0,x2所围成平面图形的面积为2ln21。
9. 已知圆台的上下底面半径分别为2和4,高为2,则其体积为
156。 310. dx
x21=。
三、计算题。
1.求Isinmxsinnxdx,其中m,nZ。
解:当mn时,
11sinmnxsinmnxIcosmnxcosmnxdx0; 22mnmn当mn时,
11sin2nxIsinnxdx1cos2nxdx2222n2。
0当mn,故I 当mn.
2.求Ixexdx。 01
解:Ixdexxex
0110exdx 01
=e1ex
1
11012。 e3. 求Ixxdx。 2
解: Ixxdxxxdx0dx4x2dx 021201
1010
=0
4. 求I
解:I143x3104。 30x21dx。 x211
01x212dx1dx 220x1x1
=x2arctanx01。 1
5.求Ixdx。 01x1
解:令xt,则xt2,dx2tdt,当x0时,t0;当x1时,t1.于是
21t1x11。 Idx2dx21dx2tarctant2001t201x01t221
6. 求Ixlnxdx。 1e
解:Ie
11e121e2exlnxdxlnxdxxlnx1xdx 21221
11 =e2x2
24e
1e21。 4
7.求由曲线yx,yxsin2x0x所围成图形的面积。 解:设所求图形的面积A,则
A
01112xsinxxdx1co2sxdxxsin2x。 202202
8. 求广义积分Ilnxdx。 01
解:当x0时,lnx,易知该积分的唯一奇点为x0。 因lnxdxxlnxxC,由广义N-L公式,得
Ilnxdx=xlnxx01limxlnxx 110x0
由罗比达法则,得
1
lnxlimxlnxlimlim0 x0x01x012xx
故原积分Ilnxdx1. 01
10ln1xtdt
9. 求极限lim。 2x0x
解:由罗比达法则,有
x10ln1xtdtln1x2x21。 limlimlimx0x0x02x22x22x2x
10. 求由抛物线y22px和x22py所围成图形的面积。
y22px解:由2解得x0或x2p.于是所求图形的面积为 x2py
A12p
0124p22px2pxdx3。
12xx0上点M处作一切线使其与曲线及x轴围成图形的面积2四、综合题 1. 在曲线y
1为。试求: 3
(1)切点M的坐标;
(2)过切点M的切线方程。
12解:(1)设切点M的坐标为x0,x0,则切线斜率为kx0,于是切线方程为2
y121x0x0xx0,令y0,得切线与x轴交点横坐标为xx0,从而由 22
x011212131xdx1x2x0x0xx0dxx0解得x02 x022243221x02
从而切点M的坐标2,2。
(2)由(1)知过切点M的切线方程y22x2,即2xy20。
2. 求抛物线y12x分割圆x2y28所成两部分的面积。 2
1yx2
解:解得x2。 222xy8
设较小一部分的面积为A1,较大一部分的面积为A2,则有
1xx14A18x2x2dx4arcsin8x2x32; 2262322222
4从而A28A16。 3
五、简答题
1.试述无穷区间a,上的广义积分收敛的定义。 答:设函数fx在区间a,上定义,若ba,,fx在区间a,b上均可积,则定义无穷区间上的广义积分
bafxdxlimfxdx, ba
a当上式右端极限存在有限时,称广义积分
2.试述积分中值定理的内容。 fxdx收敛。
答:设函数fx在闭区间a,b上连续,则存在a,b,使得
fb1bfxdx,或者fxdxfba。 aaba